高中数学必修第一册《两条平行直线间的距离》教案

2.3.4两条平行直线间的距离教学设计

课题两条平行直线间的距离单元第二单元学科数学年级高二

教材本节内容是在学习“两点间距高公式”、“点到直线距离公式”后的又一重要内容，求“两条

分析平行直线间的距离”通常转化为其中一条直线上任意-■点到另一条直线的距离，即“点到

直线距离公式”，进而得到求两条平行直线间距离的一般结论。通过本节的教学，让学生体

会化归与转化的数学思想，了解由特殊到一般地研究数学问题，体现J'逻辑推理和数学运算

的数学学科素养。

1数学抽象：应用“点到直线距离公式”求平行线直线间的距离；

逻辑推理：求两条平行直线间的距离；

教学2

3数学运算：两条平行直线间的距离的推导；

目标

4数学建模：初步掌握用解析法研究几何问题；

与

直观想象：两条平行直线间的距离；

核心5

6数据分析：从“点到直线距离公式”到“求平行线直线间的距离”再到例题，最后到课

素养

堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性.

重点求两条平行直线间的距离.

难点求两条平行直线间的距离.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课问题1：我们前面学习了两点间的距离公式和复习引入我们已经学习

点到直线的距离公式，分别是什么？学生独立思考了两点间距离公

式，点到直线的

问题2：如何求两条平行直线间的距离呢？距离公式，所以

容易想到两条平

行直线间距离的

问题，很顺利地

导入到新课。

讲授新课点到直线和两条平行线间的距离学生思考

点到直线的距离教师给出两条

定义点到直线的垂线段的长度平行直线间的

点尸0（孙川）到直线Ax+By+C=O的距离的定义

公式距Jd笔普普

两条平行直线间的距离

定义夹在两条平行直线间公垂线段的长度

两条平行直线A：4x+砂+G=0与，2：

公式Ar+bj+C2=0(G#C2)之间的距离

d=?

思考

已知两条平厅直线21，%的方程，如何求。，

%间的距离？

在直线。上任取一点Po(x。Jo)，点

Po(Xo，为)到直线%的距离就是直线4与直线12间

的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为

求点到直线的距寓.

例7已知两条平行直线k2x-7y-8=0,

6x-21y-1=0,求直线。与％间的距离.

分析：在，1上选取一点，如"与坐标轴的交点，用由特殊

点到直线的距离公式求这点到。的距离，即匕与G到一般

间的距离.地研究

解：先求!1与工轴的交点A的坐标.容易知道，点

A的坐标为(4,0).

点A到直线0的距离

|6x4-21x0-l|2323「

V624-2123V53159

所以A与％间的距离为含忌.

例8求证：两条平行直线Ax+By+G=0与

Ax+8y+。2=0间的距离为

IG-Gl

分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线

中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.

证明：在直线Ax+By+G=0上任取一点

PoOo，%))，点Po(%oJo)到直线Ax+By+

C2=0

的距离就是这两条平行直线间的距离.即

|Ax0+By0+C2\

J屋+解

因为点PoOo，为）在直线Ax+By+Ci=0±,

所以A%o+By。+G=。，即A%。+ByQ=—G

因此

|Ax+By+C\I-G+C2I|Ci-C\

a=-----0-0-2=———=—.——2

>JA2+B2y/A2+B2y/A2+B2

1两条平行直线间的距离公式适用于两条直线

的方程都是一般式，并且的系数分别对应相等

的情况，否则必须先将系数化为对应相等才能套用

公式.

2两条平行直线间的距离可以转化为点到直线

的距离.

求“两条平行直线间的距离”通常转化为其

中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两

条平行直线间的距离与其中一条直线上点的选取

位置无关，这样，就可以不必记忆两平行直线间的

距离公式了

课堂练习

1求与直线/：53—12)，+6=0平行且到/的距离为

2的直线方程.

解：

法一：设所求直线的方程为5x-12y+C=0.

在直线5x-12y+6=0上取一点为(0,

则点打到直线5x-12j+C=0的距离为

1―12X：+d_|c_6|

1\/524-(-12)213，

“JC-6|

由题意，得[[—2,

10

学生课堂练

所以C=32,或。=一20.

习，然后上台

故所求直线的方程为5x-12y+32=0,或5x

-12j-20=0.演示自己的答加深学生对求两

案。条平行直线间的

法二：距离方法的理解

设所求直线的方程为5.r-12j+C=0,

与运用，进一步提

由两条平行直线间的距离公式得2=

高学生运用知识

1一6|

卜5?+(—12>'的能力，对练习中

解得C=32,或C=-20.出现的情况可采

故所求直线的方程为5x-12j+32=0,或5x取互评、互议的

-12j-20=0.

形式，达到及时查

漏补缺的效果。

2若平面内两条平行直线匕：x+(a-l)y+2=

0

l2：ar+2y+l=0间的距离为呼,则实数

a=()

A.-2B.2或1C.-lD,-1或2

答案：c

提示：因为两条直线平行

所以！=?工;所以。=2或a=・l.

当。=2时，两平行直线即2%+2y+4=0

62x+2y+1=0,它们之间的距离为舄=

壶，不满足条件.

当.=-1时，两平行直线即21：x—2y+2=0

l2：-x+2y+l=0即%一2y—1=0,它们之

间的距离为器=等,满足条件.

所以a=-1

3两直线3%+3-3=0和6x4-1=0平行，则

它们之间的距离为________.

答案：手（由两条直线平行得m=2）

4两条平行直线2x-j+3=0和ax-3j+4=0间的距离为

d,则凡d分别为多少？

分析：根据两条直线平行的性质求得。，再利月两

条平行直线间的距离，计算d

解：根据两条平行直线2x->+3=0和ax-3j+4=0

得1=三行得。=6

所以两条平行直线即6x-3y+9=0和6x-3y+4=0

故它们之间的距离d=^==^