指、对、幂数的大小比较必考七类问题-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题4.9指、对、幕数的大小比较必考七类问题

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【类型1利用函数的性质比较大小】.............................................................2

【类型2中间值法比较大小】....................................................................3

【类型3作差法、作商法比较大小】.............................................................5

【类型4构造函数法比较大小】..................................................................8

【类型5数形结合比较大小】...................................................................II

【类型6基本不等式比较大小】.................................................................18

【类型7放缩法比较大小】.....................................................................21

＞知识梳理

【知识点1指、对、嘉数比较大小的一般方法】

1,单调性法：当两个数都是指数塞或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数

值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如8和〃电，利用指数函数＞=的单调性；

②指数相同，底数不同时，如k和门，利用寻函数单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log”X和log”占，利用指数函数log“x单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者

其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数匕大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可•以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”

规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6.放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幕函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►题型归纳

【类型1利用函数的性质比较大小】

I.(24-25高三上•广东佛山•阶段练习)已知a=诉，b=logi(/nn),c=Q)”则小b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【解题思路】利用指数函数和对数函数单调性限定出a,b,c的取值范围即可得出结论.

【解答过程】易知a=%二宿>TT°=L即a>1：

而Irm>Ine=1,所以匕=logi(lnn)<logil=0,即b<0；

44

又o<c=Q)1'7<Q)0=i,即o<c<1；

即可得b<c<a.

故选：D.

3

2.(24-25高三上•内蒙占赤峰•阶段练习)己知a=3。1,b=0.1,c=log30.1,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【解题思路】利用指数函数、对数函数单调性得出a,he的取值范围，即可得出结论.

3

【解答过程】易知3°,>3°=1,0<0.1<1,log30.1<log3l=0,

所以a>b>c.

故选：B.

0403

3.(24-25高三上•广东肇庆•阶段练习)若Q=O.3-,b=O.4,c=21og83,则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】利用幕函数、指数函数的单调性得到又C=21og83=log89>l,即可求出结果.

【解答过程】因为y=0.3、在定义上单调递减，所以a=O.304<O.303,

又y=”3在区间(0,+8)卜.单调递增.所以0.3°3<O.403=b<1,得到a<b<1»

又c=21og83=log89>1,所以c>b>a.

故选:C.

4.(23-24高三上•重庆南岸.阶段练习)已知a>b>l,cV0,则()

A.;<;B.(-c)«>(4

C.(;)a+c<(乎+cD.logb(a-c)>loga("C)

【解题思路】对于A,B,取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于D,利用对数函

数的单调性判断即可.

【解答过程】对于A,不妨取a=4,b=2,c=-1,则£=一：3=-"此时£>故A错误；

a4b2ab

对于B,不妨取a=4,b=2,c=-l,ffl(-c)a=l4=1,(-=l2=1,此时(一c)。=(-c",故B错误；

对于C,因为a>b>1,所以0<1,所以指数函数y=在R上单调递减，

因为cV0,所以a+c>b+c,所以(I-，VQ)d+C,故C正确；

对于D,因为a>b>1,所以对数函数y=log>为和y=log。%在(0,+8)上单调递增，

因为c<0,所以a-c>b-c>1,所以k>g"a-c)>logb(b-c)>0

又log匕(b-c)>loga(b-c)>0,所以logMa-c)>loga(b-c),故D正确.

故选:CD.

25

5.(23-24高一上•江苏徐州•阶段练习)设a=0.5,b=ilog25,c=2--,则c的大小关系为b>c>

a_.

【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.

21-21

【解答过程】依题意，0.525<0.5=2<2°=1,b=logzV5>logz2=1,则b>c>a,

所以a,b,c的大小关系为b>c>a.

故答案为：b>c>a.

6.(23-24高一・上海•课堂例题)设a=G),b=%最及c=log”，当时，试比较5及c之间的大

小关系.

【解题思路】利用指数函数，对数函数，塞函数的单调性比较值的大小即可.

【解答过程】当%>1时，由于a=(|『是一个减函数，所以0<a=(|)"v(|7

由于b=晨是一个递增的累函数，所以6=装>1,

由于C=log,是递减的对数函数，所以C=log2X<log21=0,

333

故c<a<b.

【类型2中间值法比较大小】

7.(24-25高二上•贵州遵义・开学考试)若。=3。汽b=log0_33,c=0.33,则a,bt。的大小关系为()

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【解题思路】利用指数函数和对数函数的性质比较见仇。与0，1的大小，从而可比较出大小关系

0,33

【解答过程】a=3>1,b=logo33<0,0<c=0.3<1

所以a>c>b

故选：D.

8.(24-25高二上•安徽阜阳•开学考试)设Q=log?。？，b=0.22,c=202，则a,〃，c的大小关系是

()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【解题思路】根据指数以及对数的性质，与中间值。和1比较，即可求解.

202

【解答过程】a=log20.2<0,h=0.2G(0,1),c=2>1,

：・a<b<c

故选：A.

9.(23-24高二卜•天津红桥•期末)已知。=2>2,b=21g3,c=\n^则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【脩题思路】取中间值2,1,0,根据Q>2,0</)<1,c<0,比较a,4c的大小关系.

【解答过程】Q=2L2>21=2,

b=21g3=lg32=lg9<IglO=l,h=lg9>Igl=0,即0<b<1,

c=In-<Ini=0,

3

所以a>b>c,

故选：A.

1().(23-24高一上.湖南湘西•期天)设Q=ln4,b=lg4,c=206,则()

A..b>aB.c>aC.a-b>abD.a+b>ab

【解题思路】根据换底公式判断A,找中间量;，分别与之比较判断B,作差后换底公式化简判断CD.

【解答过程】b-a=lg4-ln4=lg4-^=处警2

又l>lge>0,lg4>0,所以匕一aVO,即b<a,故A错误；

因为42<e3,所以In42<lne3,即ln4〈支

又(|)s=瑞，(2。6)5=卜)=8=署，所以:<2。巴即吊4<2。巴故B正确；

1

因为Q—b—ab=）n4—）g4—In4lg4=氏一lg4—f=电，设.

而lg4e>1,lg4>O』ge>0,所以Q-b—abVO,即a-bVab,故C错误：

由a+b—ab=粤+lg4—臀,lg4=lg4,>0,所以a+b>abt故D正确.

故选：BD.

11.（2024•北京通州•三模）已知口=2-1,，b=logipc=log23,则三者大小关系为a<b<c（按

从小到大顺序）

【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.

【解答过程】因为Q=2Tl<2T=p

b=log—=log43>log42=I，且/?=logij=log43<1,

c=log23>log22=1»

故aVb<c,

故答案为：a<b<c.

12.（24-25高一•全国•随堂练习）已知x=Inn,y=log52,z=e~.

（1）比较x,y的大小；

（2）比较y,z的大小.

【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，羽y和中间值1比较大小，即可判断；

（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y,z和中间值夕匕较大小，即可判断.

【解答过程】（1）因为n>e,所以Inn>Ine=1,即％=Inn6（1,+8）

因为1<2<5,所以0=logsl<log52<logs5=1,BPlogs2€（0,1）,

所以%>y：

（2）y-log52<logbV5=\且10的2>0,所以log$2G（0弓），

z=e-：=3>G=；,所以e-昊&+oo）,

所以y<z.

【类型3作差法、作商法比较大小】

13.（24-25高二上•湖南长沙•开学考试）设a=log52,b=0.5°6,c=0.6%则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

【解题思路】利用对•数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出Q<pb>^即可判断出b>a,再利

用作差法比较c,b的大小关系即可求解.

0161

【解答过程】解：a=log52<logs遥=^,b=O.5>0.5=

b>a,

31

Vb=O.506=(乎c=O.605=(1)\

、_

"*'cin-b,io=-2-4--3----1---=-1--2-4--2-7->0,

312564200000

AC>£»,

c>b>a,

故选：A.

14.（24-25高二上•安徽•开学考试）已知a=log45,b=logs6,c=log67,则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【解题思路】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小.

【解答过程】2=%=log6.lcg4<（晚心等）2=（弊）2V（譬变）2,即匕va.

Q.Iog《55Ls22=1

2=黑=log67-10g65<（些产）2=（亨）2<代署）2=1,即c<b.

DlOggO乙ZZ

综上知道a>b>c.

故选：D.

15.（24-25高三上・四川德阳・开学考试）已知a=】og32,b=1。〃3,c=0.512,比较a,b,c的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解题思路】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较a,b的大小，再利用对数函数、指数函数

的性质比较a,c大小，即可求解.

In3_In2ln4-（ln3）2

【解答过程】a-b=^

In4In34n4

因为In2,ln4>0,

所以ln2+ln4>2Vln2-ln4,即ln2-ln4<^（ln8）2<^（ln9）2=（ln3）2,

所以ln2•ln4V（ln3）2,且ln3"n4>0,

所以a<b,

1,21

又因为Q=log32>log3V3=I，c=0.5<0.5=I，

所以a>c,

综上，b>a>c,

故选：D.

16.（23-24居一下•江西抚州•期I）已知实数a,bW（0,+8）,且a>b,则（）

A.--->-—B.Q2d>+2b

a+2b+2?+

C.\nab<21naD.\[a+b>a+4b

【解题思路】由不等式的性质即可判断AB；作差法判断C,特殊值法判断D.

【解答过程】对于A,因为a>b>0,所以a+2>b+2>0,所以白〈白，故A错误;

a+2ft+2

对于B,因为a>b>0,所以a?>。2,2。>2b,所以a?十2a：>b?十2b,故B正确；

对于C,\nab-21na=Ina+Inb—21na=In/?—Ina=In-,

a

因为a>b>0,所以0<2<1,所以In^vO,故C正确：

aa

对于D,令a=l,b=；,可知D错误，

4

故选:BC.

17.（2024高三上•全国•专题练习）若"6NLn>l,则logn（〃+1）与地叶式九+2）的大小关系为_

1。国+1（几+2）Vlog?[（九+1）.（用“<"连接）

【解题思路】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.

2

【解答过程】霭儒=logn+in-logn+1（n+2）<[组咤吐

22

二|'logn±i（n^+2n）<jlogn+i（n^+2n+l）j_]

因为九c/V“，n>1,WJlogn（n+1）>lognl=0,10gn+1（n+2）>log„+1l=0,

所以logn+15+2）<logn（n+1）.

故答案为：logn+1（H4-2）<logn（n4-1）.

18.（23-24高三•全国•对口高考）（1）比较外阴与

（2）已知a>2,比较log（a_i）a与】oga（Q+1）大小.

【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；

(2)利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.

【解答过程】(1)因为a>0,b>0,

所嘲=(广

所以①当Q=b>0时，公K=(?)=1»

所以a。/?=

②当a>b>0时，^>l,a-b>0,

b

嗯厂,>L

所以a”》>baab,

③当b>Q>0时，0<0,

b

即铲

所以a。/?>〃(？，

综上所述：当Q>0/>0,aabb>baab.

(2)log^.^a-loga(a+1)

Igalg(a4-1)

-lg(a-1)Iga

_lg2a-lg(a+l)lg(a-l)

lgalg(a1)

因为a>2»所以lg(a4-1)>0,lg(a-1)>0,lga>0»

所以lgalg(a-1)>0,

由lg(a+l)lg(Q-l)vyg，a+D)2

=(空)2<(竽)2=lg2a,

所以收2Q_ig(a+i)lg(a-1)>0,

所以lg2aTg(a+1)lg(aT)

>0,

Igalg(a-l)

即log(a-l)。Toga(a+1)>0，

故log(a-l)a>IOga(Q+。

【类型4构造函数法比较大小】

b

19.(23-24高二下•云南玉溪•期口)已知实数a,b,c满足2。+。=2,2+b=V5,c=log163,则()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】由对数函数单调性得cVn构造函数/■Q)=2X+X,X£R,由函数的单调性得Vb及，

即可得出判断.

【解答过程】由对数函数单调性得，c=log163<log164=log16162=p

构造函数/(%)=2X+x,xGR,则/(a)=2。+Q=2,f(b)=2b+b=V5

因为y=2x和y=%单调递增，所以/(x)单调递增，

因为2c通，即/'(a)</(b),所以avb,

又/(}=2^+：=等<2,所以f(a)>fG)，即

所以cVaVb,

故选：A.

20.(23-24高三上•湖南•阶段练习)已知a=e-l,b=海■一三，c=近一齐，贝IJ()

4Inn

A.b>c>aB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【解题思路】根据给定条件，构造函数/'。)=1-：并判断其单调性，借助函数单调性比较大小即可.

【解答过程】令/(无)=e"-：，x>0,显然函数丫=e',y=-:在(0,+8)上都递增，则函数/[%)在(0,+8)

上递增，

而a=e_]=/(l),b=e§-：=/($,c=Vn-=e,n%/^—=/(inVn),

又ln«V1<g,因此f(InF)Vf(1)<f(》

所以b>a>c.

故选：C.

21.(23-24高一下•内蒙占•阶段练习)若x=log424,y=31og+3,y+8匕=150则()

A.x>y>zB.y>z>xC.z>y>xD.y>x>z

【解题思路】先设/•(。)=。2+。3(。>0),得到函数的单调性和/(a)=150的解为a=5,并求出42+8工=

Z

/(2)=150,所以z=log25=log425,根据对数函数单调性比较出大小.

【解答过程】设函数/(a)=a2+a3(a>0),则f(a)为增函数,

因为f(5)=150,所以/'(a)=150的解为a=5,

ZZZ

44-8=/(2)=150,所以2z=5,z=log25=log425.

3

因为％=log424<log425<log427=log43=y,所以y>z>x.

故选:B.

22.(24-25高一上•全国•课后作业)(多选)若3。-3b>2>一2%则下列不等式正确的是()

A.ln(a—d+1)>0B.ln(b—Q+1)>0

C.ea-b-1>0D.eb-a-1>0

【解题思路】根据/(x)=3、+2、为增函数，可得Q>b,进而根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.

【解答过程】因为函数/(外=3'+2”为增函数，3。-3b>2匕-2。，即3。+2a>3。+2匕

所以Q>b,a—b>0,则Q—b+1>1,

所以ln(a—b+1)>0,故A正确；

由匕—aVO,得b—a+lvl,

所以ln(b-a+1)<0,故B错误；

ea-b>eo=b所以eaf-1>0,故C正确；

e»-a<e°=i,所以卢一。一1<0,故D错误.

故选：AC.

b

23.(23-24高三上•湖南•阶段练习)已知正实数a,b满足：3。=27+log3^,则Q与3b大小关系为aV3b.

【解题思路】由题意可得3a+log3a<33b+log33b,令f(%)=3x+log3%(%>0),则有f(a)Vf(3b),根

据函数的单调性即可得答案.

【解答过程】解：因为3。=27。+log3，，所以3。+log3。=33。+log33b-1V33、+log33/h

设/(%)=3,+log3x(x>0),又因为y=3"与y=log?%在(0,+s)上单调递增，

所以/(%)=3*+log3%在(0，+8)上单调递增，

因为/3)</(3切，

所以Q<3b.

故答案为：Q<3b.

24.(2024.广东.模拟预测)已知/⑺=2022/+脸|讣且Q=/(息一°)6=八恒盛)，c=/(刎―),

则a,b,c之间的大小关系是cvavb.(用“V”连接)

【解题思路】易得函数八幻为偶函数，且在(0,+8)上递增，再利用中间量法比较4叫。26,10。2,幅2022的大小

关系，根据函数的单调性即可得出答案.

【解答过程】解：函数八%)的定义域为(-8,0)U(0,+8),

因为/(-%)=2022/+log2|x|=f(x),

所以函数/■(%)为偶函数，

因为函数y=2022/,y=log2㈤在(0,+8)上递增,

所以函数f(%)=2022/+logzl*在(0,+8)上递增,

1(，2102

则a=/((1o)-)=/(°)^=/(lg2o22)=八馆2。22),

因为logo.26v0,所以0VJogg」v1,

2

1<10°<(35)02=3<lg2022,

所以4山g―<10°2<lg2022,

所以/(4*/)</(IO02)</(lg2022),

BPc<a<b.

故答案为：c<a<b.

【类型5数形结合比较大小】

25.(2024•江西•模拟预测)若ae。=blnb(a>0),则()

A..a<hB.a=bC.a>bD.无法确定

【解题思路】令ae。=blnb=k,k>0,构造函数，作出函数图象，即可比大小.

【解答过程】因为a>0.

所以ae。>a>0,

因为ae。=b\nb,

所以blnb>0,可得b>1,

令ae。=b\nb=k,k>0,

所以e。=-,\nb=

ab

设/(%)=eHg(x)=Inx,h(x)=

作出它们的图象如图:

由图可知Q<b.故选项A正确.

故选:A.

c

26.(2024•全国•模拟预测)已知a=(J=\o^ab,a=logic,则实数a,4c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,瓦c€(0,1),得到log的<1=logaa,

求出b>a,根据单调性得到c=<G)"=a,从而得到答案.

【解答过程】令/(%)=G)'-％,其在R上单调递减，

又/(0)=1>0，/⑴=>1=一*0,

由零点存在性定理得Q€(0,1)，

则~=logQ.Y在(0,+8)上单调递减，

画出力=(3"与丫=log。》的函数图象，

可以得到bG(0,1),

又比=谟在R上单调递减，画出丫2=谟与丫3=logpt的函数图象,

可以看出C€(0,1),

因为G)<(1)=1'故logabV1=loga。，故b>a，

因为a,cW(0,1),故/>a1=Q,

由a，=log”得，c=6)<(J=a.

综上，c<aVb.

故选：D.

27.(2024•广东茂名•一模)已知x,y,z均为大于0的实数,且2”=3y=log/,贝一,y,z大小关系正确的是

()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=3\y=log5K与直线尸=t>1的交点的横坐标的关

系，再作出图像，数形结合求解即可.

【解答过程】解：因为X,y,z均为大于。的实数，

y

所以2*=3=log5z=t>1,

进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=logs%与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，

故作出函数图像，如图，

由图可知z>x>y

故选：C.

28.（23-24高一上.福建泉州.期末）已知正实数”，b,。满足a+log2a=b+2。=2,+log2c=4,则以下

结论正确的是（）

b

A.b+log2a>4B.a+log2c>4C.2+c>4D.20+log2b>4

【解题思路】由已知条件分析出Q是函数y=log2%与y=4-”交点的横坐标，b是函数y=2"与y=4-第交

点的横坐标，c是函数y=log?%与y=4-2”交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出图像，由图像得出1v

b<c<a<4,再画出y=x的图像，分析出利用不等式的性质即可判断出答案.

【解答过程】a+log2a=b+2>=2。+log2c=4,

bC

log2a=4—a,2=4—b,log2c=4—2,

•••Q是函数y=log?%与y=4-x交点的横坐标，

匕是函数y=2"与y=4-x交点的横坐标，

c是函数y=log2xhiy=4—2乂交点的横坐标，

如下图所示，ffll<b<c<a<4,且2，>Q>C,

选项A：

•••a+log2a=4,且Q>b,

b+log2aV4,故A错误；

选项B：

V2c+log2c=4,且2c>Q,

•••a+log2c<4,故B错误；

选项C：

'：b+2b=4,且c>b,

•••c+2匕>4,故C正确；

选项D：

vc>b>1,

，log2c>log2b»

C

又2+log2c=4,

•••2C+log2b<4,故D错误;

29.（2024•全国•模拟预测）己知log。。>log>。（a,b>0且a,b,cW1）,则下列说法正确的是（）

A.当c>1时，Q<b

B.当0VcVl时，a<b

C.当Q<b时，(a-l)(b-l)(c-1)>0

D.当1VbVQ时，2c-2VO

【解题思路】根据对数函数的图象与性质，画出函数的图象，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】由满足log/>10g»C的情况有以下六种:

⑴如图1所示，可得忆箕:

⑵如图2所示，可得｛二：1

⑶如图3所示，可得｛。鹿着黄

<1

a<1

(6)如图6所示，可得

对于A中，当C>1时，第（4）种情况不满足。<匕，所以A错误；

对于B中，当0VCC1时，第（1）种和第（5）种情况不满足。<b,所以B错误；

对于C中,当QVb时，第（2）种、第（3）种和第（6）种情况均有（Q—l）（b—l）（c—l）>0,所以C正

确；

对于D中，当lVbVa时，如第（1）种情况，MO<c<1,所以2c-2VO成立，所以D正确.

故选：CD.

30.（23-24高一上•全国•课后作业）比较下列各组中两个值的大小.

©log31.99,log32.

@log30.2»log40.2.

③log23,10go.32.

@Iogan,loga3.14（a>。且a工1）.

【解题思路】①利用对数函数的单调性即司k②根据对数函数的图像判断；③利用中间量0即可；④根据

对数函数的单调性分类讨论即口J.

【解答过程】①因为f（%）=1叫*在（。,+8）上是增函数,且1.99<2,则/'（1.99）V/（2）,所以log31.99<

1叫2

②作出y=log?%和y=log/的图象如下图.

由图象知log30.2Vlog40.2.

③因为log23>log2l=0,

log.).32<logo_3l=0,所以脸3>log0.32.

④当Q>1时，函数y=log。X在定义域上是增函数，则有logaTl>loga3.14：

当0VaV1时,函数y=loga%在定义域上是减函数,则有logair<loga3.14.

综上所述，当a>l时，logan>loga3.14；

当0<a<1时，logaR<】oga3.14.

【类型6基本不等式比较大小】

31.(23-24高一下・贵州贵阳•阶段练习)已知a=F>0,b-e~03,c-log则有()

■2J

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

【解题思路】由基本不等式得出Q的范围，进一步由指数函数、.对数函数单调性即可比较大小.

0,3

【解答过程】a=Vx+>2/=1,等号成立当且仅当％=%且c=log21<log2l=0<b=e-<1=

e0,

从而a>b>c.

故选：B.

32.(23-24高二下•浙江温州•期口)已知％1=log?2,%?=logs6,X3=?og25，则()

A.xx<x2<x3B.<x3<x2C.x3<<x2D.x3<x2<xx

【解题思路】先判断出与<1，x2>1,无3>1，然后根据作差法结合基本不等式比较%2，%3・

5,o4

【解答过程】由题意，%!=log32<log33=1,x2=log56>lcg55=1,%3=1log2>1g2=

由换底公式,x3=1log25==10g45,

i/ilIn6In5In4ln6-(ln5)2

不一不=>og56-log45=而一启二

由于In4Hh16,根据基本不等式，ln4.ln6<(*巧=(―)<(等)=(ln5)2,

故不-x3<0,即不<x3,于是<x2<x3.

故选：A.

zq\0.6

33.(2024高二下•浙江•学业考试)已知a=-log[8,b=log56-logs4,c=，贝U()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】化简可得a=log68,结合对数函数性质证明1VQ<：,结合基本不等式及对数性质证明b<1,

结合函数y=(J”为(—8,+8)上的增函数，证明c>会由此可得结论.

【解答过程】a=-logi8=log68,

因为82=64<216=63,所以8<6窘又6V8,

所以6<8<因为函数y=log6%为（0,+8）上的增函数,

所以1<唳68<也即IV"去

2

因为b=log56.log54<（^^）=（审）2<（审了=（审）2=1,

所以b<1,

因为函数丫=（?”为（-8,+8）上的增函数，

所以。=第>（旷，

所以6<a<c,

故选：D.

34.（23-24高二下•河北石家庄.期末）已知a>0,Z?>0,a,b,且a+b=2,则（）

C.2。+2b>4D.log2。+log2b>2

【解题思路】对于A,运用常值代换法可得?+"3,排除A；对于B,将条件等式取平方后，运用常值代

换法即可推得专+表>2正确；对于C,直接运用基本不等式，检验等号成立条件即得；对于D,利用基本

不等式推得泌<1,运用对数函数的单调性得到log2a+log2b<0,排除D.

【解答过程】对于A,由5+：=；C+｝（a+b）=l+5+£zi+2/=3，

当且仅当Q=b=l时等号成立，因Q工6,则得工+:>3,故A错误；

ab

对于B,由a+b=2取平方得，a2+2ab+b2=4,

.i1.11,a2+2ab+b2,a2+2ab+b21,2d,2a.b2,a2.

则m京+巨=1（「^-+—^x）=1（2+瓦+了+我+；7）

>；（2+2J-•券+2J*韵=2,当且仅当a=b=1时等号成立，

因a*b,故得，+L>2,故B王确；

a2b2

对干C,2a+2d>2V2a-2b=2-j2a+b=4,当且仅当Q=b=1时等号成立，

因aHb,则2。+2b>4,故C正确；

对于D,由2=a+b2可得ab工1,当且仅当a=b=1时等号成立，

因aHb,则有abV1,Hlog2a+log2b=log2（aZ?）<0,故D错误.

故选：BC.

35.（2024高三•全国•专题练习）已知v7匕114v75,设。=iog6，b=log76,c=logi，,则a,b,c

的大小关系为a<bvc.（用“<”连接）

【解题思路】由6$<74,irv7$两边取对数可比较b,c的大小，做差利用对数的运算、基本不等式可比较a/

的大小，从而得到答案.

【解答过程】由65V74,1〉v75得

510g76<4<510gli7,

即log76<^<logn7,

•••b<cf

又ai=log6570g76=臀一臀=用羊〈等沁，

6667|g6Ig7Ig61g7Ig6lg7

•••Ig5+lg7=lg35<Ig36,

一<lg6，

...（R<也26,

；.aVb,

综上：a<b<c.

故答案为：a<b<c.

36.（24-25高一•全国•课后作业）已知f（x）=Igx（x>0）,若%「x2G（0,+8）,试判断:网与）+/3）］与

/（牛）的大小，并加以证明.

【解题思路】由对数的运算性质得出］/'（%）+"次）］=忸7^^，再利用基本不等式以及对数函数的单调性

可得出3IfM+/'（'2）］与f（2署）的大小关系.

【解答过程】由对数的运算性质得：［/（/）+/（无2）］="恒工1+也无2）=|lg（%iX2）=恒后豆，

又/（空）=也第，

由基本不等式得石W空，当且仅当与=冷时，等号成立，

xi+x

由于函数y=Igx为增函数，所以，1g后石工1g29

2

因此，与/（/）+/（%2）]工/（华），当且仅当不二孙时，等号成立.

【类型7放缩法比较大小】

37.（2024・四川乐山•三模）若Q=log32,b=Iog43,c=e-2,则a,b,c的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】利用放缩法可得Q利用作商比较法可得?=华票<曳喀学，进而可得Q<

人可得结论.

-2

【解答过程】a=log32>log3V3=pb=log43>log4V4=pc=e<

所以则a>c,b>c,

乂g_啕2_Ig21g4v即g2+]g4）]2=[g28]g?9_41g?3_1

222

blog43lg3-lg341g2341g2341g3'

所以QVb,所以c<a<b.

故选：D.

38.（2024.西藏林芝.模拟预测）已知％=ln3,y=logs£,z=eR,贝ij（）

A.x<y<zB.z<x<y