等式性质与不等式性质【八大题型】（人教A版必修第一册）解析版

专题2.1等式性质与不等式性质【八大题型】

【人教A版（2019）］

>题型梳理

【题型I用不等式表示不等关系】................................................................1

【题型2由不等式的性质比较数（式）大小】.....................................................3

【题型3利用作差法比较大小】.................................................................4

【题型4利用作商法比较大小】..................................................................6

【题型5作差法比较代数式的大小的应用】.......................................................7

【题型6利用不等式的性质判断正误】...........................................................10

【题型7利用不等式的性质证明不等式】.........................................................12

【题型8利用不等式的性质求取值范围】.........................................................14

A举一反三

【知识点1不等关系】

1.不等关系的建立

在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再

将不等关系用不等式表示出来，用得不等式或不等式组.

【题型1用不等式表示不等关系】

【例1】（23-24高一上•广东深圳,阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车

载重量30吨，8型货车载重量24吨，设派出4型货车工辆，8型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是（）

A.5x+4y<100B.5x+4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【解答过程】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.

【解答过程】由已知可得，30x+24yZ600,

所以有5x+4yN100.

故选：B.

【变式1-1］（23-24高一上・云南曲靖・期中）下列说法正确的是（）

A.某人的月收入X元不高于2000元可表示为“T<2000”

B.小明的身高为工,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“X

C.变量x不小于a可表示为“％>a”

D.变量y不超过a可表示为“y>a”

【解答过程】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可.

【解答过程】对于A,某人的月收入X元不高于2000元可表示为安工2000”，A错；

对于B,小明的身高为”,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为B错；

对于C,变量不不小于Q可表示为‘比Na”，C正确；

对于D,变量y不超过a可表示为“yWQ”，D错.

故选：C.

【变式1-2]（23-24高一上•河北邢台•阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘

米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点15（）米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能

够跑到安全区，导火索的长度》（单位：厘米）应满足的不等式为（）

A.4X言<15。B.4X^>150C.4x^<150D.4x^>150

【解答过程】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式.

【解答过程】由题意知导火索的长度工（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为高秒，

人在此时间内跑的路程为（4x日）米，由题意可得4x言“50.

故选：B.

【变式1-3]（23-24高一上.贵州遵义.阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往

灭火前线.从物资集散地到灭火前线-共40km,其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路

段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km/h,设需摩托车运送的路段平均速

度为xkm/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（）.

【解答过程】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于I小时即得.

【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即"十三<1，

60x

故选：D.

【知识点2比较大小】

1.两个实数大小的比较

如果a-b是正数，那么a>b-,如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么反过来也对.这

个基本事实可以表示为：〃>（）,a=b=a—b=O,a<b=a—b<0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与。的大小.

2.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0->l(a,Z>>0)Wc-<l(a,Z><0)

bb

a=ba-b=01=10*0)

a<ba-b=0@vl(a,〃>0)或色>l(a,Z?v0)

bb

【题型2由不等式的性质比较数（式）大小】

【例2】（23-24高一上.上海黄浦•阶段练习）己知a,4c6R且Q>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.-<B.a2>b2

ab

C.a|c|>b\c\D.>-^―

1111c2+ic2+i

【解答过程】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC.

【解答过程】A：当。>0>8时，工>:，故A错误；

ab

B：当。二-1溥二一2时，满足力，但小>垓不成立，故B错误；

C：当c=0时,a\c\=b\c\f故C错误；

D：由a>瓦c2+l>0,得义故D正确.

c2+lc2+l

故选：D.

（—<a+b<-c

53

【变式2-1］（2024高一上.安徽芜湖.专题练习）若正实数a,b,c满足不等式组｛a<b+c<^a,则a,b,c

\2b<c+a<

的大小关系为（）

A.b<a<cB.h<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

（11/a+b+c,7

-<----<一

Sc3

【解答过程】根据题意，化简不等式为《2〈竺把〈”，得到半£>>也上>竺竺£,即可求解.

a6bca

/a+b+c/15

oJ<—：--<—

/11/a+b+cj7

—<------<-

—5<G+h<3-c5c3

Q+b+c13

【解答过程】由不等式组因为均为正实数，于是，

a<b+c<2a,a,b,cZV---a---<-6-9

/a+b+c=15

2b<c+a<—bo

413<b—：—<~4

1.ia+b+cc-7a+Z?+c1113a+b+c匚厂i、［».

所以丁,所以b<c<a.

故选：B.

【变式2・2】（23-24高一上•四川广安・期末）已知a>b,则下列关系中正确的是（）

A.a-c>b-cB.ac>beC.|a|>\b\D.a2>b2

【解答过程】由不等式的性质可判断A,由特值法可判断BCD.

【解答过程】由a>匕，则a-c>8—c,A正确：

当c=0时，ac=be,故B错误；

当a=-3,b=-7时，a>b,

|a|=3,\b\=7»则|a|<|b|,故C错误;

a2=9,b2=49,则a2Vb2,故D错误.

故选:A.

【变式2・3】（23-24高二下.安徽芜湖.阶段练习）下列命题中真命题是（）

A.若Q>力，则ac>beB.若a>b,c>d,则a—c>b—d

C.若Q>b,则Q-bvOD.若爰v/，则avb

【解答过程】利用不等式的性质一一判定选项即可.

【解答过程】对于A,若c=0,显然a>b不能得出ac>be,故A错误；

对于B,若a=10>b=0,c=1>d=-10,Ma—c<b—d,故B错误:

对于C,若a>b,则Q—b>0,故C错误；

对于D,若专〈5则当c2=Q<}c2=b,故D正确.

故选:D.

【题型3利用作差法比较大小】

【例3】（23-24高一上.云南昆明期中）设M=2Q2+5Q+4,N=（Q+1）（Q+3）,则M与N的大小关系为

（）

A.M>NB.M=N

C.M<ND.无法确定

【解答过程】利用作差法分析判断.

2

【解答过程】因为M-N=（2a2+5Q+4）-（a+l）（a+3）=a2+a+1=（tz++^>0,

所以M>N.

故选：A.

【变式3-1］（23-24高一上.浙江杭州•阶段练习）已知0<a且——二，N一2,则M、N的

b1+a1+b1+a1+b

大小关系是（）

A.M=NB.M<NC.M>ND.不能确定

【解答过程】由作差法比较大小.

【解答过程】己知0则0<Qb<l,a>0,b>0,

b

所以，.一可=（^_£）_（*_*）=霍+公

(l-a)(l+b)+(1+a)(l-b)2(l-ab)

>0,因此，M>N.

(l+a)(l+b)(l+a)(l+b：i

故选:C.

【变式3-2］（23-24高二下.天津南开.期末）下列不等式中成立的是（）

A.若QV匕<0,则a?+/〉。2匕+。匕2B.若a<b<0,则乙<：

ab

C.若Q>b>o,则2>空D.若Q>b>o,则。一2>匕一色

aa+2ab

【解答过程】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD.

【解•答过程】对于A,若aVbvO,Ma—b<0,a+b<0,

所以加+b3-a2b—ab2=a2(a-b)4-b2(b—a)

=(a2-b2)(a一b)=(a+b)(a-b)2<0,所以/+b3<a2b+a/,故A错误;

对于B,若a<bV0,则/?—Q>0,ab>0,

所以2■—4一咚>°，所以工〉。，故B错误；

ababab

对于C,若Q>b>0,则h-Q<0,Q+2>0,

所以2-空=巡竿学=¥V<0,所以2c空，故C错误；

aa+2a(a+2)a(a+2)aa+2

对于D,若a>b>0,则a—b>0,a+Z?>0,

所以a_g_匕+(=(a-b)+(°一?;»二(a—b)(1+鬻),0,

所以Q—2>b—[故D正确.

故选:D.

【变式3-3]（2024•浙江金华•模拟预测）设a,b,c的平均数为与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若Q>

b>c,则（）

A.NVPB.P<M

C./V<MD.M+NV2〃

【解答过程】根据作差法比较大小，首先将要比较的M,N,P,用a,表示，后作差变形，运用a>b>c这个条件,

判断正负即可比较出大小.

a+b

【解答过程】根据题意得,M=竺卢,N=号,P=竽=耳」=竺”

32224

对于A选项,N-P=竽a+b+2ca+b-2c■,ya>h>c,••a—c>0,b—c>0,••a+b-2c>0,••N—

44

p=a+b-2c>0,可>P.

4

a+b+ca+b+2ca+b-2c

对于B选项.M-P=

4

a+b-2c

a>b>c,a-c>0,b-c>0,a+b-2c>0,M-P=----------->0,:.M>P.

a+b+ca+b-a-b+2c

对于C选项,M-N=■，^a>b>c,c-a<0,c-b<0,2c-a-b<0,

326

N=<o,...M<N.

o

对于D选项门M>P,N>P,：.M+N>2P.

故选：B.

【题型4利用作商法比较大小】

【例4】（2024高二下.全国.专题练习）己知c>l,且x=Vc+1—高,y=y[c—y/c-1,则x,y之间的大

小关系是（）

A.B.x=y

C.x<yD.x,y的关系随。而定

【解答过程】应用作商法比专1的大小关系即可.

【解答过程】由题设‘易知X‘户。,又广霖当=分<1,

.\x<y.

故选；C.

【变式4-1］（2024•山西晋城•一模）若实数m,n,p满足m=4eM,n=5e3,p=g则（）

A.p<m<nB.p<n<mC.m<p<nD.n<p<m

【解答过程】根据作商法比较大小，即可得出结果.

【解答过程】因为实数机，n,p满足m=4es,n=5es,p=引

3

uu卜Im4e§4-—.

所以一=—?=2,e15vl,

n5e35

Am<n；

3

C加4e52"13

又丞=可=鼠小>1，

>p：

/.p<m<n.

故选：A.

【变式4-2］（23-24高一上•北京,阶段练习）设Q=V7,b=3-痘,则a>〃（填入“〉”或"V”）.

【解答过程】由a、b均大于0,可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.

【解答过程】喘=2二而舞条二回答>等=1，即"L

b3—V3（3-v3）（3+v3）66b

又,:b>0,

•••a>b.

故答案为：）.

【变式4-3］（2024高一.上海.专题练习）P=a2+a+i,Q=rJ,（a£R）,则P,Q的大小关系为

Q-Q+1

【解答过程】用作商法比较RQ的大小关系，化简即可得结果.

22

【解答过程】因为P=a?+a+1=（a+J4->0,a2-a+1=（a-4->0则Q>0

由:=（a2+Q+l）（a2-a+1）=（a2+l）2-a2=a44-a2+1>1

所以P>Q

故答案为：>.

【题型5作差法比较代数式的大小的应用】

【例5】（23-24高一・全国・随堂练习）某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦a元/kg,二级小麦8元

/kg（b<a）.现有一级小麦〃?kg,二级小麦〃kg,若以两种价格的平均数收购，是否合理，为什么？

【解答过程】列式表示分等级收购和以两种价格的平均数收购的收购总额，再作差比较即可得解.

【解答过程】依题意，b<a,分等级收购的收购总额吻=am+/m,

以两种价格的平均数收购的收购总额W2=手（血+几）,

由%—iv2=am+bn+n)=1(a—b)(m—n),显然a—b>0,

f

当n<n时，<w2»当m>n时，ivx>w2»当?n=n时，Wi=iv2

所以当mHn时，卬1工卬2，收购不合理；当m=n时，=w2,收购合理.

【变式5-11（23-24高三上・安徽亳州•期中）已知b克糖水中含有Q克糖（匕>a>0）,再添加m克糖（m>0）（假

设全部溶解），糖水变甜了.

（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立;

（2）在锐角△AB。中，根据（1）中的结论，证明：

o+CC+71A"¥B

【解答过程】（1）用作差比较法即可;

（2）结合（1）的结论即可证明.

【解答过程】⑴若b>Q>—。，则K翳

a+ma(b+7n)-b(a+zn)zn(a-fe)

证明：

Ub+mb(b+m)b(b+m)'

因为b>a,所以ai<。，又力故器亮<。，

因此三氏・

(2)在锐角三角形中AVB+C,A>0,由(1)得忌〈黑7=

o+CA-TD+C/1+D+C

同rzq理-rjn--B-<--8-+-8--=---2B---

C+A/1+8+CA+8+C

A+BA+B+CA+B+C

以上式子相加得<2.

8+CC+AA+8

【变式5-2］（23-24高一•全国•课后作业）某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领

队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属皮体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、

车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

【解答过程】设该学校组织去学习的老师有71人（n€/V+）,全票价为％元，坐甲车队的车需花加元，坐乙

车队的车需花丫2元，根据两个车队的政策，分别求出坐甲车所需费用月元和坐乙车所需费用加元，再对力和加

作差，并且判断作差的结果的符号，可得出结论.

【解答过程】设该学校组织去学习的老师有九人（Z16N+）,全票价为％元，坐甲车队的车需花yi元，坐乙

车队的车需花y2元，

则％=x+^x（n-1）=：%+:第九，y2=^xn,

所以为—%="+'"）几=3一如八=3（1一胃

当九=5时，yx=y2i

当rt>5时，％<y2;

当0<n<5时，力>y2.

所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠：当去的老师

人数少于5时，选乙车队更优惠.

故得解.

【变式5-3］（23-24高一・全国•随堂练习）甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到8地，所用时间分别

为As,12s.甲有一半的时间以，〃m/s的速度行走，另一半的时间以〃m/s的速度行走；乙有一半的路程以

mm/s的速度行走，另一半的路程以〃m/s的速度行走，且mH上

（1）请用含〃?，〃的代数式表示甲、乙两人所用的时间Q和J；

（2）比较0与J的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地.

【解答过程】（1）分别根据两人的运动情况表述出所需时间；

⑵利用作差法比较大小即可得到结论.

【解答过程】（1）设A地到8地的路程为sm,

因为甲有一•半的时间以机m/s的速度行走，另一半的时间以〃m/s的速度行走，

所以/xm+/x-s,所以一含

因为乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半的路程以nm/s的速度行走,

所以七=芝+芝=复乙+工）=竽2

,八.42ss(m+n)s[47nn-(7n+n)2]

\Z)ti—to=-m-+-n----2--m-n-=---2-m-n(;-m-+-n：)—

s(m2+2mn+n2—4?nn)s(?n-ri)2

=-------------------------=-------------

2mn(m+n)2mn(m+n)9

因为mHn,所以(TH-n)2>0,因为s>0,mn>0,m+n>0,

s(m-n)2v0

所以•••

2mn(m+n)'

所以SV七，所以甲先到达8地.

【知识点3等式性质与不等式性质】

1.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c

性质3如果那么a±c=b±c\

性质4如果a=〃,那么ac=bc\

性质5如果a—bi存0,那么

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a\如果b<a,那么a>b.B|Ja>b<^h<a.

(2)如果a>b,b>cf那么a>c.即a>h,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a-\-c>b+c.

(4)如果4>Z?,c>0»那么ac>bc；如果G>〃，c<0,那么acv〃c.

(5)如果c>d,那么a+cM+d.

(6)如果。>〃>0,c>(t>0,那么

(7)如果”>/»0,那么(〃三N,n>2).

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

【题型6利用不等式的性质判断正误】

【例6】（23-24高二下・安徽合肥・期末）对于实数a,b,c,d,下列说法正确的是（）

A.若a>b,则」7>~

a-ba

B.若aVb,cVd,则ac>bd

C.若方>则

Q>C>0,a-ca-b

D.若则a+2>b+：

ab

【解答过程】对于A,B,C选项只需要用特殊值法，找出反例即可判断正误。D选项需要利用对钩函数丫=

x+1,利用函数单调性即可判断正误。

X

【解答过程】对于选项A,若。=1/=一1时，」7<乙，则A错误.

a-ba

对于选项B,若。<b,c<d,当a=-1,8=l,c=2,d=3,则ac<bd,则B错误.

对于选项C,若取。=3/=2«=1,则」—二1=二，故错误.

对于选项D,因为函数y=x+：在（1,+8）上单调递增，故D正确.

故选：D.

【变式6-1]（23-24高二下•广西玉林•期末）下列说法中，正确的是（）

A.若Q>b>0,c<d<0,则一定有:

B.若Q>b,贝壮<1

ab

C.若b>Q,m>0,则b+mb

D.若ac?>be2,则Q>b

【解答过程】若Q=2,b=l,c=-2,d=-l,可判断A；由已知可得L>0>3判断B；作差法比较

ab

大小判断C；由不等式性可得a>b,判断D.

【解答过程】对于A,若Q=2,b=l,c=-2,d=—l,则/=，故A错误.

对于B,若a>0>b,OllJa->0>7b,故B错误.

对干C_7>g_a）

'b+mbb（b+m）'

若0>b>a,m>0,b+m>0,则腺曰<0，即产<£所以C错误.

b（b+m）b+mb

对于D,由m2>加2,可知。2工0,即C?>0,所以Q>8,故D正确.

故选:D.

【变式6-2]（23-24高一上.广东深圳.期末）已知a,b,c£R,a>b,则下列一定成立的是（）

2

A.-a<7bB.ab>b

C.D.a（c2+1）>b（c2+1）

【解答过程】根据不等式的性质逐项判断即可结论.

【解答过程】对于A,当。=1/=一2,则工>：,故A不正确；

ab

对于B,当h=0时，由Q>b可得Qb=〃=0,故B不正确；

对于C,当a=2,匕=l,c=0时，—a+c=-a>故C不正确；

对干D,因为c2+l>0恒成立，所以由Q>b可得。（。2+1）>以。2+1）,故D正确.

故选：D.

【变式6-3]（23-24高一上•河南驻马店•期末）下列命题为真命题的是（）

A.若Q>b>0,则ac?>be?B.若a>b>c>0,则&>比

aQ+C

C.若a>b,c>d,则Q-c>b-dD.若无,y均为实数，则%?+y222(X+y-1)

【解答过程】利用特殊值判断A、C,利用作差法判断B、D.

【解答过程】对于A：当c=0时T=肩=o,故A错误；

对于B：因为Q>b>c>0,所以2—"£=以竺警警=阴<(),

a以+cQ(Q+C)a(a+c)

所以2c生，故B错误；

aa+c

对于C：当Q=3,b=2,c=1,d=0时满足Q>匕，c>d,但是Q—c=8—d=2,故C错误

对干D：因为/+y2-2(x4-y-1)=x24-y2—2%-2y+2=(%—l)24-(y—l)2>0,

所以/+y222(x+y-1),当％=y=l时取等号，故D正确.

故选:D.

【题型7利用不等式的性质证明不等式】

【例7】(23-24高一上,河北保定,阶段练习)设仇ceR,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+be+ca<0；

3

(2)若Q>b,证明M>b.

【解答过程】(1)先根据Q+匕+C=0表示出Qb+bc+CQ,结合小+炉+。2的符号可证结论；

(2)利用作差比较法得。3-b3=(a-b^a2+Qb+b2)>0,进而可证结论.

【解答过程】(1)证明:•；(a+b+c)2=M+标++2ab+2ac+2bc=0,

/.ub+be+ca=—1(a2+b2+c2).

a,h,c不同时为0,则Q2+/J2+C2>O,.，.ab+儿+ca=—/小+52+。2)vo；

(2)a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2).

2

,.•小+Q/J+Z>2=(a++^b>0,取等号的条件为a=匕=0,

而a>b,・,•等号无法取得，即a?+时+52=(Q+^匕)4->0»

又a>b,/.a3—b3=(a—b)(a2+ah+b2)>0,/.a3>b3.

【变式7-1](24-25高一上•上海,课堂例题)(1)已知a>b>0,c<dv0,求证：—a-c<b-d

(2)已知左-adNO,M>0,求证：呼工誓.

【解答过程】(1)利用不等式性质4,5得出Q-c>b-d>0,再取倒数，再利用性质6即可证明:

(2)对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式.

【解答过程】证明：（1）因为c<dV0,所以一c>-d>0.

又a>b>0.所以a-c>b-d>0,所以ov三〈匕.

又因为0<b<a,

所以言〈言

(2)因为bd>0,要证-W等，只需证明d(a+b)Wb(c+d),

展开得Qd+bd<be+bd,

即ad<be,be—ad>0

因为be-ad>0成立,

所以一工誓成立.

【变式7-2］（23-24高一上•陕西愉林•期中）证明下列不等式:

（1）已知a>b>c>d,求证：六〈士;

(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：—>

a-cb-a

【解答过程】（1）依题意可得。-4>8-。>0,再根据不等式的性质证明；

（2）利用作差法证明即可.

【解答过程】(1),•a>h>c>d,即Q>b,—c,

a-d>b-c>0,则/〈言.

(2)a>b>0,c<d<0,e<

•••-c>-cl>0,

,-a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,

eee(b-d)-e(a-c)e(b-d-a+c)e(b-a+c-d)-

M---------=-------------=-----------=----------->u，

a-cb-d(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)

ee

a-c>b-d9

【变式7-3］（23-24高一下•安徽,阶段练习）⑴设b>a>。，»。，证明：汴黑,

(2)设义>0,y>0,z>0,证明：1<旦+工+'-<2.

x+yy+zz+x

【解答过程】（1）根据作差法证明即可;

（2）由于京？故1<京+黑+5?再结合⑴的结论易证m+圣+W<2・

【解答过程】证明：（1）因为b>a>0,TH