北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（二）人教版（含答案）

北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2025秋•顺德区月考）若点力（2,-1）关于x轴对称的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（3分）（2025秋•大连期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.（3分）下列说法中，正确的有（）

①三角形是边的数量最少的多边形；

②等边三角形和长方形都是正多边形；

③〃边形就有〃条边.〃个顶点,〃个内角：

④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（3分）（2025•西安校级模拟）将直线y=2t-6向左平移〃?个单位后交y轴于正半轴，则机的值可能

是（）

A.1B.2C.3D.5

5.（3分）（2023秋•蜀山区期末）对于熨数a,b,定义符号/加{a,b}»其意义为；当时，min[a,

b}=b,当aVb时，加〃{a,b}=a,例如：〃〃力{2,-1}=-Lmin{2,5}=2,若关于x的函数y=〃"力{2x

・1,-x+5）,则该函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.5

6.（3分）（2024春•邳州市期中）已知：在菱形/出。。中，ZJ=120°,AB=2,则8。的长为（）

A.2B.V2C.V3D.2A/3

7.（3分）（2023秋•雁塔区校级期末）一次函数川=双十。与的图象如图所示，下列结论中正确

的有（）

①对于函数与=依+〃来说，y随x的增大而减小

②函数y=ax+d的图象不经过第•象限

d-b

@a-c=—^-

@d=a+b-c

C.3个D.4个

8.（3分）（2025•西城区校级模拟）在菱形Z8CO中，点。为对角线8。的中点，点£、厂分别为线段力8、

AD上的点，EO的延长线交线段CD于点11,FO的延长线交线段CB于点G,连接EG、GH、HF、FE.以

下结论：①EF=GH；②若EGLBD,则力E=CG；③存在无数个点E,使得四边形E77/G为菱形；

④若四边形"HG为矩形，则凡其中正确的结论是（）

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.（3分）（2025•海州区校级二模）函数y=与中自变量x的取值范围是.

人乙

10.（3分）（2024春•韶关期末）若点、A（a,h）在直线y=-*+2上，则o+b的值是.

11.（3分）（2023•原平市模拟）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头

处可以添加的条件是.（写出一种即可）

四边形悍（拓四边形|

12.（3分）（2024•周口一模）如图，在△力8c中，ZACB=W,ZJ=30°,BC=2,。七是△/也C的中

位线，点。'在线段。夕上，洛沿着直线。4向右平移，使点。与点。’重合，点E,/的对应

点依次为b,A1,连接,EE1,当△以'E'是等腰三角形时，DD1的长

为.

EE'

A'-A，DD'B

13.（3分）（2025•汇川区四模）如图，矩形川的对角线力C与4。相交于点O,若NDBC=30",则

N/OO的度数为

14.（3分）如图，已知£是正方形川?。。的边。。上任意一点，过/作E/LL/IC于点E延长交直线

力£于点G,则N8GC=

15.（3分）（2024春•西山区校级月考）菱形彳8C。在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点4,B

的坐标分别为（一遥，0）和（0，-1）,点C,。在坐标轴上，则菱形ABCD的面积

为

y

D

A

£C1

16.（3分）已知点尸（1,2）关于x轴对称的点为P,直线）=履+6经过点P'与点4（3,2）,则直线

对应的函数表达式为

三.解答题（共9小题，满分52分）

17.（5分）（2024•北陪区校级三模）在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段

的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是口么四边形.请根据小西的思路完

成以下作图与填空.

已知：如图，AD//BC,连接,4C.

（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段4C的垂直平分线律，b分别交8C,AC,月。于点£,

O,F,连接力CF.

（2）求证：四边形力石。尸是菱形.

证明：•:AD〃BC,

••・①,

;所是4C的垂直平分线，

：.OA=OC,AE=CE,

在△力。尸和△COE中，

(Z.FAO=4ECO

②，

K£AOF=乙COE

【△AOFACOE(ASA),

工③，

・•・四边形力EW是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，

，：AE=CE,

・••四边形力EC厂是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).

在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和

线段两端点所构成的四边形矩.

18.(5分)(2025春•毕节市期末)全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛，

经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ultra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠.受到该项赛事启发,

某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s(w)和赛

跑时间/(〃〃〃)之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题：

(1)本次比赛全程是机器人先到达终点；

(2)机器人甲的平均速度是mlmin,其路程s和时间/的关系式是；

(3)机器人乙由于故障在途中停留了加〃,恢复运行后，机器人乙的速度机器人甲

的速度.(填”或“V”)

19.（5分）（2024春•海陵区校级J］考）如图，在平行四边形"8中，BE工AC于点、E,。尸_L4C于点E.求

证：AF=CE.

20.（6分）（2024♦天山区校级二模）如图，在菱形力灰力中，对角线/1C,8。交于点。，过点力作力E_L

BC于点E,延长AC到点产，使CF=BE,连接。尸.

（1）求证：四边形力五尸。是矩形；

（2）连接OE,若月8=10,BE=6,求OE的长度.

21.（6分）（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，在矩形44。。中，BC=3,对角线4C,BD交于点、O,

将△8OC沿直线8。翻折至矩形力8c。所在平面内，得到△BOC',8C'与4D交于点、E,OC'与力。

交于点尸，连接力C',若C'O//DC,则点E到力C'的距离为.

22.（6分）（2025秋•新城区校级期中）某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示:

月用水量/〃N,良1212VxW18x>18

收费标准/（元加③）22.53

（1）当用水量超过12〃尸但不超过18m3时，写出应交水费）,（元）与月用水量x（〃户）之间的关系式;

（2〉某用户9月份交水费34元，求所用水量.

23.（5分）（2025•西城区校级开学）在平面直角坐标系xQy中，函数y=r+方与y=3x+3的图象交于点

(a,3).

（1）求。，b的值;

（2）当x>l时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y=3"3的值，且大于函数y

的值，直接写山帆的取值范围.

24.（7分）（2025•双流区）在平面直角坐标系xQv中，直线m为经过（0,2）且垂直于y轴的直线，直

线〃为经过（3,0）且垂直于工轴的直线.图形G关于直线〃?的对称图形称为图形G的一次对称图形,

记作图形Gi,图形3关于直线〃的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形G2,根据定义，

回答下列问题：

（1）点力（1,-I）的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为,；

（2）点6（x,y）在第三象限，B\,62分别是点3的一次对称点与二次对称点，△。囱色为等腰直角

三角形.

①求y与x之间满足的数量关系；

②已知M（l,0）,N（・l,-1）,写出我BN+8M的最小值为；

（3）己知点C（1,a）,D（2,。），若以CO为边的正方形CQP。（P、。在线段的上方）的二次

对称图形与过（0,〃+3）且垂直于y轴的直线有公共点，写出〃的取值范围.

y

n

4

-4-3-2-1i2：4x

-1

—2

25.（7分）（2023秋•徐州期末）如图，直线48与小y轴分另！交于点/（6,0）、B（0,6）.尸为x轴上

的动点，连接8P,将线段尸4绕点?按顺时针方向旋转90°,得到线段PC,接BC.

（1）求直线48对应的函数表达式；

（2）当点P坐标为（2,0）时，在），轴上是否存在点。，使得18比=5婕/<?若存在，求出点力的坐

标；若不存在，请说明理由；

（3）连接。C,则8C+OC的最小值为.（直接写结果）

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2025秋•顺德区月考i若点4（2,・1）关于x轴对称的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；几何直观.

【答案】A

【分析】先根据轴对称的性质求出点力（2,-1）关于x轴对称的点的坐标，再根据横、纵坐标的正负

判断所在象限，明确关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变纵坐标变为原来的相反数.

【解答】解：•・•已知点力（2,-1）,关于x轴对称的点的坐标：横坐标保持2不变，纵坐标-1的相反

数是1,

・••对称点的坐标为（2,1）,

・••点（2,1）的横坐标和纵坐标都是正数，符合第一象限的坐标特征；

故选：A.

【点评】本题考查关于电标轴对称的两点的坐标之间的关系，判断点所在象限，解题的关铤是掌握关于

x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.

2.（3分）（2025秋•大连期中）卜列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】。

【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心,

旋转18（）。后与自身重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.选项中图形不是轴对称图形，也不是中心刈•称图形，不符合题意；

B.选项中图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；

C.选项中图形是釉对称图形但不是中心对称图形，不符合逆意；

D.选项中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意.

故选：

【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键.

3.（3分）下列说法中，正确的有（）

①三角形是边的数量最少的多边形：

②等边三角形和长方形都是正多边形；

③〃边形就有n条边，〃个顶点，〃个内角；

④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】C

【分析】①根据多边形的定义可对①进行判断；

②根据等边三角形的三个内角相等，三条边相等，长方形的四个内角相等，四条边不一定相等得等边

三角是正多边形，长方形不一定是正多边形，据此可对②进行判断：

③根据〃边形就有〃条边，〃个顶点，〃个内角可对③进行判断：

④根据六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，再根据〃边形对角线条数公式得六边形的所有对角

线的条数为9条，由此可对④进行判断，综上所述即可得出答案.

【解答】解：①•・•一：角形是边的数量最少的多边形，

故①正确；

②•・•等边三角形的三个内角相等，三条边相等，

・•・等边三角形正三边形（正三角形），

•・•长方形的四个内角相等，四条边不一定相等，

，长方形不一定是正四边形（正方形），

故②不正确；

③•・•〃边形就有〃条边，〃个顶点，〃个内角，

故③正确：

④•・•六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，

根据〃边形对角线条数公式得六边形的所有对角线的条数为：6x（；-3）=9（条），

故④正确，

综上所述：正确的是①③④，共3个.

故选：C.

【点评】此题主要考查了多边形的定义及相关概念，正多边形的定义，熟练掌握多边形的定义及相关概

念，正多边形的定义是解决问题的关键.

4.（3分）（2025•西安校级模拟）将直线y=2x-6向左平移加个单位后交y轴于正半轴，则机的值可能

是（）

A.1B.2C.3D.5

【考点】一次函数图象与几何变换.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据上加下减，左加右减进行列式得y=2t+2〃L6,根据平移后交y轴于正半轴，得2〃?・6>

0,解出加的取值范围,即可作答.

【解答】解：•・•将直线y=2x-6向左平移〃?个单位后交y轴于正半轴，

••y=2（x+m）-6=2x+2m-6>

A2m-6>0,

">3,

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数的平移规律，掌握平移规律是解题的关键.

5.（3分）（2023秋•蜀山区期末）对于实数a,b,定义符号〃〃〃{a,b},其意义为：当时，min{a,

b}=h,当a<b时,min{a,h}=a,例如：加〃{2,min{2,5}=2,若关于x的函数y=〃〃力{2x

-1,-x+5},则该函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.5

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【专题】一元一次不等式（组）及应用：推理能力.

【答案】C

【分析】根据定义分情况列出不等式：①当-12-x+5时，尸加〃{2工-1,-x+5]=-x+5；②当

2x-1W-x+5时，-1,-x+5]=2x-1,再根据一次函数的性质可得出结果.

【解答】解：由题意得：

①当2x-12-x+5,即x22时，y=min{2x-1,-x+5}--x+5,

-l<0,y随x的增大而减小，

・••当尤"2时，y取得最人值3；

②当2x-1<-x+5,即x<2时，y=min{2x-1,-x+5}=2x-1,

，2>0,y随x的增大而增大，

，当x<2时，y<3.

综上可知，函数y=/M〃{2x-1,-x+5}的最大值为3.

故选：C.

【点评】本题考杳了新定义、一次函数与一元一次小等式，认真阅读理解其意义，并利用函数的性质解

决函数的最值问题是解题的关键.

6.（3分）（2024春•邳州市期中）已知：在菱形48CQ中，ZJ=120°,AB=2,则8。的长为（）

A.2B.V2C.V3D.2V3

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】连接4C，BD交于0,根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：如图，连接/C,BD交于0,

•・•四边形Z8CD是菱形，

：.AC1BD,BD=2BO,AC=2AO,/BAO=：乙BAD=60。,

••・乙4。8=90°,480=30°,

：,AO=^AB=\,

:・BO=V3AO=V3,

・•・80=280=271

故选：D.

A

【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

7.（3分）（2023秋•雁塔区校级期末）一次函数尸=如+6与g=cx+d的图象如图所示，下列结论中正确

的有（）

①对于函数力来说，）•随x的增大而减小

②函数y=Qx+d的图象不经过第一象限

d-b

@a-c=^-

【考点】一次函数的性质；一次函数的图象.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【答案】C

【分析】①根据函数图象直接得到结论；

②根据八d的符号即可判断：

③当x=3时，y\=y2^

④当x=l时，根据图象得不等式.

【解答】解：由图象可得：对于函数pi=ax+/，，），随x的增大而减小，故①正确;

Vtz<0,J<0,

••・函数y=av+d的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；

・・•一次函数y\=ax+b与y2=c:c^d的图象的交点的横坐标为3,

「・3a+b=3c+d,

3a-3c=d-b,即3-c）=d-b故,即a-c=幺”，③止确；

当x=l时，y\=a+b,y2=c+d,由图象可知巾>”，

/.a+b>c+d,故④错误.

综上①②③都正确，

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键.

8.（3分）（2025•西城区校级模拟）在菱形/18C。中，点。为对角线8。的中点，点E、6分别为线段44、

AD上的点，EO的延长线交线段CD于点H,FO的延长线交线段CB于点G,连接EG、GH、HF.FE.以

下结论：①EF=GH；②若EGtBD,则4E=CG；③存在无数个点E,使得四边形为菱形；

④若四边形EFHG为矩形，则/E=/凡其中正确的结论是（）

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

【考点】矩形的性质：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】证明四边形"HG是平行四边形，得出“=G〃，可判定①正确；证明△8MG丝得到

BG=BE从而可得力E=CG,可判定②正确；当E〃_LG尸时，可得四边形EFHG是菱形，则存在无数

个点E，使得四边形EF4G为菱形；可判定③正确；们SS乂无法证出△OBEg/XODR即力石=力尸无

法证出，故④不正确.

【解答】解：•・•四边形4BCQ是菱形，点。为对角线8。的中点，

：,OB=OD,/ABD=/CBD=/ADB=/CDB,

'：/BOE=/DOH,ZBOG=ZDOF',

:.△BOEWXDOH（ASA）,ABOG^/\ADOF（ASA）,

：.OE=OH,OG=OF,

••・四边形EFHG是平行四边形，

:,EF=GH,

故①正确:

设EC与皮）相交于如图,

BGC

若EG上BD,则N8“G=NAM£=90°，

r四边形月6c。是菱形，

；・/GBM=/EBM,AB=BC,

又"：BM=BM,

：.4BMG仝丛BME（ASA）,

:.BG=BE,

：.AB-BE=BC~BG,

即AE=CG,

故②正确；

已证四边形EFHG是平行四边形，

当£〃_LGb时，四边形是菱形，

・•・存在无数个点E,使得四边形以7/G为菱形，

故③正确；

要证AE=AF,则可证BE=DF,

即需要证△OBE咨△ODF,

•・•四边形EF//G为矩形，

：,OF=OE,

*：OB=OD,ZABE=ZADF

但是我们SS/1无法证出△（沙£丝△OOP,

即AE=AF无法证出，

故④不正确.

综上，正确的有①②③.

故选：A.

【点评】本题主要考查菱形的性质和判定，矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质等内容，熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键.

二,填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.（3分）（2025•海州区校级二模）函数y=£中自变量x的双值范围是应

【考点】函数臼变量的取值范围.

【专题】函数及其图象；运算能力.

【答案】》W2.

【分析】根据分式有意义的条件解答即可.

【解答】解：自变量的取值范围是x#2；

故答案为：x#2.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握该知识点是关键.

10.（3分）（2024春•韶关期末）若点力（mb）在直线y=-.让2上，则a+A的值是2

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用；应用意识.

【答案】2

【分析】将点力（〃，b）代入直线y=-x+2中，进而得出答案.

【解答】解：•・•点/（。，b）在直线y=-x+2上，

:,b=-a+2,

/.a+b=2.

故答案为:2.

【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，将点力（a,b）代入直线歹=・x+2中是解题的

关键.

11.（3分）（2023•原平市模拟）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头

处可以添加的条件是有一组邻边相等（答案不唯一）.（写出一种即可）

四边形内（拓四边形|

【考点】正方形的判定.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）.

【分析】根据正方形的判定可得出答案.

【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形，

故答案为：有•组邻边相等（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查正方形的判定，掌握判定定理是解题关键.

12.（3分）（2024•周口一模）如图，在△XS。中，ZACB=90a,ZJ=30°,BC=2,Z）E是的中

位线，点O'在线段。8上，珞△/）以沿着直线。8向右平移，使点。与点。'重合，点邑4的对应

点依次为,连接£4',EE',当△"'E'是等腰三角形时，DD'的长为百或1.

【考点】三角形中位线定理；平移的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】V5或1.

【分析】由题意得四边形/EE'H、DEE1D）为平行四边形，推出EE'=AAr=DD,求出力8

=4,AC=y/3,DE=^BC=1,AD=2,AE=V3,NADE=/CBA=60°,分两种情况：当EE'=

AF：时,此时四边形力£/?'4'为菱形：当/E=EF.'时,则//AE=/A'/?J=30°：分别求解

即可得出答案.

【解答】解：由平移的性质可得：EE'=AA'，EE1//AA',EE'//DD',EEf=DD,,

・•・四边形力H、DEE'Dr为平行四边形，

：.EE'=AA'=DD',

•・•在△NBC中，ZACB=90°,Z/4=3O°,BC=2,OE是△/8C的中位线，

：.AB=4,AC=\IAB2-BCZ=273,DE=^BC=1,DE//BC,NC'84=6（）“，

：,AD=2,AE=y/3,N/DE=NCB4=60°,

点。'从点。向8的运动过程中，NHEEr逐渐变小，当点。'与点8重合时，点H与点。重合，

此时NTEE1=/DEE'=/ADE=^°，故NHEE'最小为60°,

E'是等腰三角形，

:'当EE'=AE'时，此时四边形力七6A'为菱形，

：,EEf=AE=A卞'=AA'=V3,

:,DD'=EE'=V3：

当HE=EEr时，则NHAE=NA'EA=30°,

AZEAfD=ZA'AE+ZA'EA=60°,

•:/EDA=60°,

・•・△〃DE为等边三角形,

・•"D=DE=1,

：.DD'=EE'=AfD=\,

综上所述，DD'为百或1,

故答案为：逐或1.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、三角形中位线

定埋、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活

运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

13.(3分)(2025•汇川区四模)如图，矩形"CO的对角线月C与8。相交于点O,若NDBC=30",则

【专题】等腰二角形与直角二角形：矩形菱形正方形：运算能力：推理能力.

【答案】120.

【分析】因为四边形力4CQ是矩形，则4C=8O,OA=()C,()B=OD.所以。力=OD则NO4Q=N

力。。=3()°,得出N/OQ=18()°-ZOAD-ZJDO=18()°-30°-30°=120°.

【解答】解：•・•四边形力8CO是矩形，

：.AC=BD,OA=OC,OB=OD.

：,OA-OD.

：,ZOAD=ZADO=30°,

・・・N/OQ=1800-ZOAD-ZADO=\SO°-30°-30°=120°.

故答案为：120.

【点评】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，矩形的对角线相等且互相平分是解此题的关键.

14.(3分)如图，已知E是正方形的边CO上任意一点，过石作E/L/C于点尺延长8尸交直线

【考点】正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似：推理能力.

【答案】450.

【分析】设*£1的中点为O,连接。。，OF,先利用直角三角形的性质证CM=OZ)=OE=O尸，进而得

点/I,。，E,尸在以点。为圆心。1为半径的圆上，则再证△台。厂和4。。尸全等得

NCBF=NCDF,进而得N»1G=NC8凡据此可证和△4”t相似得4^：BF=FG：FC,又N

AFB=NGFC,则△力以和△OFC相似最后根据相似三角形的性质得N4GC=NC",由此可得出答案.

【解答】解：设力石的中点为0,连接O。，OF,如图：

:四边形力8c。为正方形，为对角线，

AZJZ)C=90°,ZCAB=ZACB=ZACD=45°,BC=CD,

在中,点。为斜边4/?的中点.

：,OD=OA=OE=^AE,

,JEFYAC,

为直角三角形，且点O为斜边的中点，

.\OF=OA=OE=^AE,

：.OA=OD=OE=OF,

・••点4D,E,〃在以点O为圆心04为半径的圆上，

ZFAE=NEDF,

在△〃。尸和△CQ”中，

BC=CD,ZACB=ZACD,CF=CF,

:.△BCF/XCDF(SAS),

••・4CBF=/CDF,

即：ZCBF=ZEDF,

:.NFAE=/CBF,

即：NFAG=NCBF,

又/AFG=4BFC,

:.△AFGS^BFC,

：,AFxBF=FGzFC,

叩；AF：FG=BF；FC,

又/AFB=/GFC,

△AFBsXDFC,

:"FAB=/FGC,

即：4CAB=ZBGC,

・・・NBGC=NCAB=45°.

故答案为：45c.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解正方形和

直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键，根据点与圆的位置关系构造

辅助圆是解答此题的难点.

15.（3分）（2024春•西山区校级月考D菱形力在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点力，B

的坐标分别为（一6，0）和（0,-1）,点C,。在坐标轴上，则菱形NACO的面积为_2右_.

【考点】菱形的性质：坐标与图形性质.

【专题】平面直角坐标系；矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】2V5.

【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分得到4C=2遍，BD=2,再由菱形面积等于对角线乘积的

一半求解即可.

【解答】解：•・•四边形力8c。是菱形，

：,OA=^AC,OB=^BD,

•・•点4,8的坐标分别为（一近，0）和（0,-1）,

：.0A=瓜OB=1,

:.AC=2炳,BD=2,

:■S菱形ABCD~xBD=x2^5x2=2炳,

故答案为：2遍.

【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键.

16.（3分）已知点尸（1,2）关于x轴对称的点为P',直线）=履+6经过点P'与点力（3,2）,则直线

对应的函数表达式为I，=2x-4.

t考点】待定系数法求一次函数解析式；美于X轴、y轴对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特

征.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【答案】y=2x-4.

【分析】点夕（1,2）关于x釉对称的点为尸'，则点P'U,-2）,再由待定系数法即可求解.

【解答】解：点P（1,2）关于x轴对称的点为P',

则点P'(1,-2),

由题意得:｛羟蓝M

解得：｛d4'

则函数的表达式为：y=2x-4,

故答案为：y=2x-4.

【点评】本题考查的是待定系数法求函数表达式.熟悉图象I-点的坐标特征是解题的关键.

三,解答题（共9小题，满分52分）

17.（5分）（2024•北暗区校级三模）在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段

的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形.请根据小西的思路完

成以下作图与填空.

已知：如图，AD//BC,连接,4C.

（1）用直尺和圆规完成以下基本作图；作线段/C的垂直平分线EF,EF分别交8C,4。，4）于点E,

O,F,连接力£CF.

（2）求证：四边形力&才是菱形.

证明：-：AD//BC,

A®ZFAO=ZECO，

•••斯是4C的垂直平分线,

：.OA-OC,AE-CE,

在△4OE和△COE中,

(Z.FAO=乙ECO

②

(Z.AOF=Z-COE

:.XAOF沿XCOE（ASA）,

:.③OF=OE,

••・四边形力石。尸是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,

・；AE=CE,

••・四边形力七3是菱形（一组邻边相等的平彳j四边形是菱形）.

在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和

线段两端点所构成的四边形是菱形.

【考点】作图一复杂作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的

判定.

【专题】作图题：几何直观；运算能力.

【答案】（1）见解析；

（2）NE4O=NECA,AO=OC,OF=OE,菱形.

【分析】（1）根据要求作出图形；

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

：.（1）ZFAO=ZECA,

;敏是4。的垂直平分线，

：.OA=OC,AE=CE,

在△力。/和ACOE中，

LFAO=Z.ECO

AO=CO,

LAOF=乙COE

金△COE（ASA）,

:.③OF=OE,

・•・四边形力是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,

，：AE=CE,

••・四边形NEC尸是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和

线段两端点所构成的四边形是菱形.

故答案为：ZFAO=ZECA,AO=OC,OF=OE,菱形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

18.（5分）（2025春•毕节市期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛，

经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ultra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠.受到该项赛事启发,

某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s（加）和赛

跑时间/（〃〃力）之间的关系如图所示，请根据图象信息回答卜.列问题：

（1）本次比赛全程是800小，机器人甲先到达终点；

（2）机器人甲的平均速度是100m/min,其路程s和时间/的关系式是s=IOOf；

（3）机器人乙由于故障在途口停留了3min,恢复运行后，机器人乙的速度>机器人甲的

速度.（填”或“V”）

【考点】函数的图象.

【专题】函数及其图象；运算能力.

【答案】（1）800,甲；

（2）100,5-100/；

（3）3,>.

【分析】（1）观察图象即可；

（2）根据路程=时间X速度即可求；

（3）观察图象即可得到故障时间，速度即为图象陡的程度，根据图象比较速度大小即可.

【解答】解：（1）根据图象可知，比赛全程是80S”，

机器人中所用时间为力，机器人乙所用时间为9min,

所以机器人甲先到终点;

故答案为：800,甲：

（2）根据象可知,平均速度为：8004-8=lOO/w/w/n,

路程s和时间,的关系式是：s=IOOf；

故答案为：100,s=100f；

（3）根据图象可知，乙由于故隙在途中停留了5-2=3〃”〃，

Vs=vb同一时刻,s越人，y越人，

••・图象越为陡峭，

•・•恢复运行后，乙的线比甲陡，

・•・机器人乙的速度,机器人甲的速度.

故答案为：＞.

【点评】本题考查了用图象表示变量间的关系，熟练掌握该知识点是关键.

19.（5分）（2024春♦海陵区校级月考）如图，在平行四边形力88中，于点EDF_L4C于点F.求

证：AF=CE.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】见解析.

【分析】易证A4BEZACDF，即可得证.

【解答】解：在平行四边形力BCO中，

,:AB=CD，AB//CD,

:・/BAE=/DCF,又BE1AC,DFVAC,

:.NAEB=/CFD=900,

:•△ABEqACDF（/1/1S）,

:.AE=CF,

：.AF=AE+EF=FC+EF=CE,

：,AF=CE.

【点评】此题主:要考杳平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质平行四边形的性质.

20.（6分）（2024•天山区校级二模）如图，在菱形dBCZ）中，对角线4C,BD交于点、O,过点/作4E_L

BC于点、E,延长8。到点R使C〃=8E,连接。足

（1）求证：四边形/£7：。是矩形：

【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质.

【专题】等腰三角形与直.角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】（1）见解答；（2）2、号.

【分析】（1）根据菱形的性质得到力。〃8c且4Q=5C,等量代换得到4C=£R推出四边形力£心是

平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）由菱形的性质得力。=48=8C=10,由勾股定理求出力?=8,JC=4V5,再由直角三角形斜边上

的中线性质即可得出答案.

【解答】（1）证明：•・•四边形力8c。是菱形，

：・AD〃BC且AD=BC,

*：BE=CF,

:,BC=EF,

:.AD=EF,

'：AD//EF,

・•・四边形力£尸。是平行四边形，

VJE15C,

/.ZJEF=90°,

・•・四边形力是矩形；

（2）解：:四边形44C。是菱形，力。=10,

：.AD=AB=BC=\(),

*：BE=6,

在Rt△48E中，AE=7AB2-BE2=V102-62=8,

在RtA^EC中，AC=W1R2+EC?=V82+42=4^5,

•・•四边形力8c。是菱形，

：.OA=OC,

：,OE=^AC=2VS.

【点评】本题考查J'矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识：

正确的识别图形是解题的关键.

21.（6分）（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，在矩形中，BC=3,对角线力C,BD交于点、O,

将△8OC沿直线4。翻折至矩形/3CQ所在平面内，得到△BOC',8C'与力。交于点E,OC'与力。

交于点凡连接力C',若C'O〃OC,则点£至11/C'的距离为.

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；推理能力.

【答案】;.

【分析】由折叠的性质可得OC=OC,BC=BC=3,可证△OCO是等边三角形，可得OC=OQ=CO

=AB=OC,可证四边形480c是菱形，由直角三角形的性所可求力£=1,即可求解.

【解答】解：如图，过点£作七〃_1力。于〃，

•・•四边形力8c。是矩形,

:・AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=CD,AB//CD,

：,OC=OD=OB=OA,

：,ZODC=ZOCD,

,•,将△80C沿直线8。翻折至矩形/IBC。所在平面内，得到△4OC',

：.OC=OC,BC=BC=3,

VCZO//DC,

：,CO//AB,ZCOD=ZODC,

ZCOD=NODC=NOCD,

,/NCOD+ZODC+NOCD=180°,

，NCOQ=NOQC=NOCO=60°,

•••△OC。是等边三角形，

：.OC=OD=CD,

:・AB=CO,

・•・四边形440。是平行四边形，

VOB=OC,

・•・平行四边形力80。是菱形，

：,AB=OB=AO=AC=CO,

•••△ABO,△4CO都是等边三角形，

AZABO=ZACO=ZCAO=60°,

/.ZABC=ZACB=30a,ZCAD=ABAC-BAD=30°,

:.BE=2AE,ZCAD=ZACE,

：,AE=CE,

:.BE+CE=BC=3,

：.2AE+AE=3,

：,AE=l,

•••/旗〃=30°,EH1.AC,

：,EH=^AE=i,

••・点E到心的距离为;.

故答案为：7

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，宜角三角形的性质，灵活运用

这些性质解决问题是解题的关键.

22.（6分）（2025秋•新城区校级期中）某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示：

月用水量加3TW12124W18x>18

收费标准/（元加3）22.53

（1）当用水量超过12,7但不超过18〃尸时，写出应交水费）,（元）与月用水量x（切3）之间的关系式;

（2）某用户9月份交水费34元，求所用水量.

【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用：应用意识.

【答案】（1）y=2.5x-6（124W18）；

（2）此用户9月份用水量为16m3.

【分析】（1）根据题意，用12加③的水费加上超过12/的水费即为应交水费，可列出函数关系式：

（2）结合（1）令y=34可解得x的值，即可得到答案.

【解答】解：（1）根据表格可得：当12VxW18时，y=2.5（x-12）+2X12=2.5x-6,

，应交水费y（元）与月用水量x（/）之间的关系式为y=2.5x-6（12<x<18）；

（2）72X12=24,2.5X18-6=39,且24V34V