2026年高考数学一轮备考练习（新高考）两条直线的位置关系（学生版+解析）

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.2两条直线的位置关系

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

能根据斜率判定两条直线

2024♦北京、2024・天津平行或垂直；能用解方程组的

两条直线的位2023•北京、2023•天津方法求两条直线的交点坐标；

置关系2023•全国新H卷、2023•全国乙卷、掌握平面上两点间的距离公

2023•新课标I卷、2022•全国乙卷式、点到直线的距离公式，会

求两条平行直线间的距离。

【知识梳理】

1.两条直线的位置关系

直线八：y=拓x+m"：?=如+》,6：4ix+Biy+G=0,〃：4^+82丁+。2=0(其中

/1与，3是同一直线，，2与，4是同一直线，，3的法向量劭=(4，Bl),/4的法向量力=(4,

&)的位置关系如下表：

位置关系法向量满足的条件/1，，2满足的条件a/4满足的条件

平行V\//V2-------------

—

垂直

V\-V1—一———1

相交V\与s不共线----—

2.直线的交点与方程组解的关系

(1)两直线的交点

点P的坐标既满足直线小的方程4成+小丁+4=0,也满足直线/2的方程AK+&)，+C2

Aix+Sy+Ci=O,

=0,即点，的坐标是方程组V▲八的解，解这个方程组就可以得到这两

〔4加+82)，+。2=0

条直线的—坐标.

(2)两直线的位置关系与方程组解的关系

Aix+8iy+G=0,

一组无数组

方程组＜/M+B2y+C2=0的解—

直线6与，2的公共点的个数一个—零个

直线/|与的位置关系—重合—

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P\(x\,y),2⑴，>2)间的距离公式为岛尸2|=.

特别地，原点。(0,0)与任一点P(x,刃的距离|OP|=.

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点党)到直线/：Ax+By+C=O的距离d=------------.

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线/i：At+8y+G=0，/2：Ax+By+C2=0(GWC2)间的距离d=

4.对称问题

(1)点P(即，州)关于点A(“，份的对称点为P，

(2)设点P(x()，刃)关于直线y=k.x+b的对称点为P\x\/),

可求出V,y'.

「f茗际百获i\

；1.五种常用对称关系

II

“1)点(X,y)关于原点(0,0)的对称点为(一X,一)，).

；(2)点(x,y)关于4轴的对称点为(x,—y),关于y轴的对称点为(一x,y).

I(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=—x的对称点为(一y,-x).

I(4)点(x,y)关于直线x=〃的对称点为(2a—x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b—y).|

!(5)点(x,y)关于点(a,㈤的对称点为(2a—x,2b—y).

\2.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.'

II

:特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中X,y的系数必须对应用等.|

1

1.思考辨析(在括号内打"J"或"x”)

(1)当直线八和，2的斜率都存在时,一定有鬲=k2=>"/2.()

(2)如果两条直线6与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯•解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

2.若直线2x+/ny+1=()与直线3x+6y—1=0平行，则m等于()

A.4B.-4

C.lD.-1

3.两平行直线/］：x—2y—V15=0,b：4y—2v—3\/TU=0之间的距离为()

A.—B,3

2

C.V5D.2V2

4.已知直线2K+3y+l=0和x—3y+4=0相交，则这两条直线的交点坐标

为,过交点并且垂直于直线3x+4.v—7=()的直线方程为.

点拨】

1.三种常见的直线系

(1)与直线Ar+By+C=0平行的直线系方程为Ar+Bj+G=0(CWG);

(2)与直线AT+8)，+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+G=0；

⑶过直线AurIB\yIC)=0与直线A"ID2yIC2=0交点的直线系方程为A.xIIC)

+A(AK++Ci)=0(不包括直线AM+82)，+C2=0).

2.谨防四个易误点

(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.

⑵两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.

(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.

【必练核心题型】

题型一两条直线的平行与垂直

【典例】1.(多选)己知直线人AM+8)，+G=0和直线，2：4公+&、+。2=0,则下列

说法正确的是()

A.若A2=0,则12表示与x轴平行或重合的直线

B.直线/,可以表示任意一条直线

C.若A%—。,则毛〃为

D.若4也+8|%=0,则ZI_L/2

【典例】2.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：

三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.

已知△A8C的顶点分别为A(0,2),8(—1,0),C(4,0),则△ABC的欧拉线方程为

()

A.4x—3y—6=0B.3x+4y+3=0

C.4x+3y—6=0D.3x+4y—3=0

【变式训练】

变式1.(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4,0),8(0,3),C(6,7),下列说法中正

确的是()

A.边BC与直线3x-2y+1=0平行

B.边BC上的高所在的直线方程为3x+2y-l2=0

C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为X+)，-13=0

D.过点人且平分△48。面积的直线与边AC相交于点。(3.5)

变式2.已知直线l\：ax-y—1=0,h：ax—(a—2)y—1=0,若l\//则a

题型二两直线的交点与距离问题

【典例】1.过两条直线kx+2y-4=0,/2：2x-y-3=0的交点，且与直线x+3y

+1=()垂直的直线的方程为()

A.3.L)，-5二()B6L2)，-3二()

C.x—3)，+3=OD.3x+)，-7=0

【典例】2.当点P(—2,-1)到直线/：(l+32)x+(l+»y—2—41=0(2£R)的距离最

大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()

A.V13；3x+2y-5=0

B.VTT；3x+2y—5=0

C.V13；2x-3y4-l=0

D.V11；2x-3y+l=0

【变式训练】已知两条平行直线分别过点A(6,2)和8(—3,-1),并且各自绕点A,

B旋转，两平行线之间的距离的最大值为,此时两平行直线方程分别

为.

题型三对称问题

【典例】1.已知直线/：x+2厂2=0,试求：

(1)点P(—2,—1)关于直线/的对称点坐标；

⑵直线小)，=八-2关于直线/对称的直线/2的方程；

⑶直线/关于点”(1,1)对称的直线/'的方程.

【变式训练】已知直线/：2x-3y+l=0,点直一1,一2).求:

(1)点A关于直线/的对称点4的坐标；

⑵直线m：3x—2,，-6=0关于直线/对称的直线小的方程；

(3)直线/关于点A的对称直线，的方程.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.已知直线人：工+3—1》-3=0与直线A：x+2），+3=0相互垂直，则。的值为（）

C3D.-1

2.“m=一3”是“直线2x+（〃7+l）y+4=O与直线〃?x+3y-2=0平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.与直线2丫+3），+1=0立行且过点（0,1）的直线方程是（）

A.2x+3），­3=0B.3x+2y-2=0

C.2L3），+3=0D.3x-2y+2=0

4.已知从点（5,2）发出的一束光线，经4轴反射后，反射光线恰好过点（1,2）,则入射光

线所在的直线方程为（）

A.X—y—3=0B.x4-y-7=0

C.x—y+3=0D.x+y—3=0

5.若曲线y=/U）=2sinx+2025在点g,f（§）处的切线与直线），=or+2025垂直，则

实数。等于（）

A.1B.-1

C.2D.-2

6.已知直线/：x-\~iny—2ni—1=0,则点P（2,—1）到直线/距离的最大值为（）

A.V5B.x/10

C.5D.10

7.（2025•大同模拟）已知实数〃，b,c,d满足3。-4/?+3=0,3c—4"—7=0,则（。一＜:尸

+（b—d）2的最小值为（）

A.1B.2

C.3D4

8.过定点A的动直线x+ty=0和过定点B的动直线kx-y-lk^r1=0交于点M,则|MA|

+|M目的最大值是（）

A.2V2B.3

C.x<10D.V15

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.已知直线/：遮A•一厂H=0,则下列结论正确的是（）

A.直线/过第一、三、四象限

B.过点（b，1）与直线/平行的直线的方程是岳一厂2=0

C.直线岳一y+2=0到直线1的距离为3

D.若直线"Z：x—V3y+l=0,则/_L〃？

10.对于直线/i：or+2y+3a=0,h：3x+（a—1n+3—。=0,则（）

A./I〃，2的充要条件是。=3或a=—2

B.当时，Z,l/2

C.直线A经过第二象限内的某定点

D.点P(1,3)到直线Zi的弗离的最大值为3V2

11.(2025•眉山模拟)己知直线/：2x—y+3=0,点R(0,2),P(l,1),Q(1团)，〃?£

R,下列说法正确的是()

A.点P到直线/的距离为华

B.若点P与点。位于直线/的两侧，则机3

C.点P与点Q之间距离的最小值为企

D.|QR|+|QP|的最小值为2

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.经过点P(1,0)和两直线/1：x+2y-2=0,72：3x—2)，+2=0交点的直线方程

为.

13.若h2A+0—2=0与'x—)，+。=0平行，贝炳直线之间的距离为.

14.请运用数形结合的思想，得出函数y=的最大值

为.

【尖子拔高训练】每小题6分，共12分

15.(多选)若直线m被两平行直线/i：X—V3>f+V3=0与/：：%—V3y+3V3=0所截得的

线段长为巡，则直线小的倾斜角可以是()

A.30°B.75°

C.135°D.165°

16.(多选)(2025•广东九师轶盟模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点M(x,,y),Ng”)

间的折线距离d(M,N)=Ln—xzl+\y\—>?2|»已知A(a,b),8(1,1),记5=02+丘+2^+

4b,贝ij()

A.若d(A,5)=1,则s有最小值8

B.若d(A,8)=1,则点A的轨迹是一个正方形

C.若d(A,B)W1,则s有最大值15

D.若d(A,B)<1,则点八的轨迹所构成区域的面积为n

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.2两条直线的位置关系

【考情分析•探规律】

考点考情分析（202L2024）命题趋势

能根据斜率判定两条直线

2024•北京、2024・天津平行或垂直；能用解方程组的

两条直线的位2023•北京、2023•天津方法求两条直线的交点坐标；

置关系2023•全国新11卷、2023•全国乙卷、掌握平面上两点间的距离公

2023•新课标I卷、2022•全国乙卷式、点到直线的距离公式，会

求两条平行直线间的距离。

【知识梳理】

1.两条直线的位置关系

/：），=%2%+〃2，6：Aix+8i），+G=0,/：4822=0（

直线八：y=k\x+bit24工+丁+。其中

/i与，3是同一直线，，2与，4是同一直线，，3的法向量功=（4，8|）,，4的法向量。2=（4,

良）的位置关系如下表：

位置关系法向量满足的条件/1，，2满足的条件/3,/4满足的条件

482—481=0且4G-

平行口〃。2&1=L且5#必

42clW0

垂直1.=-14p42+8/2=0

V\-V2及

相交功与。2不共线4&一48-0

2.直线的交点与方程组解的关系

（1）两直线的交点

点P的坐标既满足直线小的方程4x+3iy+G=0,也满足直线/2的方程4%+&丁+。2

fAijr+^iy+C'i=（）,

=0,即点尸的坐标是方程组L八的解，解这个方程组就可以得到这两

〔A2X+82）'+Q=O

条直线的交点坐标.

（2）两直线的位置关系与方程组解的关系

4x+8iy+C]=0,

方程组LI："八的解一组无数组无解

14/+&丁+。2=0

直线/1与/2的公共点的个数一个无数个零个

直线与/2的位置关系相交重合平行

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点F|(X1，y),尸2(X2,⑴间的距离公式为岛P21=，(也一吐)2十(用一丫1)2.

特别地，原点。(0,0)与任一点P(x,v)的距离IOPI=#+

(2)点到直线的距离公式

|AroH-/?v+C|

平面上任意一点凡(向，加到直线/：Ar+8.y+C=0的距离d=(>

\/A2+B2

⑶两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线hAx+8)，+G=0,自Ax+B.v+C2=0(C¥C2)间的距离"=

\O-C2l

\jA2+B2'

4.对称问题

(1)点尸(心，泗)关于点A(mb)的对称点为2一一死).

(2)设点P(xo,刃)关于直线)，=履+力的对称点为P'(f,)，')，

可求出My.

点拨】

1.五种常用对称关系

(1)点(工,y)关于原点(0,0)的对称点为(一x,—

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,—关于y轴的对称点为(一X,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,幻，关于直线y=一工的对称点为(一y,—%).

(4)点(x,y)关于直线的对称点为(2a—x,y),关于直线y=〃的对称点为(x,2b—y).

(5)点(x,y)关于点3,〃)的对称点为(2a—x,2b~y).

2.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.

特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中羽)，的系数必须对应用等.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)当直线/1和，2的斜率都存在时，一定有七=依汕〃/2.()

(2)如果两条直线八与，2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

【答案】(l)x(2)X⑶J(4)V

【解析】(1)两直线Ji,a有可能重合.

(2)当/1_L/2时，若八的斜率左=0,则/2的斜率不存在，不满足题意.

2.若直线2x+〃少+1=0与直线3x+6y—1=0平行，则m等于()

A.4B.-4

C.1D,-1

【答案】A

【解析】因为直线2、+初，+1—0与直线3x+6y-l-0平行，所以;一?/3，解得m

36—1

=4.

3.两平行直线/1：x—2y—VT5=0,h：4y—2v—3\/TU=0之间的距离为()

A.—B.3

2

C.V5D.2V2

【答案】A

【解析】直线/):A—2y-V10=0可化为Zv-4y-2VT0=0,

直线h:4y—2.r—3-/10=0可化为

2x—4y+3g=0,

所以两平行直线之间的距离为

|3尺(2痴)|_572

2'

4.已知直线2x+3y+l=0利彳-3)，+4=0相交，则这两条直线的交点坐标

为，过交点并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.

【答案】(-鼠94x—3)，+9=0

【解析】由方程组产+3y+i=。，

解得卜1J1'即交点坐标为(一3,3，

(7=§，

因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直，

所以所求直线的斜率为

由点斜式得所求直线方程为)，一：=31+习，

即4x—3y+9=0.

点拨】

1.三种常见的直线系

(1)与直线Ar+By+C=O平行的直线系方程为Ax+By+C,=O(C^Ci)；

(2)与直线Ar+By+C=0垂直的直线系方程为8x-Ay+G=0；

(3)过直线Aix+Biy+G=()与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A/+S)：+G

+，人加+82)，+。2)=0(不包括直线AM+&)，+C2=0).

2.谨防四个易误点

(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.

(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.

(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.

【必练核心题型】

题型一两条直线的平行与垂直

【典例】1.(多选)已知直线64X+BD，+G=0和直线NA2X-\-B2y+C2=O,则下列

说法正确的是()

A.若4=(),则/2表示与x轴平行或重合的直线

B.直线lx可以表示任意一条直线

C.若A1%-A2B=O,则八〃/2

D.若4A2+882=0,则，山2

【答案】ABD

【解析】当A2=0时，，2的斜率为0,与x轴平行或重合，故A正确；

当囱=0时，/1的斜率不存在，当BiWO时，八的斜率存在，能表示任意直线，故B正

确；

若4由2—45=0,且AC-AGWO或30一%。170，则l\〃h，故C错误；

若B/2ro,则由4A2+8归2=0可得斜率之积为一1,故/I_L/2,若Z?I=O(B2=O),可得

A2=O(At=O)，此时满足4小2+"历2=0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，

故,故D正确.

【典例】2.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：

三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.

已知△48C的顶点分别为4(0,2),〃(一1,0),C(4,0),则△ABC的欧拉线方程为

()

A.4.L3厂6=0B.3x+4)，+3=0

C.4x+3y~6=0D.3.r+4y-3=0

【答案】C

【解析】因为△ABC的顶点分别为A(0,0),C(4,0),

所以8c的重心为G(l,I),

因为k八3=2,kAC=一~,

所以以8次“=-1,所以A8_LAC,

所以△ABC的外心为8C的中点0),

因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△八3c的欧拉线为直线GO,

所以△A8C的欧拉线方程为甥二三1,即4工+3厂6=0.

【解题技巧】判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况.

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

【变式训练】

变式1.(多选)的三个顶点坐标为A(4,0),伏0,3),C(6,7),下列说法中正

确的是()

A.边BC与直线3工一2)，+1=0平行

B.边上的高所在的直线方程为3x+2y-12=0

C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y—13=0

D.过点A且平分△A8C面积的直线与边BC相交于点0(3,5)

【答案】BD

【解析】直线BC的斜率为女=汽=I，而直线3x—2y+1=0的斜率为:，两直线不平

6-032

行，A错误；

边BC上的高所在直线斜率为一,，直线方程为y=-；(.r-4),即3x+2厂12=(),B正

确；

过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y—13=0,过原点时方

程为7x—6y=0,C错误；

过点4旦平分△48C面积的直线过边8c的中点，中点坐标为(3,5),D正确.

变式2.已知直线ax-y-1=0,Z2：ax~(a-2)y-1=0,若则a

【答案】0

【解析】①当。=0时，！I:y=-1,A：,/i/Z/2；

②当时，若ij/12,则〃-2=1,可得〃=35与4重合，不符合题彦，故々=0.

题型二两直线的交点与距离问题

【典例】1.过两条直线kx+2厂4=0,/2：2L)，—3=0的交点，且与直线x+3y

+1=0垂直的直线的方程为()

A.3x—y—5=0B.6x—2y—3=0

C.x—3y+3=0D.3x+y—7=0

【答案】A

fx+2y-4=0,fx=2,

【解析】由得/B

{2x-y-3=0,ly=l,

设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x—y+m=0,则3X2—l+〃z=0,得，〃=

一5,

所以所求直线方程为3x—y—5=0.

【典例】2.当点P(—2,一1)到直线/：(1+32口+(1+»)，-2一©=0(2£阳的距离最

大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()

A.V13；3x+2y-5=0

B.V11；31+2)，-5=0

C.V13；2x-3.y4-l=0

D.V11；2x-3y+l=0

【答案】A

【解析】将直线/11+3秘+(1+少-2—4/1=0(2£用变形得x+y—2+/l(3x+)，-4)=0,

由1+y-2=0,解得『二1，因此直线/过定点,1),

(3%+y—4=0,(>=1,

当4P_L/时，点P(一2，-1)到直线/：(1+3小+(1+■一2—42=0(2£1<)的距离最大,

最大值为|AP|=J(-2-1)2+(-1-1)2=V13,

又直线AP的斜率&”=聿=1,

则直线/的斜率为一|,

所以此时直线/的方程为y—1=—1),即3x+2y—5=0.

【解施技巧】利用距离公式应注意的点

⑴点P(Xo，州)到直线x=a的距离d=\xQ—a\,到直线产力的距离d=\y0—b\.

⑵使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,)，的系数对应相

【变式训练】已知两条平行直线分别过点A(6,2)和8(—3,-1),并且各自绕点A,

B旋转，两平行线之间的距离的最大值为,此时两平行直线方程分别

为.

【答案】3V103x+y-20=0和3x+y+10=0

【解析】两条平行直线分别过点A(6,2),8(—3,-1),并且各自绕点A,B旋转,

当与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，|A8|=J(6+3)2+(2+l)2=

AB

3V10,

这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3同,

•・•直线A8的斜率您8=累=；,

6+35

故这两条平行直线的斜率为一3,

则两平行直线方程分别为＞—2=—3(x—6),y+l=-3(x+3),

即31+)，-20=0和3x+y+10=0.

题型三对称问题

【典例】1.已知直线/：x+2y-2=0,试求：

(1)点P(—2,—1)关于直线/的对称点坐标；

(2)直线/.：)，=1一2关于直线/对称的直线/2的方程；

(3)直线/关于点M(1,1)对称的直线厂的方程.

【解析】

(1)设点P(—2,—1)关于直线/的对称点为Q(x,y),

所以对称点Q的坐标为(|,^).

⑵由-2=°，解得『=2,即直线/与人的交点为42,0),

(y=x-2,ly=O,

点£(0,-2)是直线h上的点，设它关于直线I的对称点为6(乃，yi),

皿=2,12

xi=T

则八.解得14

£+2•第-2=0,yi=T

即陪。

14

^B=-rr—=7,

T-2

所以直线6的方程为y=7(x—2),

即7X一)，-14=0.

(3)方法一在直线/：A—2y-2=0上任取两点，

如A(2,0),C(0,1),则A,C关于点M(l,1)的对称点A<C均在直线/上，

易得A(0,2),C(2,1),

所以直线/'的方程为)，一2=为人，

2—0

即x+2y—4=0.

方法二设直线/关于点M(1,1)对称的直线/的方程为x+2y+〃?=(),〃字一2,

由,解得〃?=-2(舍去)或〃?=-4,所以直线厂的方程为x+2v—4=0.

“：v5一2’-v5-―

【解题技巧】对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个

条件列方程组解题.

【变式训练】已知直线/：2x-3y+l=0,点A(—l.—2).求:

(1)点A关于直线/的对称点/T的坐标；

(2)直线m：3x—2)，-6=0关于直线/对称的直线小的方程；

(3)直线/关于点A的对称直线厂的方程.

【解析】

(1)设A'(x,y),由已知条件得

x+l3

%—1y—2

2x———3x—+1=0,

；二『'所以MW，3

解得

(2)在直线m上取一点，如M(2,0),则"(2,0)关于直线/的对称点“必在直线初上.

设对称点M\a,b),则

2x--3x—+l=0,八30\

i「得zM得，步

---X-----1,

.a-23

设直线，〃与直线/的交点为Q,

（2x—3y+l=0,但

由,得04,3）.

.3x-2y-6=0,

又加经过点。(4,3),所以直线”的方程为近=套?，即9x—46,，+102=0.

(3)方法一在I:2r-3y+1=0上任取两点，

如尸(1,1),2(4,3),则P,Q关于点4一1,-2)的对称点尸，Q均在直线/上,

易得尸（-3,-5）,。'（一6,-7）,

y+5_x+3

所以广的方程为,即2A—3y-9=0.

・7+5-6+3

方法二因为/〃厂,

所以设/'的方程为Zt—3y+C=0(CWl).

因为点4—1,-2）到两直线/,厂的距离相等，

所以由点到直线的距离公式，

得I；2161cl=7+611|,得c=-9,

J22+（-3）2.+（-3）2

所以/'的方程为2x—3y—9=0.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.已知直线八：工+3—1川一3=0与直线A：x+2y+3=0相互垂直，则〃的值为（）

A.1B.1

C.3D-；

【答案】A

【解析】V/i±/2,/.lXl-|-（a-l）.2=0=>a=i

2.“/〃=一3”是“直线2x+（〃?+l»+4=0与直线〃优+3），-2=0平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由直线2丫+（机+1»+4=0与直线/班+3厂2=0平行得5=当、今且〃话0,

解得〃?=2或〃?=-3，所以“〃?=—3"是"直线2x+（?n+l）y+4=0与直线=+3y—2

二0平行”的充分不必要条件.

3.与直线2r+3y+1=0立行且过点（0,1）的直线方程是（）

A.2x+3），­3=0B.3.r+2y-2=0

C.2x-3），+3=0D.3x-2y+2=0

【答案】A

【解析】设所求直线方程为2x+3y+C=0(CW1),

又过点(0,1),则可得3+C=0,解得C=-3,

则所求直线方程为2丫+3)，-3二0.

4.已知从点(5,2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1,2),则入射光

线所在的直线方程为()

A..x—y—3—OB.x+y—7—0

C.L)，+3=0D.x+y-3=0

【答案】A

【解析】运用点关于直线对称，求出(1,2)关于x轴的对称点为(1,-2),又(1,-2)

与(5,2)在同一条直线上，

运用两点式得到入射光线所在的直线方程为察=会，整理得x—y—3=0.

-2-21—5

则入射光线所在的直线方程为x-y-3=0.

5.若曲线y=/(x)=2sinx+2025在点停，f⑶处的切线与直线尸办+2025垂直，则

实数。等于()

A.lB.-1

C.2D.-2

【答案】B

【解析】函数./W=2sinx+2025,求导得/(x)=2cosx,因此曲线在点信/(粉处的

切线斜率为仁信)=],而切线与直线)，=,a+2025垂直，所以〃=一9=一1.

6.已知直线/：x+加)，-2〃z—1=0,则点P(2,—1)到直线/距离的最大值为()

A.V5BV1U

C.5D.10

【答案】B

【解析】直线/：x+my—2m—1=0,

即x—12)=0,

由尸1=0,得产L

.y-2=0,{y=2,

所以直线/过定点4(1,2),

当直线/垂直于直线AP时距离最大此时最大值为用尸|=J(2-1)2+(—1一2)2=715.

7.(2025・大同模拟)已知实数小b,c,d满足3〃一48+3=0,3。-44-7=0,则仅一4

+俗一")2的最小值为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

【解析】由题意得，点A(a，份在直线3x—4y+3=0上,点8(c,d)在直线3x—4y—7

=0上，两直线平行，所以(a—c)2+S—d)2的最小值为两平行线间距高的平方，即

-12

|3-7|一

8.过定点4的动直线x+0=O和过定点B的动直线kx-y-2k+1=0交于点M,则|历4|

+|MB|的最大值是()

A.2V2B.3

C.V10D.V15

【答案】C

【解析】由题意知工+依=0过定点40,0),

动直线人一)，-2攵+1=0,即确一2)—)，+1=0过定点8(2,1),

对于直线.r+6=()和动直线心一)，-22+1=0满足1XL+LX(—1)=O,

故两直线垂直,

因此点M在以A8为直径的圆上(除去点(2,())),HB|=j22+l2=V5,

贝IJ|MAF+|MBF=5,

所以(|M4|+|MB|)2=|MAF+|MB|2+2|MA||MB|W2(|MAF+|M8|2)=10,

当且仅当|M4|=|仞8|=?时，等号成立，

故|"4|+|M3|的最大值为4U.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.已知直线/：V3x-y+l=0,则下列结论正确的是()

A.直线/过第一、三、四象限

B.过点(b，1)与直线/平行的直线的方程是任一)，一2二()

C.直线柢「)，+2=0到直线/的距离为(

D.若直线〃7：x—V5y+l=0,则/_L〃？

【答案】BC

【解析】直线/过第一、二、三象限，故A错误；

设过点(百，1)且与直线/平行的直线的方程为,由于点(b,1)满足

该直线，代入得t=-2,所以所求的直线方程为百工一》一2=0，故B正确；

由于直线/：V5x-y+l=0与直线国工一丫+2=0平行故两直线间的距离d=,恒一"

16)2+(-1)2

=1,故C正确；

直线/的斜率为k尸6，直线m的斜率为心=苧，因为kkn去一T,所以直线1和直线/〃

不垂直，故D错误.

10.对于直线小方+2)，+3。=0,Z2：3x+(a-l)y+3—〃=0,则()

A/〃/2的充要条件是。=3或。=-2

B.当时，h±l2

C.直线/2经过第二象限内的某定点

D.点P(l,3)到直线/1的电离的最大值为3V2

【答案】ABC

【解析】若h〃h,则。(°一1)-6=0,解得。=3或。=-2,经检验，符合题意，所以

4=3或a=-2,所以/1，勿2的充要条件是4=3或。=—2,故A正确；

当a三时,3«+2(a-l)=^-^=0,所以，故B正确；

由：3x+(a—l)>+3—a=0,得(y—l)a+3%—y+3=0,令■['1°’解得”

(3x-y+3=0,(y=l,

所以直线/2经过定点(一，1),位于第二象限，故C正确；

由/1：”+2y+3〃=0,得。+3)〃+2)，=0,令『十^二。，解得一3,所以直线八过定点

12y=0,ly=0,

M(-3,()),当PMI/i时，点P(1,3)到直线/)的距离最大，最大值为|PM1=

](一3—1)2+(0-3>=5,故D错误.

11.(2025•眉山模拟)已知直线/：2r—y+3=0,点K(0,2),P(l,1),m),me

R,下列说法正确的是()

A.点夕到直线/的距离为衅

B.若点尸与点。位于直线/的两侧，则

C.点尸与点Q之间距离的最小值为迎

D.|QR|+|QP|的最小值为2

【答案】ABD

【解析】点户到直线/的距离公厂-1+3|=挈，A选项正确；

卜+(-1)2

将点P(1,1)代入直线方程得2—1+3=4>0,又点夕与点Q位于直线/的两侧，则将点

()(1—in,〃。代入直线方程得2—2〃L〃?+3<0,即,B选项正确；

22

\PQ\=J[l-(l-7n)]4-(l-?n)=J2m2_2m+l=」2(m—/+言/,c选项错

误；

•••1-/〃+m=1,・・.点。在直线h:x+y-\=O上,斜率k=~\,过点P作直线f±/i

于点。，如图所示，

'x+v—1=0

则r