2026高考物理模型讲义：竖直面内的圆周运动模型（原卷版）

2026版高考物理培优模型

专题09竖直面内的圆周运动模型

目录

一.一般圆周运动的动力学分析..............................................................1

二.竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析...........................................1

三.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论...................................................2

三.过拱凹形桥模型.........................................................................14

一,一般圆周运动的动力学分析

如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则

由牛顿第二定律，有：

Fn=fnan,an改变速度v的方向，an=—

r

作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可允以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分

作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。

P

二,竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析

轻绳模型（没有支撑）轻杆模型（有支撑）

常见

类型

巳1-

过最高点的临由〃吆得V临=Ngr由小球能运动即可得V（8=0

界条件对应最低点速度v^>y[5gr

对应最低点速度v低NJ而

绳不松不脱轨

V仑4薪或V低w不脱轨

条件

F低-mg=mv«2/rF低-〃?g=mvn2/r

最低点弹力

F^=mg+nivK2/r,向上拉力F低=〃?g+"“低2/〃向上拉力

(1)当v=0时，FN=mg，尸N为向上支持力

(2)当0(口<或％寸，一厂N十〃比二以：，君N向上

过最高点时，归\/还，&+〃吆=〃5绳、

2支持力，随V的增大而减小

最高点弹力轨道对球产生弹力心=*-/咫

(3)当i，=诙时，FN=0

向下压力

(4)当时，FN+"Ig=，咛,FM为向下压力

并随v的增大而增大

在最高X

点的R

取竖直向下为正方向

图线取竖直向下为正方向

三.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论

【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记

为C,与原点等高的位置记为B。圆周的半径为

要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A的向心力恰好等于重力时，由工可得u二廊①

R

对应C点的速度有机械能守恒

〃ig2R=-mv1--得vc=15gR②

当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与0点等高的D位置则由机械能守恒

mgR=-得匕.=J2gH③

小结：(1).当匕.>j5gR时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力

2

由牛顿第二定律FA+mg="22④

(2).当匕=，频时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0

由牛顿第二定律mg⑤

R

(3).3J2gH<匕.<45gR时小球不能通过最高点A小球在八点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运

动离开圆周，旦】，越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0

v2h

在DA段射重力与半径方向的夹角为e则〃?gcos。=m—、cos。=—

AR

(4).当Ov匕<J荻时小球不能通过最高点A上升至C。圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上

升的最高点为C永不脱离轨道

【问题2］常见几种情况卜.物体受轨道的作用力

⑴从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒〃吆2A=

在C点由牛顿运动定律：Fv-mg=得Ev=5mg⑥

R

(2)从与O等高的D点(四分之一圆弧)处静止释放到达最低点C：由机械能守恒mgR=-mvl

在C点由牛顿运动定律：F-mg=〃t±得Fv=⑦

NR

(3)从A点以初速度唳=释放小球到达最低点

由机械能守恒mg2R=-mvc--mv\

在C点由牛顿运动定律：FN-mg=m-^得Ev=6/〃g⑧

1.(2025•广西柳州•模拟预测)如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩"踢球游戏，将该过程简化为竖直面

内半径为广的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为机的小球，现给小球一水平向右的瞬时速度打小球沿

圆环内侧运动，重力加速度为g,不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是()

A.若丫=2>/^7,小球可以通过圆环最高点

B.若u=2«7,小球在最低点对圆环压力大小为4〃7g

C.若-=廊，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为。

D.若i，=胸，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为:

2.（2024.山东泰安・模拟预测）如图所示，光滑圆环轨道竖直固定放置，轨道半径为七一小球从最低点以

水平速度如沿轨道运动，在某位置脱离轨道后，恰好经过圆环轨道的圆心。已知重力加速度为g,不计空

气阻力，则血的大小为（）

A.gG)gRB.«2+BgR

C.<(4-扬冰D.出-BgR

3.（2024.贵州•三模）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为1kg的小球，

甩动手腕，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，其简化示意图如下。握绳的手离地面高度为1.0m且

保持不变，现不断改变绳长使球重复上述运动，每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断，

球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离x后落地。己知绳能承受的最大拉力为15N,重力加速度大小取

lOm/s?,忽略手的运动半径和空气阻力，则x的最大值为（）

A.0.4mB.0.5mC.1.0mD.1.2m

4.（2024•河北邯郸•模拟预测）荡秋千是一项古老的休闲体育运动。如图所示，李明同学某次荡秋千时，。、

A两点分别为其运动过程中的最低点和最高点，A到。的过程中，李明的身体姿势保持不变。已知李明和座

椅的总质量为加，两根平行的秋千绳长均为L,A点时绳子与竖直方向的夹角为仇重力加速度大小为g,

空气阻力和绳的质量忽略不计。下列说法正确的是（）

A.在A位置时，该同学速度为0,处于平衡状态

B.在。位置时，该同学处于失重状态

C.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为加geos。

3

D.在。位置时，每根秋千绳的拉力大小约为8咫-〃吆cose

5.如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在。点，另一端拴住一个小球（视为质点）。在。点正下方一

半纯长的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A,把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放小球,

当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳未断）（）

A.小球的角速度增大到碰钉子前瞬间角速度的2倍

B.细绳对小球的拉力突然减小

C.小球的线速度突然增大到碰钉子前瞬间线速度的2倍

D.细绳对小球的拉力增大到碰钉子前瞬间拉力的2倍

6.如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为乙最初小球静止在圆轨迹的最低点

4点，现在A点给小球一个初速度如，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知8点与圆心。等

高，。点是圆轨迹的最高点，重力加速度为g。不计一切阻力，下列说法正确的是（）

A

A.小球做的是匀变速曲线运动

B.若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到C点的速度至少是历

C.若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在C点脱离圆轨迹

D.若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和。点之间的某一点脱离圆轨迹

7.如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法，被称为“魔力陀螺”，它可

等效为图乙所示的模型，竖直固定的磁性圆轨道半径为R,质量为，〃的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动,

A、C两点分别为轨道的最高点与最低点，仄。两点与轨道圆心等高，质点受到始终指向圆心、大小恒为

2〃?g的磁性引力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g,下列说法正确的是（）

A.若质点经过A点时的速度大小为"我,则此时质点受到凯道的弹力大小为〃吆

B.若质点经过8点时的速度大小为历,则此时质点受到凯道的弹力大小为mg

C.若质点经过C点时的速度大小为廊,则此时质点受到轨道的弹力大小为2/郎

D.若质点经过。点时的速度大小为廊,则此时质点受到轨道的弹力大小为2〃名

8.如图甲所示，轻杆一端固定在。点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为乙，小球在最高点时的速度大小为已其外-，图像如图乙

所示，重力加速度g取lOm/s2,小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（）

A.小球的质量为2kg

B.小球做圆周运动的半径为2.5m

C.5=2i，：时，在最高点杆对小球的弹力大小为40N

D.声=片时•，小球的向心加速度大小为lom/s?

9.（多选）（2024.河北•三模）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中4B是长度为R的水平轨道，

BCDE是圆心为0、半径为R的;圆弧轨道，两轨道相切于3点。一可视为质点的小球从4点以某速度％（大

4

小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（）

B.当%=血浜时，小球不会脱离圆弧轨道

C.若小球能通过七点，则％越大，小球在B点与E点所受的弹力之差越大

D.小球从E点运动到A点的最长时间为（6-G）《

10.（多选）（2024•山东•模拟预测）如图所示，一轻绳系一质量为小小球，竖直悬挂在。点，现将小球沿圆

弧拉至与0等高的A点，由静止自由释放。小球运动过程中经过。点时，绳与轻直方向的夹角为以下

判断正确的是（）

A.小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0,细绳拉力一直增大

B.小球运动至C点时，其加速度大小为gsina

C.小球运动至C点时，轻绳对小球的拉力大小为3〃吆cosa

D.若小球经过C点时重力功率最大，则cosa=@

3

11.（多选）如图甲所示，长为力轻绳一端固定在。点，另一端全一小球。在小球静止时给小球一个瞬时速

度打此时轻绳拉力为心，鸟--图像如图乙所示。已知重力加速度g取lOmH,小球可视为质点，不计一

切阻力。下列说法正确的是（）

A.小球的质量为1kg

B.小球做圆周运动的半径为1.0m

C.当F=25m，s2时，小球能做完整的圆周运动

D.当•=30m2/s2时，小球通过最高点时受到轻绳拉力的大小为10N

12.（多选）如图，光滑管形固定圆轨道半径为A（管径远小于R）,小球〃、人大小相同，质量均为〃?，其

直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度u通过轨道最低点，且当小球〃在最低点时,

小球〃在最高点，以下说法正确的是（）

v

A.速度i，应满足v>2阚，才能使两球在管内做圆周运动

B.当丫=腐时，小球〃在轨道最高点对轨道无压力

C.当小球匕在最高点对轨道无压力时，小球〃比小球匕所需向心力大5/咫

D.只要口>，5gR，小球。对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg

13.（多选）如图所示，有一竖直放置、内壁光滑的圆环，可视为质点的小球在竖直平面内做圆周运动，已

知圆环的半径为R,重力加速度为g,小球在最低点Q的速度为%,不计空气阻力，则（）

Q

A.小球运动到最低点。时，处于超重状态

B.小球的速度0。越大，则在P、Q两点小球对圆环内壁的压力差越大

C.当%二离无时，小球在。点受内壁压力为”普

D.当%时，小球一定能通过最高点2

14.（多选）如图所示，倾角45。的光滑轨道4B和水平轨道BC平滑相连，右侧是光滑的半圆轨道CDE,半

径R=0.4m°一可视为质点的质量为〃?=0.2kg的滑块从轨道48上高度儿处由静止释放。滑块与8c间的动

摩擦因数〃=0.5,重力加速度g取10m/s2,滑块恰好能通过最高点E之后，恰好落到8点。下列选项中正确

的是（）

A

A.水平轨道8C的长度为0.8m

B.滑块释放点的高度为加=L0m

C.如果增加释放点的高度加，滑块有可能垂直打到斜面上

D.如果将释放点的高度调整为％=（）.8m,滑块在半圆轨道CDE上运动过程中有可能脱离轨道

15.（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道半径为R,小球半径为r,R远

大干r,且「略小于管道内径，重力加速度为取则下列说法正确的是（）

A.小球通过最高点时的最小速度喙m=。

B.小球通过最高点时的最小速度％廊

C.小球在水平线"以下的管道中运动时，内侧管壁对小球•定无作用力

D.小球在水平线"以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力

16.（2024.北京海淀.二模）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为〃的。点，另一端系

有质量为机，可视为质点的小球，将小球拉至。点正上方的A点，给其一水平方向的初速度%，使其恰好

通过A点后，在竖直平面内以。点为圆心做半径为，•的圆周运劭。当小球运动到最低点8时，绳恰好被拉

断，小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求：

（1）小球初速度的大小％。

（2）绳能承受拉力的最大值4。

17.（2024•湖南•模拟预测）如图所示，竖直平面内的光滑轨道由两部分拼接而成，其中MNP为半径/?=：m

4

半圆弧轨道，PQ为半径r=lm的;圆轨道，将质量，〃=Q3kg的小球A从"点正上方的某点由静止释放，

4

小球无碰撞地从点进入轨道后，与静止在轨道最低点N处的小球B发十师性正碰，小球A反弹后恰好能

回到M点，小球B沿轨道运动到Q点水平飞出后又恰好经过“点。两小球均可视为质点，不计空气阻力,

取重力加速度大小g=IOm/s2,求：

（1）两小球碰撞后小球B的速度大小viV

（2）小球B经过。点时对轨道的压力大小心。

18.（2024.辽宁大连•二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道48和半圆弧轨道BC平滑连接组成，C

点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的4点由静止开始滑下,A点距轨道最低点的竖直高度为力=2.6m,

滑到轨道底端后又滑上半径为R=0.4m的半圆弧轨道（不考虑经过连接处的速率变化），小球质量为

m=0.2kg。（^=10m/s2）

（1）若接触面均光滑，求小球滑到。点时速度和对轨道的压力。

（2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N,求全过程中克服摩擦力做的功。

19.如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内，。为圆心、。、b、c、4为圆形轨道上的点，

其中ac为竖直直径，人与圆心等高，d和圆心的连线与水平方向的夹角为45。。一小球静止在圆形轨道底端

〃点，某时刻小球获得一个水丫：向右的瞬时初速度%（未知），已知重力加速度为g,।可答下列问题：

(1)若使小球运动过程中不脱离轨道，求小球的初速度%的范围；

(2)若小球在d点脱轨，求小球的初速度％；

(3)以d点为坐标原点，水平方向为x轴(向右为正)，竖直方向为S轴(向上为正)建立平面直角坐标系。

若小球仍在〃点脱轨，求小球脱离轨道后的运动轨迹方程。

20.如图所示，光滑竖直圆轨道ABC。与光滑的水平轨道平滑连援，圆弧轨道4、。为最低点，位置稍错开。

轻质弹簧左侧与墙面拴接，右侧与物块不拴接。已知物块的质量为，〃=lkg,物块将弹簧压缩后，使弹簧储

存的弹性势能5=50J。解除弹簧锁定，物块被弹出后进入圆轨道。已知物块可以看做质点，不计空气阻力,

月取lOm/s?。求:

(1)物块离开弹簧时的速度大小%;

(2)为保证物块在运动中不脱离轨道，求圆轨道半径R的取值范围。

21.某校科技小组参加了如图所示的轨道游戏项目，图中P为弹性发射装置，48为倾角为。=37。的倾斜轨

道，8c为水平轨道，CDC为竖直圆轨道，CE为足够长的倾斜曲线轨道，各段轨道均平滑连接，AB.BC

段动摩擦因数为〃=05,其余各段轨道均光滑。已知滑块质量为m=O/kg,圆轨道半径/?大小可以调整，

轨道A8长为Im,8c长为1.2m,弹射装置P把滑块以％为4mzs速度水平弹出，恰好从A点沿斜面方向无

2

碰撞进入斜面，滑块可视为质点。(sin370=0.6,cos370=0.8,g5Z10m/s)

(2)花滑块从A点进入轨道后运动不脱离轨道，圆轨道半径R应满足的条件。

22.如图所示，长为L不可伸长的轻绳一端固定于。点，另一端系有质量为的小球(可视为质点)，使小

球在竖直平面内以。点为圆心做圆周运动。已知重力加速度为g，忽略空气阻力的影响。

A

J

\!/

'、：/

J」一J

B

(1)若小球经过圆周最高点A点时绳对小球的拉力大小F,求：小球经过圆周最高点4点时速度大小〃；

(2)加大小球的速度后，在最低点轻绳恰好被小球拉断，小球立即做平抛运动，落地点与8点之间的水平距

离s,8点距水平地面的高度为力(图中未画出)，求：

a小球经过圆周最低点B点时速度大小也;

。.轻绳能承受的最大拉力为4。

23.如图所示，质量m=lkg的小物块静置在粗糙的水平平台的A点，在大小为3N的恒力作用下，从平台

的B点以3m/s的速度水平飞出，恰好从C点无碰撞的进入半径为R的光滑圆形轨道。已知C*是圆形轨道

的一条直径，从F点到轨道的最高点是一个光滑圆管，NEOF=37。，小物块与平台的动摩擦因数4=04，

⑵求4C两点间的高度差；

(3)若小物块能够进入圆管，试分析轨道半径R的取值范围。

24.如图所示，竖直平面内的;圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R,人端与圆

心。等高，AD为水平面，8端在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入

管道

o

3

(1)如果管道与小球接触的内侧壁(图中较小的;圆周)始终对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小

4

高度为多大？

(2)如果小球到达8点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求：

a.小球运动到管道最高点E时对管道的弹力；

b.落点。与A的水平距离。

三.过拱凹形桥模型

1.(多选)资料显示，质量为ISxlO'kg的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为3.0X1CTN,超过该值将会

爆胎。某次汽车以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面时，将这段路面简化为弧形，其最高点和最

低点分别为4、B,对应圆弧的半径，•均为150m,两圆弧的圆心连线。02与竖直方向间的夹角为30。，取

g=10m/s2,则汽车()

A.从A点到A点的过程中重力做功约为2.25xl（）6j

B.通过最高点A时对路面的压力为6000N

C.通过最低点3时不会爆胎

D.若以38m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面

2.如图所示，一光滑绝缘的半圆柱体固定在水平地面上，其横截面是半径为R