第五章 投影与视图-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

第五章投影与视图

3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；

4.能根据三种视叁描述简单的几何体.

1.重点立体图形的三视图

教学重难点

2.难点利用三视图还原立体图形

知识点01平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有

被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫

做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

⑴等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的

长度.

2.物高与影长的关系

(1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，

方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东，影长也

是由长变短再变长.

(2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

甲物体的高甲物体的影长

乙物体的高一乙物体的影长.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

知识点02中心投影

若一束光线是从•点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是

中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影

仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(D等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物

体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长：离点光源越远，

影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在

同一条育线上,根据其中两个点,就可以求出第三个点的位置.

知识点03平行投影与中心投影的区别与联系

1联系：

(1)中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平疔投影是在平行光线下所形成的投影，通常

的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的无线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光

线、手电筒的光线等都可看成是从某•点发射出来的光线.

(2)在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光

下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的

位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2区别：

(1)太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物

体高度不一定成比例.

(2)同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方

向.

知识点04正投影

正投影的定义：

如图所示，图⑴中的投影线集中于一点，形成中心投影；图⑵⑶中，投影线互相平行，形成平行投影；

图(2)中，投影线斜着照射投影面；图⑶中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情

形为投影线垂直于投影面.像图⑶这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

⑴线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AiBi，与线段AB的长相等;

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长;

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平

面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，

是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

⑶立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立

体图形的最大截面全等.

知识点05三视图的概念

（1）视图

从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

正面、水平面和侧面

（2）用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右

边的面叫做侧面.

（3）三视图

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的日前向后观察物体的视图，叫做主视图；

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，

叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

知识点06三视图之间的关系

（1）位置关系

（2）三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，

如图⑴所示.

（2）大小关系

三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图

与俯视图的宽相等的原则.如图（2）所示.

【即学即练】

1.如图所示，几何体的俯视图是（）

B.

D

「-l

【答案】B

【分析】本题考查三视图.

根据几何体，俯视图为矩形中间有一条实线，找出对应选项即可.

【详解】解：由几何体可知，俯视图为矩形中间有一条实线,

只有选项B符合题意,

故选：B.

2.一位美术老师在课堂上进行立.体模型素•描教学时，把5个棱长为1dm的正方体摆在课桌上（如图所示）,

然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为（）

B.15dm2C.8dmeD.20dm2

【分析】本题考查了几何体表面积的计算，解题的关键在于理解露出的表面的算法.分别计算出上面一层

和下面一层露出的表面积，然后相加即可.

【详解】解：根据题意得，上面一层露出的表面积为Ixlx6-lxl=5（dm2）；

下面一层露出的表面积为1x1x6x4-1x1x13="（dm?）,

所以表面被涂上颜色的部分的面积为5+ll=16（dm2）.

故选:A.

3.将一个棱长为6cm的正方体的一个角剪去一个棱长为3cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几

何体主视图的面积为cm2.

主视方向

【答案】36

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形就是主视图是关键.根据题意判断出该

几何体的主视图，进而得出它的面积.

【详解】解：该几何体的主视图是一个边长为6cm的正方形，

所以该几何体主视图的面积是：6x6=36cm2.

故答案为：36.

4.如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处.若测得台阶8=M="G=0.2m,且

0E=£G=O.3m,此时台阶在地面的影子QM=0.45m,树的底部到台阶的距离8C=1.8m,则树高48

为.

【答案】3.6m

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影.作GR_L8M,GS_LA8,则四边形8RGS是矩

形，推出△ASGs^P0M,据此求解即可.

【详解】解：作于R,GSJLAB于S,则四边形欧GS是矩形，

团8S=GR=0.2x2=0.4(m),PQ=0.2x3=0.6,

f?l/?C=2x0.3=0.6(m),

团SG=8R=BC+RC=1.8+0.6=2.4(m),

由题意得△ASGS^PQM,

AS_SGAS2.4

团而=两，即而=标’

0AS=3.2(m),

(3AB=AS+BS=3.2+0.4=3.6(m|,

故答案为：3.6m.

5.如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体.

从正面看从左面看从上面看

⑴请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图；

⑵若每个小正方体的棱长为“cm,则这个几何体的表面积（包括底部）为

【答案】（1）见解析

（2）38/

【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面枳；

（1）根据三视图的画法直接画图即可.

（2）根据几何体的形状得出其表面积即可.

⑵这个几何体的表面积为(6/+6a2+6/)x2+2a2=3&J(cm2).

故答案为：38万.

题型精讲

题型01投影的变化

【典例1】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由4处走到8处的过程中他在该路灯下的影子（）

举

££

BA

A.始终不变B.由长逐渐变短

C.由短逐渐变长D.先变短后变长

【答案】D

【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.熟练掌握中心

投影的特征是解题关键.根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长.

【详解】解：因为小亮由A处走到8处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程,

所以他在地上的影子先变短后变长.

故选:D.

【变式1】用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（）

A.先变大后变小B.逐渐变小

C.逐渐变大D.先变小后变大

【答案】C

【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根

据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答.

【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大.

故选:C.

【变式2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板A8C形成影子△A4G，三角板始终保持

与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（）

A.幺隹C；越来越大B.影子不是直角三角形

C.影子越来越小D.影子越来越大

【答案】D

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质.

利用位似图形的性质逐项进行判断即可.

【详解】解：A.根据位似图形的性质可得，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合

题意；

B.根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；

C.根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；

D.根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；

故选：D.

【变式3】如图，晚上小颖在路灯C下散步，在小颖由A处走到8处的过程中（。在A8之间），小颖在地

A.先变短后变长B.逐渐变短C.先变长后变短D.逐渐变长

【答案】A

【分析】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键.

根据中心投影的性质”物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时,影子会变短;

方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可.

【详解】解：根据题意，作图如下，

A。表示小颖在点A的位置，被表示小颖在点B的位置，点股表示路灯,

当小颖在点A的位置时，光线MO经过小颖后，形成影子4G,当小颖在点8的位置时，光线ME经过小颖

后，形成影子8尸，DA±AB,MC±AB,EB±AB,AD=BE,

小颖由点A到点C时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短;

小颖由点C到点8时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长;

田小颖在地上的影子先变短后变长,

故选：A.

题型02利用投影求旗杆高度

【典例1].如图，在某一时刻测得1米长的竹竿啜直放置时影长L25米，在同一时刻旗杆A8的影长不全落

在水平地面上，有一部分落在楼层的堵上，他测得落在地面上影长为4。=9米，留在增上的影长CZ）=2米,

则旗杆的高度（）

C

l

B

A.7.2米B.8.2米C.9.2米D.10.2米

【答案】C

【详解】作CESAB「E点,如图,

E：r

B.-Z7

则四边形8DCE为矩形，BD=CE=9,BE=CD=2,

AF1

根据题意得拓=而'

即笠=-!-

91.25

解得AE=7.2,

所以A5=A£+8E=7.2+2=9.2(m).

故选：A.

【变式1】如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶CD=£F="G=0.2m,

DE=FG=0.3m,此时台阶在地面的影子QM=0.45m,树的底部到台阶的距离8C=1.8m,则树的高度AB

为（）

A

A.3.2mB.3.4mC.3.6mD.3.8m

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影.作GRJ.8M,GS1AB,则四边形3RGS是矩

形，推出△ASGS/XPQM,据此求解即可.

【详解】解：作GR_L8M,GS工AB,则四边形BRGS是矩形，

A

^BS=GR=0.2x2=0.4(m),PQ=0.2x3=0.6(m),

回HC=2xO.3=().6(m),

(j]SG=4R=BC+RC=1.8+0.6=2.4(m),

由题意得△ASGS/XPQM,

AS_SGAS2.4

0----=------,!J—=------,

PQQM0.60.45

团AS=3.2(m),

(?1AB=AS+BS=3.2+0.4=3.6(m|,

故选：c.

【变式2】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得

二丈.别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太

阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈=10尺，1尺=1（）寸），示意图如

图所示，则这根竹竿的长度为（）

A.30RB.35尺C.40RD.45R

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.根据同

一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【详解】解：设竹竿的长度为“尺，依题意，

x1

・・~~=，

200.5

解得x=40,

故选：C.

【变式3】如图，安装路灯/W的路面C。比种植树木的地面高CP=l.2m,在路灯的照射下，路基”留

在地面上的影长砂为0.4m,通过测量知道8c的距离为L5m,则路灯A8的高度是（）

A

QEP

A.3mB.3.6mC.4.5mD.6m

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.根

据题意可得：ABA.CD,CPA.PQ,CD\\PQ,从而可得NABC=NCPE=90。，ZACB=NCEP,然后证

明AACBSKEP,从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.

【详解】解：由题意得：ABVCD,CPA.PQ,

回/48C=NC庄=90。,

由题意得：CD\\PQ,

\2\ZACB=ZCEP,

团8s△6七〃，

ABCB

0---=---,

CPEP

AB1.5

Id—=——，

1.20.4

解得：AB=4.5,

团路灯48的高度是4.5m,

故选：C.

题型03求影长

【典例11.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于尸（4,4）处,木杆两端的坐标分别为（0,2）,（6,2）.则

木杆AB在x轴上的影长CO为（）

y,

A

金

A.14B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过P作所_Lx轴于E，交人8于

M,证明AABPs^cDP,然后利用相似比可求出结果.熟练掌握相似三角形的判定和性

质是解题关键.

【详解】解：过P作PE_L人釉丁E,交八8丁何，如图，

以

/、

COE_D~^X

0P(4,4),4(0,2),8(6,2).

回PW=2，PE=4,AI3=6,轴，B|jAB//CD,

0^AMP^^CEP,Z^ABPSMDP,

APPMAPAB

0—=,—=,

CPPECPCD

cABPM

团一=——，

CDPE

61

0CT=2

(?ICD=12：

故选:B.

【变式1].在平面直角坐标系中，点尸（2,4）是一个光源，木杆A8两端的坐标分别是（1,2）,（4,1）,则木杆

A6在x轴上的投影40的长是（）

D.5

【答案】B

【分析】根据题意画出图形，分别求得直线PAP8的解析式，进而即可求解.

【详解】解：如图所示,

13/(2,4),A(1,2),8(4,1),

设直线PA的解析式为：%»=讣+4，直线总的解析式为：）%=k2x+b2,

2K+4=424+0=4

匕+4=24金+"=1

^2="1

k、=2

解得:

4=0

A=7

回＞'M=2x,ypii=_+7

)%=2x中，当y=0时，x=0,则A'(O,O),

31414

）6=一5X+7中，当y=o时,x=—,则夕—,0

3I3

团y

故选：B.

【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

【变式2】.如图，有一高度为8m的灯塔A从在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C

处，沿3C方向前进3.2m到达点。处，那么他的影长（）

A.变长了0.8mB.变长了1.2mC.变短了0.8mD.变短了1.2m

【答案】A

【分析】根据由CH团ABmDG可得MCE磴:ABE、BGDF00ABF,所以兽=N，冬=空，将数值代入求解可得

BEABBFAB

CE、DF的值，可得答案.

【详解】解：如图

由CH0ABP1DG可得团HCE00ABE、0GDF0QABF,

CEHCDFGDCE1.6DF1.6

?——----,----------,即an----------——.----------------——

BEABBFAB4.8+CE84.8+3.2+O尸8

解得：CE=1.2,DF=2

0DF-CE=2-1.2=O.8

故选A

【变式3】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达8处时，测得影子8c长

为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走6米到达。处，此时影子OE长为（）

【答案】C

【详解】解：

:瓜BFS*AP,

,旦竺,即-L=。

CAAP3+1AP

解得”=6.4,

•:GD〃AP、

:AEDGsgp,

EDGDrlnED1.6

EAPA3+6+EO6.4

解得上£>=3.

题型04三视图

【典例1】.梯卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为中华民族千年非遢瑰宝.如下

图是其中一种卯，其俯视图是（）

桦卯

A.L--------JB.

【答案】C

【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键.

根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得到答案.

【详解】

解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间,

即।—oo一•

!I

故选：C.

【变式11小明用5个完全相同的小正方体摆成了如图所示的几何体，它的左视图是（）

/正面

c.D.

A,千人+r

【答案】B

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键.

根据左视图从左边看即可得出答案.

【变式2】.下列四个几何体中，俯视图是长方形的是（）

【分析】此题主要考行了立体图形的三视图，关键是掌握俯视图是从上面看所得到的图形.

分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可.

【详解】解：A、长方体的俯视图是长方形，故此选项正确;

B、圆柱的俯视图是圆形，故此选项错误;

C、球的俯视图是圆形，故此选项错误;

D、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项错误:

故选:A.

【变式3].如图所示，下列四个;I何体种中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是（）

A.[:正方体

D.圆柱

【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视

图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握三视图的定义是解题关键.根据三视图的定义逐项

判断即可得.

【详解】解：A、这个正方体的主视图、左视图以及俯视图都是正方形，都是相同的，则此项不符合题意:

B、这个球的主视图、左视图以及俯视图都是圆，都是相同的，则此项不符合题意；

C、这个直三棱柱的主视图是长方形、左视图是三角形、俯视图是长方形（中间有条横线），贝!此项不符合

题意；

D、这个圆柱的主视图和俯视图都是长方形，左视图是圆，则此项符合题意；

故选：D.

题型05求表面积

【典例1].一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把5个棱长为1dm的正方体摆在课桌上（如

图所示），然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为（）

【分析】本题考查了几何体表面积的计算，解题的关键在于理解露出的表面的算法.分别计算出上面一层

和下面一层露出的表面积，然后相加即可.

【详解】解：根据题意得，上面一层露出的表面积为1x1x6-lxl=5（dm2）；

下面一层露出的表面积为1x1x6x4-1x1x13=1

所以表面被涂上颜色的部分的面积为5+11=16（dm2）.

故选：A.

【变式1].将一个长方体切4刀，正好可以切成若干个小正方体，增加的表面积是原长方体表面积的（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了长方体的表面积，正确地判断每一刀增加的表面积是本题解题的关键；

从图中可以发现，共增加了两个正面，4个左侧面，两个上面，将小正方体一个面的面积看作单位"1",分

别计算出增加的面积与原来的面积作比即可；

【详解】解：将小正方体一个面的面积看作单位"1"

增加的表面枳为：

2x6+4x44-2x6

=12+16+12

=28+12

=40

原来的表面积为：

（6+4+6）x2

=16x2

=32

40・32=2；

4

答：增加的表面积是原来长方体表面积的。

4

故迄C

【变式2】.如图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）

a

A.20乃B.187rC.16兀D.147

【答案】C

【分析】本题考查利用三视图还原几何体，求圆柱体的表面积，根据三视图可知，几何体为底面半径为2,

高为2的圆柱体，根据圆柱体的表面积公式进行计算即可.

【详解】解：由图可知：几何体为底面半径为2,高为2的圆柱体，

0几何体的表面积为:27rx2x2+2万x2,=16万；

故选C.

【变式3】.如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（）

2

3

6

主视图左视图俯视图

A.168兀B.1727rC.66兀D.6771

【答案】C

【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确

得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计

算方法是解决问题的关键.

【详解】解：由这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是

直径较大的圆柱，

・•・这个儿何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则

(2丫

5|.fl|t|.=27rx3+nlY1=6冗+兀=7兀：

$卜同柱=67tx7+27t=42兀+187t-n=59兀：

・•・这个几何体的表面枳是7兀+59兀=66兀,

故选：C.

题型06求正方体个数

【典例1].用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体

最少由机个小立方体搭成，则〃?的值为（）

A.8B.9C.10D.II

【答案】B

【详解】

解：根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小

如图所示是最少的一种情形下每个位置的小立方块数,

0/7/=1+1+1+1+2+3=9.

故选:B.

【变式1】.图是由若干个小正方体组成的，数一数，一共有（）个这样的小正方体.

/1/

A.10B.9C.8D.7

【答案】A

【分析】本题考查立体图形中小正方体个数的计数，解题关键是分层计数，注意被遮挡的小正方体.

分层数小正方体的个数，再求和.

【详解】解：上层有4个小正方体，下层有4+2=6个，

则小正方体的总数为4+6=10个.

故选:A.

【变式2].如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（）

出士

主视图左视图

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】C

【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章〃是解题的

关键.

根据主视图和左视图分析即可解答.

【详解】解：回主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，

团几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，

回搭建该几何体最少需要的小正方体的个数为4.

故选C

【变式3].用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C

【详解】解：如图所示，图1是最少的一种情形下每个位置的小立方块数，图2是最多情形下每个位置的

俯视图俯视图

图1图2

回团=1+1+1+1+2+3=9,“=2+2+2+1+1+3=11,

回，〃一〃=一2,

故选:C.

题型07求体积

【典例1】..小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（）

【答案】A

【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才

可以求体积.根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体枳是两个圆柱体的体积的和.

【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，

底面直径分别是4cm和2cm,

高分别是4cm和1cm,

.•.体积为：4^,x22+^xl2xl=17^（cm3）.

该匚件的体积是17万cm'.

故选:A

【变式1].如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

I左

主V

视

视2

A图

图I

俯

视

图

A.186B.54x/3C.1（）8#D.216G

【答案】C

【详解】试题解析：由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6,高是2,

所以该几何体的体积=6X@X62X2=1088.

4

故选C.

考点：由三视图判断几何体.

【变式2】.小莉用几个体枳是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体.如图是从不同方向看到的图形.这

个儿何体的体积是（）立方厘米.

正面上面左面

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【详解】观察从三个方向看到的图形，从上面看到的图形由4个正方体排成两行三列，下层有4个正方体；

从正面看到的图形有两层，上层左列只有1个正方体；从左面看到的图形有两层，上层后行只有1个正方

体.

可得该儿何体如图所示，

由5个体积是1立方厘米的正方体摆成，

回这个几何体的体积是5立方厘米.

故选：B.

【变式3】.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

【答案】B

【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积x高，把相关

数值代入即可求解.

【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角

边长为1,高为2,

则，等腰直角三角形的底面积=gx2xl=l,

体枳=底面枳x高=]X2=2,

故选：B

【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是

解决本题的关键.

题型08非实心图形三视图

【典例1].如图是一个空心圆柱，它的左视图为（）

，正面

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而存在的线画虚线.根

据从左边看得到的图形是左视图.

【详解】解：从左边看是矩形，中间空心圆柱看不到用虚线，

故选：C.

【答案】C

【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左边看到的图形是左视图.根据几何体的左视图的定义,

结合看的见的楂是实线，看不见的楂是虚线即可得到答案.

【详解】

解：几何体的左视图是

故选：c.

【变式2】.如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（）

正面

A.：：B.

C.0D.

【答案】A

【分析】根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可；

【详解】从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线

故选A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看

得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键.

【变式3].如图所示几何体的土视图是（）

【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案.

【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：

故选：D.

【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面,

上面看得到的图形.

题型09盲区

【典例1].现有m,n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个

同学发现（用阴影部分的序号表示）.

③

【答案】①②③

【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可

【详解】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选

①②③.

【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键.

【变式1】.如图，一只小猫在一片废墟中玩耍，一只老鼠呆在处才不会被小猫发现.

EA

小猫

【答案】A,B,G,E

【分析】观察图形，利用视角和盲区的知识，只有老鼠在盲区才不会被小猫发现.

【详解】解：老鼠要想不被猫发现就必须在猫的盲区内，小猫的盲区应该有B、G、A、E点，因此老鼠呆在

这四点才不会被猫发现.

故答案为A,B,G,E

【点睛】本题是结合实际问题来考查学生对视点，视角和盲区的理解能力.

【变式2].如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠

在地面上能避开小猫视线的活动范围为平方米（不计墙的厚度）.

【分析】如图题FI所求的比际是AOFE和梯形BCDH的面积，RSABH中，AB=BH=2,0BAH=45°,利用三角函

数即可求出.

【详解】在Rt^ACD中，CD=AC=6,S梯形BCDH=（2+6）x4+2=16,

在RtAABO中，tan0AOB=tan@FOE=l：2,

因此，FE=OFv2=l

SAOFE=2X1V2=1,

因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米.

【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础

上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

【变式2】.小猫在一片废墟中玩耍时发现一只小老鼠，当小老鼠位于点A、B、E和点一时，不易被小猫发

现，因为这些点位于小猫的如图所示.

【答案】C盲区

【分析】根据盲区的定义，作出盲区，然后从图上找到位于盲区内的点即可求解.

【详解】分别以小猫的眼睛为端点，分别作出图上3个障碍物后的肓区，通过图示可看出位于盲区内的位

置分别是:8,C,A,E.

故答案为C；

原因：这些点位于小猫的盲区.

故答案为C盲区.

【点睛】本题考查了盲区的定义利盲区的作图.解决本题的关键是根据盲区的定义正确的画出小猫的盲区

图.

题型10画三视图

【典例1].如图是由6个相同的长方体堆成的物体.每个小长方体的长为2,宽与高均为1.请在所给方格

图中画出这个物体的三视图.（小正方形的边长为1）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答

的关键.根据三视图的作法，画图即可.

【详解】解：这个物体的三视图，如图所示:

【变式1】.一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正

方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数.

⑴请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图；

⑵若小正方体的棱长为3cm,请计算该几何体的体积.

【答案】⑴见解析；

⑵该几何体的体枳为324ml

【分析】（1）根据主视图和左视图画图即可；

（2）根据体积等于立方体的个数x单个的体积即可；

本题考查了从不同方向看物体，几何体体积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键.

（2）解：该几何休的休积为（2+4+1+2+3）X33

=12x27

=324（m3）,

答：该几何体的体积为324mL

【变式21如图是由校长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体.

从正面看从左面看从上面看

⑴请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形：

⑵如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加

块小立方块.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】本题考查从三个方向看几何体.

（1）根据从三个方向看到的图形的画法画出相应的图形即可;

（2）在从左面看的图上相应位置备注出相应撰放的数目即可.

【详解】（1）解：如图：

■■■■―▼■一一.▼一.■—▼一■■■■♦一.一一

iiiiiaiiiiai

IIIaIIIIIIII

iiiaiiiiiiii

Hl工i

从正面看从左面看从上面看

（2）在备注数字的位置加提相应数量的小正方体，

【变式3].如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体.

从正面看从左面看从上面看

⑴直接写出这个几何体的表面积;

(2)按要求在方格中画出从这个几何体不同的方向看到的形状图.

【答案】(1)26(5f)

(2)见解析

【分析】本题考查了简单几何体的三视图以及表面积求解，旨在考查学生的空间想象能力.

(1)根据表面积的定义即可求解;

(2)根据三视图的定义即可完成作图.

【详解】(1)解：这个几何体的表面积为：lxlx(5+4+4)x2=26(cm2)

强化训练

一、单选题

1.如图是用5个相同的小立方体搭成的几何体，其主视图是()

【分析】本题考查了三视图的知识，掌握以上知识是解答本题的关键;

本题根据三视图的知识，主视图是视线从正面看，然后即可求解：

【详解】

解:从正面看，其主视图是I----------,

故选：A；

2.由一些大小相同的小止方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最

多是（）

主视图俯视图

【答案】C

【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方体,

中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案.

【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下：

俯视图

团这种几何体所需小正方体个数最多是1+1+3+3=8,

故选：C.

3.小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（）

主视图左视图俯视图

A.17用B.20乃C.36几D.687r

【答案】A

【分析】本题考自了由二视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是止确地得到儿何体的形状，这样才

可以求体积.根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和.

【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，

底面直径分别是4cm和2cm,

高分别是4cm和1cm,

体积为:4^-x22+%x]2xl=17^,（cm3）.

•••该工件的体积是17;rcnT.

故选：A

4.如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下

A.①和②的左视图相同B.①和②的主视图相同

C.①和②的俯视图相同D.①和②的三视图均不相同

【答案】A

【分析】本题考杳简单几何体的三视图，分别对比两个图形的三视图即可得到答案.

【详解】解：A、①和②的左视图都是一样的长方形，即①和②的左视图相同，选项符合题意；

B、①和②的主视图都是梯形，但是上底和下底的长度不相等，旦两腰的位置也是相反，故①和②的主视

图不相同，选项不符合题意；

C、①和②的俯视图都是长方形和中间一条线段，但是①中间是实线，②中间是虚线，故①和②的俯视

图不相同，选项不符合题意；

D、①和②的左视图相同，选项不符合题意；

故选：A.

5.如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成.拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主

视图的形状发生了变化，则拿走的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【分析】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键.根据三视图即可得到答案.

【详解】解：由图形可知，拿走乙此图形主视图的形状发生了变化，

故选B.

二、填空题

6.皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧.皮影戏中的

"皮影"属于投影.（填“平行”或”中心〃）

【答案】中心

【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影和中心投影是解题的关键.根据中心投影的定义即可得到

答案.

【详解】解：中心投影是由同一点发出的光线形成的投影，其投影相交于一点，这种投影方式在灯光照射

下形成的影子就是中心投影.

故皮影戏中的“皮影”属于中心投影.

故答案为：中心.

7.如图，树AB在路灯。的照射下形成投影AC,已知树高A8=2m,树影AC=3m,树48与路灯。的水

平距离人P=4.5m,贝1」路灯的高度P0长是一米.

【答案】5

【分析】本题考查了三角形相似.解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似

比.利用中心投影的性质得到则可判断然后利用相似三角形的性质求0。的长

即可.

【详解】解：P1AA小路灯。的照射下形成投影八。.

回A3〃OP,

团△CABSACQO,

ABCA

0-=--，

OPCP

0AB=2m»AC=3m,AP=4.5m,

c23

团—=-------

0P3+4.5

解得0P=5,

即路灯的高度PO氏是5米.

故答案为：5.

8.随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大.某工厂要制作一批无底帐篷，如图为设计

师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为nr（结果保留不，门也用布料制作，接口处损耗

不计）.

俯视图

【答案】(9.24+3.2%)

【分析】本题考查了由几何体的三视图确定该几何体的形状，儿何体的表面积，根据题意列出算式

2x22x1.1+2x22x1+乃+g乃x2x2.2,然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：该帐篷所需布料的面积为,

2x2.2x1.1+2x2.2x1+乃x『+"x2x2.2

2

=4.84+4.4+乃+2.24

=9.24+3.2万，

故答案为：(9.24+3.2乃).

9.一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒,

所需胶带长度至少为_____厘米.

实物图

【答案】(12073+90)

【分析】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力，勾股定理，利用正六边

形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可.注意知道正六边形两个顶点间的最大距离求

对边之间的距离需构造直角三角形求解.

【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底，

如图，将俯视图画出，连接8E,AC,过点。作勿由题意可得月月=40cm,

A

360°

因为正六边形每个内角为180。-二［二120。，

6

:.NCBG=L/ABC=60°,

2

♦:BC=BA,

:.^BCA=ZBAC=30°,

：.BE±AC,

••・四边形CGFD为矩形，

Q£BCG-ZEDF-30°,ZBGC-NEFD-90°,BC-ED,

.•.△BGC%£FD(AAS),

BG=FE=-CD=-GF

22f

40

/.BG=—=IOcm,

4

:.CG=VBC2-BG2=10x/3cm，

AC=2CG=2O>/3cm.

则胶带的长至少=206x6+