2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修第二册课时练习：数列的递推公式及前n项和

4.1.2数列的递推公式及前n项和

一.选择题

1.已知数列他〃｝的前〃项和为S〃="-2〃，则如+”+不等于()

A.12B.15

C.18D.21

2.已知数列｛Z｝的前〃项和为*="，则Z等于()

A.nB.n2

C.2/?+1D.2n~\

3.已知数列｛“〃｝对任意机，满足且43=8,则0=()

4.在数列｛〃〃｝中，41=1,42=2,旦。”+2=4”+1—4〃(〃£N),则。2024=()

A.2B.1

C.-1D.-2

5.(多选)符合递推关系式念=/“1(〃22)的数列可以是()

A.1,2,3,4,…

B.1,V2,2,2V2,…

C.V2,2,2V5,4,

D.0,V2,2,2夜，…

6.(传统文化)如图所示，九连环是中国的传统民间益智玩具.把玩九连环时

按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.解下

或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程，解开九连环共需要

256步.现将第〃个圆环解下最少需要的步数记为z(〃W9,〃6N"),已知山=1,

。2=1,按规则有m=4,—i+3a〃_2+2(〃23),则解下第5个圆环最少需要的步数为

()

A.15B.21

C.27D.31

7.己知数歹的前〃项和为S〃=〃2—5几若它的第k项满足3<6/A-<7,则k=

()

A.4或5B.5或6

C.6或7D.7或8

8.在数列｛〃〃｝中，41=1,1=4〃+"+7“；+]),则圆=()

A341n170

A.—B.—

63

C.—D,—

63

9.已知数列｛〃”｝满足2小+22。2+23。3+…+2"。〃=力.2",则｛49的通项公式为

()

1,n=l,

A.Cln=

,n+1»n>2

nn+l

B.“尸亡

C•(in=n

r(1,n=l,

D.Cln='

-1,ri22

二、填空题

10.已知斐波那契数列｛〃〃｝满足f/l=L42=1,。〃+2=。“+1+〃〃.若42+〃3+。5

+Q7+49H----F457+059=〃4左0N*),则k=

11.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列：1,3,6,10,…，则该

数列的一个递推公式是.

++++++:++…

①②③④

〃£N*),

12.若数列｛〃〃｝的前n项和为Sn=〃2a(整》2,且m=L则an=

三.解答题

L

13.已知数列｛〃〃｝的首项41=1,以后的各项由公式“I+1=%；(〃£N*)给出,

Qn+2

试写出这个数列的前5项.

14.在数列｛“〃｝中，。”=言？

⑴求数列｛〃“｝的第7项；

(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；

(3)区间(；，|)内有没有数列｛加｝中的项？若有，有几项？

15.数列｛«”｝满足=1,Cln+14~2,ClnCln+1—Cln=0.

⑴写出此数列的前5项；

(2)由(1)写出数列｛而｝的一个通项公式；

(3)实数表是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项?

4.1.2数列的递推公式及前n项和

一.选择题

1.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S“=〃2—2〃，则如十久+4等于()

A.12B.15

C.18D.21

B解析：因为数列｛〃”｝的前n项和为Sn=rr—2/2,所以43+44+45=65—S2

=52-2X5-(22-2X2)=15.故选B.

2.己知数列｛〃〃｝的前〃项和为的=序，则〃〃等于()

A.nB.n2

C.2/1+1D.2n~\

D解析：因为S〃=/,所以当〃22时，a〃=S〃-S〃_i=〃2—(九一1)2=2〃-1.

当〃=1时，Si=ai=1也适合上式，所以m=2〃-1.故选D.

3.已知数列｛m｝对任意加，〃右N",满足Clm+n=Clrn'Cln?且。3=8,则41=()

A.2B.1

C.±2D.-

2

A解析：令m=〃=1,则。2=Qiai=谈.

令〃?=1,n=2,则〃3=ars=a；=8,解得〃i=2.故选A.

4.在数列｛“?｝中，ai=l,及=2,且a〃+2=4“+i—4”(〃£N"),则42024=()

A.2B.1

C.-1D.-2

A解析：由41=1,42=2,且。〃+2=a〃+1—01,可得43=42—41=1,6,4=«3

-ai=-1,45=44-43=-2,46=05-44=-1,47=46-45=1,48=47-46=2,…，

所以｛。〃｝为周期数列，且周期为6,故42024=46x337+2=42=2.

故选A.

5.(多选)符合递推关系式4〃=或。〃—1(〃22)的数列可以是()

A.1,2,3,4,

B.1,V2,2,2应，…

C.V2,2,2A/2,4,…

D.0,V2,2,242,…

BC解析：对于A,从第2项起，每一项与前一项的差为1,通项公式为

=〃；对于B,C,从第2项起，每一项是前一项的加倍，符合递推公式。〃=加斯_1；

对于D,不符合递推公式.故选BC.

6.(传统文化)如图所示，九连环是中国的传统民间益智玩具.把玩九连环时

按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.解下

或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程，解开九连环共需要

256步.现将第〃个圆环解下最少需要的步数记为已知M=1,

。2=1,按规则有小一I+3〃〃_2+2(/?23),则解下第5个圆环最少需要的步数为

()

A.15B.21

C.27D.31

D解析：由题意可知43=42+3。1+2=6,。4=。3+3。2+2=11,45=。4+3。3

+2=31.故选D.

7.已知数列｛〃〃｝的前n项和为S〃=〃2—5儿若它的第k项满足3<^<7,则k=

()

A.4或5B.5或6

C.6或7D.7或8

B解析：当〃=1时，Si——4,即0=-4;

当〃22时，an=Sn—S"一i=(〃2—5〃)一[(〃-1)2—5(〃-1)]=2〃-6.

当〃=1时，01=2X1—6=—4,上式依然成立，故〃“=2〃一6(〃WN*).

令3<2&—6<7,解得黑攵<上

22

又左UN",所以々-5或攵一6.故选B.

8.在数列｛〃“｝中，0=1,。〃+1=。〃+层+/、,则46=()

n(n+l)

A..3—41Bc.—170

63

「343172

lx・-----L)•--

63

A解析：由题意得—Cln=TT~\~--,

nn+1

22

即〃2_。1=12+]_\a3-a2=2,a6-a5=54-i

ZZo□o

将上面5个式子两端分别相加得6Z6-6/1=(12+22H------F52)+-0+

->)=55+1—-=—,且41=1,所以“6=

6/66

故选A.

9.已知数列｛〃〃｝满足20+22。2+23〃3+…+2%“=〃・2〃，则｛〃”｝的通项公式为

1,n=1,

,n+1,B2

1,n=l,

kn—1,几22

B解析：当〃=1时，有20=1X2]，所以。i=l,

当〃22时，2〃I+2%2+2%3H-----23=眇2”,2m+2%2+2%3H------

=(/?-1)-2N-1,

两式相减得2%=〃・2〃一(〃-1)2*=(〃+1)2",

此时，。〃=等，a\=\也满足该式，

所以｛圆)的通项公式为。〃=等.

故选B.

二、填空题

10.已知斐波那契数列｛〃〃｝满足41=1,42=1,4〃+2=。1+|+4〃.若。2+〃3+。5

+。7+49H-----F457+459=Clk(k£N*),则左=

60解析：由〃“+，=小+1+〃”，得a>+aa+af+〃7+〃Q+…+公7+〃59=小+小

+。7+。9+…+457+。59=46+。7+49+…+。57+。59=…=。58+。59=。60,因此k=

11.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列：1,3,6,10,…，则该

数列的一个递推公式是

+♦+++++++

①②③④

an=an-\+n(n^2)解析：结合题图易知，a=\,。2=3=。1+2,。3=6=。2

+3,44=10=〃3+4,所以+〃(〃22).

12.若数列｛防｝的前n项和为S“=〃2s(心2,L£N*),且m=l,则an

看解析：已知S尸后〃(心2,，代N*),

2

当〃23时，Sw—S«-1=r^an—(n—1)an-1,即岛in—(〃-l)%“_]=斯,进而得(层

-1)2加1.因为〃23,所以(〃+1)。〃=(屋一l)Qn_i]=-^-=R(〃23),

。八一]?1+1

LA.0-n_a3a4a5

ZLq•公=：x|x：x...x*(〃23),因为Sn=

U2。2。3。4

当〃=2时，m+s=442,又。i=l,解得〃2==,所以孕=

於4“〃22,〃WN"),3—

,6(〃》.所以Cln品(〃23).又山=|=*，Q2I=点满足上式，所

n(n+l)v/

以^,=—^2―.

n(n+l)

三.解答题

13.已知数列｛〃“｝的首项0=1,以后的各项由公式以7=2%(〃£N*)给出,

即+2

试写出这个数列的前5项.

解:因为0=1,*=小心)

2

所以C12=2al_2x1

。1+21+23

2x?

—、—1■

22

%=2