基本不等式链和柯西不等式的四大妙用（原卷版及解析）

幅大招04基本不等式蹄J柯西不等不黜的四大妙用

题型01利用不等式链判定不等式

题型02利用不等式链求最值

题型03利用柯西不等式判定不等式

题型04利用柯西不等式求最值

知识梳理

知识点01基本不等式链

之《之疝之12m>0/>0）,当且仅当a=b时,

对于任意的。>0/>0,都有T

——F—

ab

等号成立.

其中分别为ayb平方平均数，算术平均数，几何平均数，调和平均

数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.

知识点02柯西不等式

1.二元柯西不等式

对于任意的cgcdeR,都有（时+她2,,（/+/）32+42）,当且仅当口/二公时取等号

2.〃元柯西不等式

对于任意的£R（，=1，2,…,〃），都有+齿+…+4）斫+以+…+f）..（〃也+/&+…+。也）2，

取等号的条件：q二①或〃产33=1,2,….

型解析

»题型01利用不等式链判定不等式

O030

熟记平方、算术、儿何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合

理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关

系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否.

【典例1］（多选）（2025•河南南阳模拟）已知正数〃?，〃满足上+2=2、贝女）

tnn

仑;B./?r4-/?2>2

2

D.3in,〃仁（0,+8）,>mn

【跟踪训练】

1.（多选）（25-26高三上•四川眉山•期中）对于a>0,〃〉（），下列不等式中正确的是（）

22

A/.a+b/a+b

A.abs-----BD.7ab±----

22

C.ab<[^\/+b2（a+b

I2J丁一1三

2.（多选）（2026•山东烟台•一模）若。>0,2>0,a+b=\,则（）

A.ab^—B.\fa+\/b<\C.a+In/?<0D.ew+b<2

4

»题型02利用不等式链求最值

策略：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规

律，灵活选用不同均值快速求最值。

注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转

化为正数，取不到最值改用函数单调性求解。

【典例2・1】巨如4,方为五木相零的主实数，则下列四个石中最大的是（）

D,

c.忘Ap+?

【典例2-2］（多选）（2025•广西北海模拟）设正实数a,人满足a+〃一1,贝人）

A.\小有最大值;B.」^+土:有最小值3

2a+2b2a+h

C./+序有最小值;D.&+逐有最大值加

【跟踪训练】

1.（多选）（24-25高二下•辽宁•阶段练习）已知。>0/>0且4+〃=1,则下列选项正确的是（）

A.他的最大值是:B.«的最大值是公

C.'+学的最小值是1+&D.邑+工的最小值是:

aba+2b+\4

2.设力=5,则4n+/5的最大值为.

♦题型03利用柯西不等式判定不等式

oaoa

观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构

造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条

件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。

【典例3］（25-26高一上•江西景德镇•期中）柯西不等式（Cauc/?y-5c»warz/cequa〃W）是一种在数学和物

理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁・路易•柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他

不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数。和"有（/+灯卜2+/”3+6/）2.

②等式条件：当且仅当ad-〃c=（）时，等号成立.

例：已知x+2y=2,由柯西不等式卜2+）,2）02+22”（X+2）,）二可得（V+/%=:运用柯百不等式，判

断以下正确的选项有（）

A.若储+从=1,则（为+3与2=9

-+^->1=3+2夜

B.若0<a<2,则

C.若0+6=4,则（而1+=2逐

D.若1<"3,则斤+46-2"）=瓜

\/max

【跟踪训练】

1.（多选）（2026・河北廊坊•一模）已知a,b,c,d均为实数，则下列说法正确的是（）

A.若a<b,cwO,则二

cc

B.若a>b,c>d,则ac>

23

c.若a>1,/?>1,且a+b=d?,则一^+^~；的最小值为2#

a-\b-\

D.若a>0,b>0,且a十〃=2,则Ja十1十一十2<>/10

2.（25-26高一上•湖南长沙•月考）设。，力为两个正数，定义〃，。的算术平均数为A（“〃）=等，儿

何平均数为G（a4）=而，则有：G（a,b）<A（a,b）,这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，

美国数学家D.从LMmer提出了"ebmer均值〃，即（（a,〃）='；；”,其中〃为有理数.如：

//_+严_」+扬

4式W产二产」一F.下列关系正确的是（）

笈十为

A.L^5（a,b）<A（a,b）B.^（a,b）>G（a.b）

C.Ly^b）^.D,Ln+l（a,b）<Ln（a,b）

»题型04利用柯西不等式求最值

策略：观察代数式结构，凑配成柯西标准形式，通过分组、添项、配系数构造平方和乘枳结构；

利用柯西不等式放缩，转化为定值从而求出最值。

注意事项：保证各项实数有意义；严格验证等号成立条件能否取到；多组连用柯西时，需保证等

号条件一致；结构不匹配时先变形、换元再套用。

【典例4・1】（25-26高三上•辽宁沈阳•月考）柯西不等式（Caulhy-SchwarzInequality）是法国数学家柯西

与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）\当且仅当N=g时等号成立.根据柯西不等式，已知x>0,yeR,且

ca

丁+不，一工+5y=30,则万3+J30-3y的最大值为（）

A.75B.RC.2瓜D.3&

【典例4・2】（多选）（2025高三•全国•竞赛）已知f+J+z）],则』+2y—2z+3取值范围是（）

A.[1,4]B.[。网

【跟踪训练】

1.（多选）（2026高三•全国•专题练习）已知x,》都在区间（-2,2）内，且盯=-1,则函数

49

-2-+O-f的最小值是（）

4-x9-y

A8c24广12a12

51175

2.（25-26高二下•河北•期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在

数学分析中有广泛的应用.二维柯西不等式为W+⑹（/+/"3+/叫2,当且仅当〃=儿时等号成

立.已知“>0,〃>0,直线），=2/-3。与曲线y=ln（2x+b）相切，则右+浮的最大值为（）

A.比B.逅C.毡D,"

3332

1.已知正数KV满足x+2.y=l,则人士后的最大值为（）

A.1B.yf2C.2I）.3

2.（25-26高三•全国•二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数%,生,生和々力2也，有

（々；+4；+4；）,：+片+%之（3+生优+。。3）2，当且仅当，=/■=詈等号成立,已知Y+），+Z?=14,请

0]

你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是（)

A.14B.12C.10D.8

3.（2026•北京朝阳・模拟预测）函数=——*的最大值为（）

A.1B.>/2C.2D.20

4.（多选）若心y满足x2+）尸-肛=1,则（)

A.-v+y<lB.x+y>-2

22.■

C.x2+y2<.2I)..L+y->1

5.（多选）若X，y满足f+）尸-划=1,则（)

A.x+y<1B.x+y>-2

22、.

C.X2+>-2<2D.x~+y~>\

6.（多选）设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是（)

A.c'+Z?+^=>2V2

a+b

I).(a+力(-+-)24

c.FT2a+bab

7.（2025高三・全国•竞赛）设2x+y—6z=2,则/+9+z?的最小值为

8.（2025高三・全国•竞赛）设第》zeR,且5丁+69+6z?—ByzK1,则x+〉+z的最大值为

9.（25-26高一下•河南郑州・月考）在VABC中，/A,NB,/C对应的边分别。，b,c

2sio4sin8sinC-百(sin?8Isin2csin2/4)

⑴求A;

⑵柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.

①用向量证明二维柯西不等式：5用+»为『<（M+货）（石+£）

②已知三维分式型柯西不等式：X，K，以CR,3+豆+看之您+公+刍），当且仅当土=£=工时

y%必力+必+为%乃为

等号成立.若〃=2,〃是V八AC内一点，过月作人5,BC,4c垂线，垂足分别为。，E,F,求

幽幽幽

|PD|\PE\\PF\的最值。

幅大招04基本不等式蹄J柯西不等不黜的四大妙用

题型01利用不等式链判定不等式

题型02利用不等式链求最值

题型03利用柯西不等式判定不等式

题型04利用柯西不等式求最值

知识梳理

知识点01基本不等式链

之《之疝之12m>0/>0）,当且仅当a=b时,

对于任意的。>0/>0,都有T

——F—

ab

等号成立.

其中分别为ayb平方平均数，算术平均数，几何平均数，调和平均

数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.

知识点02柯西不等式

1.二元柯西不等式

对于任意的cgcdeR,都有（时+她2,,（/+/）32+42）,当且仅当口/二公时取等号

2.〃元柯西不等式

对于任意的£R（，=1，2,…,〃），都有+齿+…+4）斫+以+…+f）..（〃也+/&+…+。也）2，

取等号的条件：q二①或〃产33=1,2,….

型解析

I►题型01利用不等式链判定不等式

熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合

理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧挂导大小关

系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否.

【典例1]（多选）（2025•河南南阳模拟）已知正数〃?，〃满足L+1=21则（）

mn

A.mn>^B./n2+n2>2

C./n+n>^D.3nG（0>+s）,M）加〃

【答案】AD

【详解】对于A"+L=2'2[1，则〃吟：，当且仅当〃?=〃=马寸等号成立，故A正确；对于B,应用重

mnymn22

要不等式得用2+〃22〃〃?。〃=〃时取得等号），由A中mn>^,当m=〃=4时取得等号，得〃，^+/次，*2x：

=1（当加=〃=?时能取得等号），即〃尸+标的最小值为与苏+〃2%矛盾、故B错误；对于C,因为一

+-=22,则3x（」+!）=立x（L+1）=1,〃?+〃=巫x（〃z+〃）（L+-）=^x（2+巴+2），其中巴十222I巴x2=2,

n2^4"4\mn/4\nmJnmyjnm

当且仅当〃1="=¥时取得等号，则加即〃?+〃的最小值为VL且，〃+〃=&<；,故c错误；对于

D,>4W/J+—,且，+'=2?,得〃而〃〃7+'之2]〃?〃•'=2,

\2mn）\ntn/\mnJmnmnmnmnMmn

当且仅当""?=1时等号成立，即mm,〃£（0,4-oo）,mn=\,（三9）=加〃，故D正确.故选AD.

【跟踪训练】

1.（多选）（25-26高三上•四川眉山•期中）对于4>0,〃>（）,下列不等式中正确的是（）

A.立江

B.信等

2

'a+bD.-2fa+b

C.ab<

2丁

【答案】ACD

【详解】选项A：由不等式链得

所以"“丘史.，当且仅当。=入时取等号，故A正确；

2

选项B：因为。>0,〃>0,所以a+万，即，石工人;，

当且仅当〃时取等号，故B错误；

选项C：因为a>0,b>0,所以而W绊，T，

当且仅当时取等号，故C正确；

选项D：由不等式链得'叵五当且仅当。=力时取等号，所以幺二^2(竺2],故D正确.

V2-22I2J

故选：ACD

2.(多选)(2026•山东烟台—模)若a>0,b>0,a+b=\,QiJ()

A.ab<—B.4a+x/b<1C.6r+ln/?<0D.e"+力<2

4

【答案】AC

【详解】对于A项，因。>0,b>0,且。+〃=1,则有(空了=；,

当且仅当。=》=；时取“=”，A正确；

对于B项，因。>0,〃>0,且。+力=1,则由不等式链得史上如上叵2=立，

2"V22

所以\[a+\/b<\/2,B错误；

对FC项，因。>0,/?>0,且。+〃=1,则。=1一〃，

得a+li仍=1一〃+lnZ?,0<Z?<1,

设f(x)=l-x+lnx,0<x<l,

11__y

r(x)=-i+-=—>0,得函数在(0,1)上单调递增，

XX

W/U)</(D=0,得l—x+lnx<0,

即1一6+ln〃v0,得a+ln力<0,故C正确；

aaa

对FD项，e+b-2=e+\-a-2=e-a-\y0<a<\,

令g(x)=e'-“-1,0＜工＜1,

得g'（x）=e*—1〉0,得函数H（x）在（0,1）上单调递增，

得g（x）＞g（0）=0,得e-＞0,即e“+〃＞2,故D错误.

I►题型02利用不等式链求最值

策略：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规

律，灵活选用不同均值快速求最值。

注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转

化为正数，取不到最值改用函数单调性求解。

【典例2・1】已知〃，力为互不相等的正实数，则下列四个式手中最大的是（）

AJ-Bl+1

c.高

【答案】B

【详解】因为0,b为互不相等的正实数，所以出*，方4S，后v得表&

所以最大的是1+：.故选B.

【典例2・2】（多选）（2025.广西北海模拟）设正实数”，〃满足〃+3=1,则（）

A.、小有最大值;B.±+丁二有最小值3

22a+h

C/+/有最小值:D.布+网有最大值企

【答案】ACD

【详解】对于A,由均值不等式可得属当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B,由

二二一L0竺当3=%普=1,得」行+占4当且仅当a+2b=2a+b,即时等号成立，故B

---1----2222a+h32

/2b2a-hb

错误；对于C,由J孚三手=；,得/+启当且仅当“=〃=；时等号成立，故C正确；对于D,由

W得当且仅当。=〃=；时等号成立，故D正确.故选ACD.

【跟踪训练】

1.（多选）（24-25高二下•辽宁•阶段练习）已知。＞0力＞0且=则下列选项正确的是（）

A.c活的最大值是:B.G+C的最大值是血

4

c.■!■+学的最小值是1+&D-W+自的最小值是:

ab

【答案】ABD

【详解】对于A项，因为。＞0力＞。且。+〃=1,所以岫当且仅当4时等号成立,

I2J42

即曲的最大值是;，故A项正确；

4

对于B项，因为。＞0力＞0且。+6=1,所以巫士®«9吆=即右+新4血，当且仅当

422

a=〃=g时等号成立，故B项正确；

对于C项，因为，+学=竺2+率=1+2+与21+2拒，当且仅当。=&-1力=2-&时等号成立，所以

ababab

L学的最小值是1+2及，故C项错误；

ab

a+2=x,a=x-2,

对干D项，令，所以

b+\=y,b=y-\.

「口।a2b~(x-2Y(y-1)24,I41

所以----+----=-----—+————=X4-——4+y+——n2=X+V+-+——6,

a+2b+\xyxy'xy

因为x+y=a+Z?+3=4,所以"+」~-=-+—-2,

a+2h+Ixy

22

,,,,411/.(4l}if,,4yx)、1“八9crK1ab41

因为，+7=W(x+)')♦匕+不上44+1+；+亍卜/(5+4)=“+—=-+--2>?,

21

当且仅当x=2y,即〃=彳/时等号成立，故D项正确.

故选：ABD.

2.设。,。＞。,。+力=5,则而工+而5的最大值为

【答案】3拒

【详解】由不等式链得(。+份242(/+〃)两边同时开方即得：〃+力4，2(4+/)(a＞0/＞。且当且仅当

时取“=”)，

从而有，TH+疯5[23+1+"3)=7^=3及(当且仅当。+1=〃+3,即a=g,8=|时・，"="成立)

”题型03利用柯西不等式判定不等式

观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构

造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条

件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。

【典例3](25-26高一上•江西景德镇•期中)柯西不等式是一种在数学和物

理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁•路易•柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他

不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数〃和。，有(。2+切/2+/"俳+川)2.

②等式条件：当且仅当4-庆=0时，等号成立.

例：已知x+2y=2,由柯西不等式(V+y2)(i2+22”(x+2)，)2,可得#十9%=1.运用柯西不等式，判

断以下正确的选项有()

A.若&2+〃=1,则(勿+3"1a=9

B.若0<〃<2,M|-+T^-I=3+2正

I。2一。人而

C.若a+b=4,则(J〃+1+2"+2)=2不

D.若则-1+16-2a)=5/6

\fnux

【答案】AD

【分析】根据柯西不等式(/+从*2+/)之(如+”)2,等号成立条件为〃/-尻、=0,对每个选项进行分析

计算，判断其正误.

【洋解】对于A选项，根据柯西木等式(/+/冷(2?+32)之(2〃+3b)2.

因为/+加=],所以(2?+3?)之(2。+3方产,即132(24+33)2.

所以-后工2〃+3。E>/^，则(2々+33M=而，当且仅当3。二幼时取等号,

A选项正确.

对于B选项，令机=",n=2-a,则〃z+〃=2.

根据柯西不等式(工++(2-a))2(xa+—x(2-.

a2-aVa\2-a

即d+--"22(1+&)2=3+2拉.当且仅当,、(2-〃)=3)<4取等号，

a2—aa2-a

所以(4+:_)2主应1,B选项错误.

a2-a2

对于C选项，根据柯西不等式(而T+2x/^+2)2<(1+4)(〃+1+3+2).

因为。+万=4,所以(>/^TT+2屈1)245、(4+1+2)=35.当且仅当4(4+1)=〃+2取等号.所以

V^TT+2屈工W屈，C选项错误.

对于D选项，令x=da-\,y=J3-a，则d+尸=。T+3-〃=2.

根据柯西不等式+j6-2a『=(y/a-1+y/2>j3-a)2=(x+\2y)2<(I+2)(x2+y2).

因为f+y2=2,所以(及二T+#W)246.当且仅当行^=拉>/^二1取等号.

所以V^T+j6-2a«"，D选项正确.

故选：AD.

【跟踪训练】

1.(多选)(2026・河北廊坊•一模)已知a,b,c,d均为实数，则下列说法正确的是()

A.若a<.b,c/0,则二<-7

c-c-

B.若a>b,c>d,则ac>bd

23

c.若。>1,b>\,且。+匕="，则;+L-;的最小值为

a-1b-\

D.若a>(),/?>(),Ra+b=2,则4而

【答案】ACD

【详解】vc*0,c2>0,-^>0,又avZ>,.,.二<2■，故A1E确，

c~c~c~

令a=l,Z?=-l,c=0,d=—2,ac=0<bd=2,故B错误，

a+b-ab=0,HPa+b—ah+\=1,/.(a-l)(Z?-l)=1,又a〉l,/?>I,a-\>O,Z>-1>0,

—+-^->2AP=ZX=2V6,当且仅当二7二上时，即。=1+必力=1+如等号成立.故c正

a-\b-\\a-\h-\a-\b-\32

确，

(J〃+1+J〃+2)=(lxja+l+lxJ/?+2)K(I~+1~)(ja+1)+(,.+2),

又〃+Z?=2,(ja+l)+(+2)="+6+3=5,则(ja+l+Jb+2)<2x5=10,

又G+标工>0,...G+gM痴，当且仅当今1=今2,即。=。力=：时等号成立，故D

正确.

2.（25-26高一上•湖南长沙・月考）设〃为两个正数，定义〃，力的算术平均数为4（4〃）=?,几

何平均数为G（〃"）=疝，则有：G（a,b）＜A（a,b）f这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代,

Zf〃+〃"

美国数学家D.H.LMm4提出了QMmq均值〃，即（（〃1）=……，其中〃为有理数.如:

（V+bf

产+,4a+y/b

4.5（〃，'）=《产+产--jF,下列关系正确的是（）

/忑

A.小（“〃）工人（4〃）B.4（a,〃）NG（“〃）

C.4（〃,〃）“（©〃）D.

【答案】AC

【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.

【详解】A：■（〃，〃）=半¥=疝《审=4（。/），故人对;

&.加

B：£»（〃力）='=网^-«2：==G（a,b）,故B错；

al+b'a+b2Jah

，/.xa2+b2.//、a+b

c「：七”）=B'O三

L（a,b）2（r/2+h2）2（/+〃）a2+/?2+r/2+Z?2

而（a+b）'=a、bFab=Hb故'对

如心，与__S”+""）（4+/）J/+好27

D：由柯西不等式,故D错.

“a，b）〃；+J[an+b"f~（a"+b'^

故选：AC.

A题型04利用柯西不等式求最值

策略：观察代数式结构，凑配成柯西标准形式，通过分组、添项、配系数构造平方和乘积结构;

利用柯西不等式放缩，转化为定值从而求出最值。

注意事项：保证各项实数有意义；严格验证等号成立.条件能否取到；多组连用柯西时，需保证等

号条件一致；结构不匹配时先变形、换元再套用。

【典例4・1】(25-26高三上•辽宁沈阳•月考)柯西不等式(Caulhy-Schwarz"equality)是法国数学家柯西

与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)\当且仅当色=§时等号成立.根据柯西不等式，已知x>0,ycR,且

ca

x24-^-A-+5y=3(),则，2-工+小30-3)，的最大值为()

A.75B.x/6C.2x/6D.3及

【答案】C

【详解】由f+冷，-x+5y=30,得f-x-30+；9，+5y=0,即(x+5)(x+y-6)=。，

由工>0,得x+y=6,则X/^+J30-3），=V^+J12+3X=X/^+6.>/^,

由.r>0,2-x>0,得0<xK2,

由柯西不等式得（万W+G•"^尸W[『+（6）2].[（后金）2+（历Q）2]=24,

£2瓜,当噜=牛,

因此J2-x+VLj4+x即时取等号,

所以+j3O-3y的最大值为26.

故选：C

【典例4・2】(多选)(2025高三・全国・竞赛)己知f+y2+z2“],则f+2y-2z+3取值范围是()

A.[1,4]B.[0,75]

C.[3-2四,3+2夜]D.(血,5+我)

【答案】C

【详解】因为0+(—Z)]2«(1+1)F+(_Z)[W2(/+)，2+Z2)42,

则y-zZ-0,Hx2>0，可得寸+2y—2z+320+2(—夜)+3=3—2点，

当且仅当x=0,y=—旦z.博时,等号成立；

*22

乂因为X2+/+?<1,则A2^1-r-r,

可得x2+2y-2z+3<4（/-I-z2-2y-l2z）.

且y2+z2-2y+2z=(y-l)2+(z+l)2-2,

设点和标准单位圆面内点尸(y,z),则(.y-lf+(z+l)2-2=|必「一2,

又因为|。4|-0川引。4|+1，所以及-闫融区0+1,

所以|PA「N3-2立,可得(y—l『+(z+l『一2N1-2a,

!lliJx2+2y-2z+3<4-(y2+z2-2y+2z)<3+2V2,

当且仅当x=O.y=Y2,z=—Y2时，等号成£

22

综上所述：所求取值范围是[3-2页,3+20].

故选:C.

【跟踪训练】

1.(多选)(2026高三•全国•专题练习)已知x,V都在区间(-2,2)内，且书=-1,则函数

49

二？+"的最小值是()

241212

A»B.—C.—D.

5II7T

【答案】D

【详解】解法一：因为"=-1，

所以y=」，且(XHO),

X

又因为x,ye(-2,2),

所以xe(—2,—!)512),

22

4949/49x2-l+l,4I

,+--------=,+,=,+,=]+,+---------

4-x29一)尸4-x29x2-14-.r9.r-l4-x29x2-l

36X2-4+4-X2,35/35

1+-------；------；-----=14-------：--------7——=1+——7--------7-y

2一

(4-x)(91-1)-9.?+37/437-9X2+4

因为xe(-2,-fug,2),

所以八(2

所以9/+等2/941=12,当且仅当9小=9，即f=：时等号成立,

35~35二7

所以可7斓一才.

所以〃之1+7(=?12,

所以〃的最小值为1?2.

解法二：因为冷，=-1,

所以尸,，且(—0),

X

「「，4949x249X2-1+1,41

所以〃=-----+-----=-----+-;=-----+---;----=1+----+-；

4一厂9-y-4一厂9.V-14一厂9厂一14一厂9x--l

12

所以〃的最小值为

故选：D.

2.(25-26高二下•河北•期中)柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立.发现的，它在

数学分析中有广泛的应用.二维柯西不等式为(/+⑹(/+/"俳+4『，当且仅当"=权对等号成

立.已知。>0)>。，直线y=2x-3a与曲线y=ln(2x+9相切，则右+半的最大值为()

A有R瓜r26nx/6

3332

【答案】B

【详解】设直线y=2x-3a与曲线y=In(2x+〃)相切的切点为(%.%),

22

由y=ln(2x+A)得，则^—-=2,即2.%+8=1,

%=2A\-3a,、

则jy=Inj2Ao+bY得2/_3〃=ln(2%+b)=\n\=O,

所以为=芋，代入2%+人=1得3a+b=l,

因为〃>(),〃>(),所以

>>/3dX-^=+y/bX

［阿+（可图+1

1Y⑷一小，\22

因为+=(3«+/?)x-=-,

」W3

所以E=&八+叵,当且仅当瓦乂走=扬xj=,即。：等号成立.

V3333662

故选：B.

巩固提升

1.已知正数X，「满足XI2y=l,则6+后的最大值为（）

A.1B.72C.2D.3

【答案】B

【详解】由基本不等式链得立十严WJ'手=4'所以五十而K0，故选B.

2.（25-26高三•全国•二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数4M9和〃也也，有

（a；+5+a；）（月+6+硝？（岫+ab+她『，当且仅当2=詈=f等号成立，已知/+），+z?

22=14,请

你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造（/+>2+22）（12+22+32）2（1+2），+32）2求解即可.

【详解】因为V+y2+z2=14,

根据题目中柯西不等式的三元形式可知1+当任+2?+32卜（x+2y+3z『，

所以（x+2y+3z『<14x14,x+2y+3z<14

x=1

当且仅当：=1=即r，=2时等号成立，

［z=3

所以x+2y+3z的最大值是14,

故选：A

3.（2026•北京朝阳•模拟预测）函数/（.r）=G7+"77F的最大值为（）

A.1B.拉C.2D.2&

【答案】C

【分析】由柯西不等式求解即可.

【详解】/（X）=Jx（i-A-）+JX（4-A）,由｛~,解得0CW1,

4文一x>0

当x=0时，/（x）=0,当X=l,/（A）=75,

当0cx<1,M/（A-）>O,

此时1T>O且4T>0,

由柯西不等式可得［6（7）+小（4-川飞卜+（4-切［（1一力+入］=4,

当且仅当一一=上三，即工=2时取等号，此时r（x）«4,即/⑺W2,

l-.vx5

所以函数/（'=4-42+J4X-3的最大值为2.

故选：C.

4.（多选）若x,y满足丁+）?一孙=1,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.Jr2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

哈&1（。>0力>0）

【详解】由基本不等式链:7T

一+一

ab

a1+b2

可得<（。㈤R）,

22

对于C,由/+y2一个=1可变形为（/+9）-1=冷，二话21,解得Y+y2K2,当且仅当^二'二±]时取等

号，所以C正确

因为出早父生（〃/iR）,由f+y2—肛=1可变形为，（“+）,）2_[=3与*3（字）一,解得

-2<x+y<2,当且仅当x=y=—1时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正

确：故选AC.

5.（多选）若x,y满足f+丁-孙=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【详解】由基本不等式链：产等NJ茄

a+b

可得"《等）匕名/（。血R），

对干C,由丁+9_g，=1可变形为卜2+）,2）_]=切，4三小二，解得/+）,242,当且仅当x=y=±l时取等

号，所以C正确

因为"（a,blR）,由/+./-岁=1可