导数与函数的单调性-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）原卷版

专题3.3导数与函数的单调性.重难点题型精讲

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1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

/(x)>0/(x)在(m初内单调递增

函数y=/Q)在区

fU)<0/(x)在3,切内单调递减

间3,份上可导

f(x)=0/(©在3,小内是常数函数

2.函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时,

函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范

围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如卜.表所示.

/'(X)变/'(x)>0/'(x)>0/*(x)<0/'(x)<o

化规律且越来越大且越来越小且越来越小且越来越大

函数值变函数值增加函数值增加函数值减小函数值减小

化规律得越来越快得越来越慢得越来越快得越来越慢

””产三

【题型1不含参函数的单调性】

【方法点拨】

确定不含参函数的单调性、单调区间的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求尸(X)；

⑶解不等式尸(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式/(x)vO,解集在定义域内的部分为

单调递减区问；

(4)由此可得出函数/(X)的单调性；

【例I】(2022•扬州开学)下列函数中，在(1,+8)上为增函数的是()

A.y=xi-3xB.y=lnx-xC.y=x+-D.y=x1-3x+l

X

【变式1-1](2022春•湖北期末)函数/CO一/心的递减区间为()

A.(…，1)B.(0,1)C.(1,+8)D.(0,+8)

【变式1-2](2022春•长寿区期末)函数/•(%)=%-$—5亿x的单调递减区间为()

A.(0,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(3,+~)

【变式1・3】(2022春•吉林期末)函数/(%)=■从计x的递增区间是()

A.(-°°,0)U(1,+oo)B.(-8,0)和(|,4-00)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

【题型2含参函数的单调性】

【方法点拨】

⑴研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

⑵划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.

【例2】(2022春•巴宜区校级期末)已知函数f(%)=2?-

(1)若函数/(x)在x=l处取得极小值・4,求实数小〃的值；

(2)讨论/(x)的单调性.

【变式2-1](2022春•满洲里市校级期末)已知函数/(x)=，-(«+2)x+alnxCaER).

(I)d=-2,求函数/(x)在(1,/(1))处的切线方程;

(2)讨论函数/(x)的单调性.

【变式2-2](2022春•蓝田县期末)已知函数f(x)=abix-ar-3(4#0).

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)当4=-1时，证明：在(1,+°°)上，/(X)+2>().

【变式2-3](2022春•南沙区期末)己知函数/a)=2lnx-a?-2(«-1)x+\(t/GR).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)有两个不同的零点xi,X2,求实数a的取值范围.

【题型3利用函数的单调性比较大小】

【方法点拨】

根据题目条件，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性来比较大小，即可得解.

【例3】(2022春•眉山期末)己知实数x,y,z满足"心l)"=(),zex—exln-=0,若)>1,则(

X

A.x>y>zB.y>x>zC.y>z>xD.x>z>y

【变式3-1](2022春•绍兴期末)已知a=e°2-l,b=ln\.2,c=tan0.2,其中e=2.71828…为自然对数的底

数，则()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【变式3-2](2022春♦渭南期末)已知函数/(x)=siru+cosA-2x,a=f(n)>b=f(20),c=f(///2),

则a,b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.a>h>cC.b>a>cD.c>b>a

【变式3-3](2022•山东开学)已知0<a<4,0<b<2,0<c<3,且16加a=d/〃4,41nb=户1口2,9lnc=

c2伍3,则()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

【题型4利用函数的单调性解不等式】

【方法点拨】

要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而转化求

解不等式.

【例4】(2021秋•重庆月考)已知/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为，(x),且/CO-2/

1

(x)>0,f(-)=e(e为自然对数的底数)，则关于x的不等式/(/.)Vf的解集为()

Qlee

A.(0,—)B.(0,y/e)C.-)D.(—,y/e)

2e22

【变式4-1](2022春•新邵县期末)设/(幻，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

f(x)g(X)-/(x)g(x)>0,且/(2)=0,则不等式/(x)g(x)>0的解集是()

A.(-8,-2)U(0,2)B.(-2,0)U(0,2)

C.(…，-2)U(2,+oo)D.(-2,0)U(2,+«>)

【变式4-2](2022春•辽宁月考)已知函数在R上存在导函数/(x),对%GR满足.*x)一

=2?,在.隹(0,+8)上，f(x)V2x若/(2-m)-/(〃】)24-4m,实数m的取值范围是()

A.[-1,1]B.(・8,1]

C.[1,+8)D.(-8,-1]U[1,+8)

【变式4-3](2022春•赣州期末)已知定义在R上的函数/(上,其导函数为了(幻.若/(*)-

1

.r)-cosx,且当xW()时，//(x)--^sinxX),则不等式/(IT-x)>/(x)+cosx的解集为()

nTC

A.(-8,2)B.(—,+8)C.(-8,口)D.(TT,4-oo)

【题型5函数单调性与导函数图象的关系】

【例5】(2022•赫山区校级开学)如图所示是函数/(X)的导函数/(x)的图象，则下列判断中正确的

是()

y

A.函数f(x)在区间（-3,0）上是减函数

B.函数/（x）在区间（-3,2）上是减函数

C.函数/(x)在区间（0,2）上是减函数

D.函数/（x）在区间（-3,2）上是单调函数

【变式5-1]（2022春•平顶山期末）已知函数,，=/（x）的部分图象如图所示，且/（外是/G）的导函数,

B.()>/(2)>/(1)>/(-1)=/(-2)

C./(2)</(1)<0</(-1)=/(-2)

D./(2)</(1)<0</(-2)</(-1)

【变式5-2】(2022春•莆田期末)定义在(・1,3)上的函数y=f(x),其导函数y=/(x)图象如右图

所示，则y=/(x)的单调递减区间是()

D.(2,3)

【变式5-3]（2022春•遵义期末）函数/（x）的导函数为/（x）的图象如图所示，关于函数,f,下列

说法不正确的是（）

A.函数在(-1,1),(3,+8)上单调递增

B.函数在(-8,-1),(I,3)上单调递减

C.函数存在两个极值点

D.函数有最小值，但是无最大值

【题型6根据函数的单调性求参数】

【方法点拨】

根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：j=/(x)在(m加上单调，则区间3,是相应单调区间的子集.

(2)/(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的3都有/(x)KKfa)WO)且在(a,协内的任一非空子区间上,

尸(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

⑶函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【例6】(2022•安徽开学)已知函数/Xx)=4cosx-加