比较大小问题（培优讲义）-2027年高考数学一轮复习原题版

重难点培优02比较大小问题

k知识精讲•重难聚焦讲技巧

A知识点1比较大小的常用方法

1.单调性法：当两个数都是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或冢函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时.，如4和，卢，利用指数函数"的单调性；

②指数相同，底数不同时，如T和耳，利用幕函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如1。乩X和bg“与，利用指数函数log〃单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、其数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它

能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

根式：x/2«1.414,6^1.732,V5«2.236,VIo«3J62

TT

分式:-«1.57,

2

指数式：6^2.718,/六7.389,?«20.09

对数式：ln2《0.69,ln3nL099,lg2®0.301,lg3®0.477

_缶一.乃瓜-近

71

二角式：sin——=--------------C-OS—=

12412~7~

⑵可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律,

所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6.放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数：

(2)?旨数和辕函数结合来放缩：

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

A知识点2重要的结论不等式

1.两类经典超越不等式

]X

e'>x+1,ev>ex,I——<lnx<x-l,lnx<—

xe

2.泰勒不等式

ev=I+—+—+——+■+-4--r———,其中

(1)1!2!3!〃！5+1)!火口7

+(一眩5+4,其中㈠)0品(出广

(2)ln(l+x)=x--+--

v72!3!

—,产+1

(3)sinx=x—+-----+(-1)———-十4,其中q=(一1)-......cos^x；

3!5!I，(2"I)!IJ(2A+1)!,

r2/2k-22k

(4)COSX=1----1----•+(—1)------—+R,其中&——cosOx；

2!4!v7(2A-2)!"，为丁"'(2A)!

(5)—=l+x+x2++x"+o(x")；

\-x

(6)(1+x)w=I+/?x+•-x2+o(x2)；

N2

(7)tanx-x+—+—x5+--+o(x2n］；

315V7

(8)\/\+x=1+—x—x2+—/+…+o(x”

28161

由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：

e'21+x,el>14-x4-x2(x>0),sinx^x-^x3(x^0),

cosx>1--x2,Inx<x-l,ex-1>x»

2

tanx>x+-x(NO),V1+x<I+-^x,ln(l+x)<x.

k题型深研•通法变式提能力

A题型1单调性法

【典例1・1】（2026•北京大兴・三模）已知。=5叫/>=4吗c=2叫则。也c的大小关系为（

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

【典例1・2】已知偶函数f（x）的定义域为R,对任意的“满足〃r）=f（%+2）,且在区间（TO）上单

调递减，若。=1叫3,〃=10心正，c=；logg2后，则”。），/（〃），/（c）的大小关系为（）

814

A./（c）>/（«）>/（/?）B.f（c）>f（b）>f（a）

C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)

【变式1・1】（2026•重庆北暗•模拟预测）设a=|,〃=c=（g?，则（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【变式1・2】（2026.云南昆明•模拟预测）已知函数/（力=三匚，83=_-匚，则（）

A./（2）</（3）<^（0）B.^（0）</（3）</（2）

c.”2)<g(o)</(3)D.^(0)</(2)</(3)

【变式1・3】(2026•天津滨海新区•三模)设4=3°」,b=log52,c=ln(sinl),则的大小关系是()

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD.h<c<a

【变式1・4】(2026•河南•模拟预测)已知。=log。；。.4,匕=0.5°.，c=log45,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

方法技巧单调性法比大小的策略

!在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数

的单调性进行判断

!(1)底数相同，指数不同时，如〃再和〃电，利用指数函数丁二〃、的单调性；

5(2)指数相同，底数不同，如#和芯‘，利用赛函数y=x”的单调性；

I

•(3)底数相同，其数不同，如log.N和log°w,利用指数函数)'=log“x的单调性；

(4)除了指对球函数，其他函数(如三角函数、对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小.

说明：对一些复杂一点的题目，需要对数值进行变形才能发现其共同点.

；2、对抽象函数有关的比较大小问题，需要先判断函数的单调性，然后利用周期性、对称性比较函数

!值的大小.

I►题型2中间值法

【典例2」】已知4=2024募，〃=bg2O242023,c=log2023^-,则叫b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.oa>bD.a>c>b

【变式2・1】(2026高三・全国•专题练习)设a=log2023v5两，A=In夜，《=2024/，则的大小关

系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

x,

【变式2・2】（2026.天津河西•三模）设a=2.W,b=0.7.c=log210.7,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【变式2・3】（（2026•甘肃兰州•模拟预测）记。=2-3,/?=log|l,c=log56,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

方法技巧中间值法比大小的策略

对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为

;0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值.

A题型3比较法

【典例3-1】已知。=口,b=cos-tc=3sin-,贝ij（）

1833

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【变式3-1]已知a=：+】n2,b=：+等,c=[+等，则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【变式3・2]已知4=0.8一°4,b=log53,c=log85,贝！J（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.a<c<b

【变式3・3】（2026.江苏南通.模拟预测）设〃=2°-CH?,Z?=O.303x22,e=203x2\则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<h

A题型4数形结合

【典例4・1】（2026•山西忻州•模拟预测）若正实数”,z满足l+log2X=3+log3y=5+logsZ,则x,y,

z的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.y>x>zc.y>z>xD.X>z>y

【变式4.1]（25-26高三.全国•一轮复习）已知实数m〃满足等式2026"=2027J则下列关系式成立的是

（）

A.0<b<aB.a<b<0C.0<a<bD.a=b

【变式4・2】若实数x、y、z满足1+2，=3，=5"则%、y、z的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.y>z>xc.x>z>yD.）>x>z

【变式4.3]（2026•福建福州•三模）已知210g2X-%=0,31og3y-y=0,51og5Z-z=0,则％，y，z的大小关系不

可能为（）

A.v<y<zB.x<z<y

C.2<x<yD.2<y<x

【变式4・4】（2026•北京丰台•三模）已知直线y=r+2分别与函数y=e，和k3的图象交于点A（、,y）,

网与必），则下列结论错误的是（)

A.X)+x2=2B.xJrLv,+x2lrLV1>0

D・咐<与

C.er,+eX2>2e

A题型5不等式法

【典例5・1】（2026高三・全国•专题练习）（多选）已知0<"〃，且4+。=1,则下列不等式中正确的是（）

A.log/z<0B.T-b<-

2

空1

C.loga+IogZ?<-2D.2"h<-

222

【变式5・1】已知（N，y）,（七,%）是函数丁二2'图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A.logy+%)%+工B.log）1+工工司+占

2222

C.1鸣M；%>%+/D.\og2^^-<xi+x2

【变式5.2】（25-26高三下•河南安阳•阶段检测）己知…皿-3）+,.Z，=sin3,八呵3,则（）

2

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【变式5・3】（2026•云南昆明模拟预测）设。>0,〃>0,则下列结论正确的是（）

a2+b2

A.a+1)>2(f/+Z?)B.-------->ab

a+b

b2a_rra+b\

C.-+------>2V2D.------------<—

aa+b/+/+2-2

A题型6构造函数法

【典例6・1】设。=」,〃=，则

O.lc°Ec=-ln0.9,()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<hD.a<c<b

【典例6・2】（2026•河北保定•三模）已知实数x,y满足sin2x+cos2y-x2+/>I,则（）

A.x3<yB.2x>2y

C.In(x2+l)<ln(y2+l)D.sinA<siny

【典例6・3】（2020•全国新课标I卷）若2"+log?a=4'+21og5,则（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【变式6-1］已知4=乎，T，c=^，则4、b、C的大小关系为（）

4CD

A..b<c<aB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【变式6・2】（2026・天津•模拟预测）设0=15」，匕=1.1巴c=10g|J5,则ab,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【变式6-3］若2"+log2a—4”210g4〃，贝4（）

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

【变式6-4】设小b都为正数,e为自然对数的底数，若ae，<bmb,则（）

A.ab>eB.b>ea

C.ab<cD.b<ea

【变式6・5】（2026•辽宁•三模）设a=lnl.3,b=0.3,d-1,则btc的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【变式6・6】（2026•山东青岛•模拟预测）已知。二1n黑，8二亲，。甘11黑，则（）

202520252026

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

\方法技巧构造函数法比较大小•

II

通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比!

;较大小。该方法的关犍是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质。常见构造方坎有：作差构造

II

jhCv）=/（x）-gCv）作商构造h（x）=得、取对数后构造等。!

iJ

A题型07放缩法

【典例7・1】（25-26高三下•安徽•阶段检测）已知a=e°3,8=13。=3.3"贝h八4c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD,c>a>b

【变式7・1】（25-26高三上•湖南怀化•开学考试）设〃=ln瞿，e=ln^,则（）.

A.a>c>bB.b>a>cC.c>a>bD.a>h>c

【变式7・2】（2026.辽宁•三模）设。=lnl.3,b=0.3,c=e03-b则叫b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【变式7・3】（25-26高三下•河北唐山・模拟）设〃=0.2e03/=lnL2,c=!，则（）

4

A.b<c<aB.b<a<c

C.u<b<cD.a<c<b

【变式7-4]（25-26高三下•河北衡水•期中）已知〃=c5/=L6,c=±ln2,则。也。的大小关系为（）

3

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>h

方法技巧放缩法比较大小

在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具：

①指数型：/续+1（当且仅当x=0时取等号），常用于处理含k的式子：

②对数型：ln_rSol（当且仅当尸1时取等号）,常用于处理含hit的式子。

它们的变形形式也经常使用，如炉>/1（灯0）,后4-1（£>0且后1）。直接应用这些不等式可以快速放

绍，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小。

A题型08泰勒不等式

【典例8・1】在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中

2344

.XXX1/八X2X3X

er=l+x+——+——+——+…,ln(A+1)=x-----+---------+….

2!3!4!''234

通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保

显示值的精确性，已知a=0.HL0=-ln0.9,c=0.111.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

【变式8-1】英国数学家泰勒给出如下公式：inx=x-—+—-—+；cosx=l-—+

S3!5!7!2!4!6!

er=1+A-+—+—+—其中〃!=1X2X3X4X…x〃.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的

2!3!4!

项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算./?=cos0.6,c=e《2,

则有（）

A.u>b>cB.u<b<cC.a<c<bD.b<c<u

【变式8-2]已知4=1/,/?=?e,C=[TI,则。，b,c的大小关系为（）

472

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【变式8・3】已知”0.930=0.99",c=sin9则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

方法技巧泰勒不等式的应用技巧

泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度

近似。在比较数值大小时，利用常见函数（如ln（l+x）、siru、cosx、（1+x），等）的泰勒展开式，代入

具体点计算近似值，从而比较大小。该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形。

根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为x=0或x=l）和对应的函数。例如，比较1111.02可用仄（1+、）

在尸0处展开。

h分层进阶•双阶训练验成效

小巩固过关

1.(2026•广西柳州•二模)已知x>0,>'>0,则()

III.-11x2

A.x2+y2>2xvB.—+—>—C.x+y>JxyD.-+—

xy孙xyQxy

2.(2026・重庆•模拟预测)已知〃=〃=log23,-0.5%比较a,b,。的大小为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

3.(25-26高三上•河北•开学考试)已知函数/(x)=lnx-6,则/(2),/(4)J(8)的大小关系为(参考数据：

后1.41,In2=0.69)()

A./(8)</(2)</(4)B./⑻</(4)</(2)C./(2)</(4)</(8)D./(4)</(2)</(8)

4.（2026•北京丰台•一模）已知G=2叫b=cos2,c=lg2,则的大小关系是（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

5.已知a=ln2024,b=r,c=e\则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

6.（25-26高三上•云南昆明•阶段检测）若0＜%＜为＜1，则（）

riv,Xjv,

A.cc>lnx21呻B.c-c<ln.r2-Inx,

x,X1v,T2

C.x,e<x,eD.x2e>x,e

7.(2026•四川攀枝花•二模)若正实数”，〃满足a>〃，且lnc/由仍>0,则下列不等式一定成立的是(

A.logb<0B.a-->b--C.博D.ah<ba

elba

8.(25-26高三上•江苏南通•开学考试)已知ln==x-5且x<5,Inj=)，-4旦)Y4,ln：=N-3且Z<3,

543

则（）

A.2<><AB.yvzvx

C.xvzvyD.x<）'<z

k创新提升

L,

1.（25-26高三下•河南•阶段检测）已知函数〃x）=e'+e2r,设。=/（sinl）,/7=/（Iog23）,c=f（2）t

则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.b>c>a

2.（2026・广西河池•三模）已知。=竽，b=L。=竽的大小顺序为（）

e9

A.b<c<aB.b<