初中数学《圆中相似》含答案

专题07圆中相似

【小题热身】

1.如图，AABC内接于OO,4E14C于点E,是OO的直径，若鹿=6,AE=2,AC=3,则

长是（）

A.7B.8C.9D.10

2.如图，MBCSMDE,NBAC=/DAE=900,AB=4,AC=3,b是QE的中点，若点E是直线

4c上的动点，连接8/，则8户的最小值是（）

A.2B.2c.5D.4

3.如图，的直角项点0,另一项点A及斜边46的中点。都在上，AC=6,BC=8,则

的半径为.

4.如图，力8是。。的直径，力C是。。的弦，ODJ.4c于D,连接。C,过点D作DF7/OC交AB于F,

过穹点4的切线交4C的延长线于£.若彳。=4,2,则8E=____________.

5.如图，在“8。中，Z5=90°,AB=6,BC=4,点0在力C边上，°°与边48、8c分别切于点。、

CO

E,则37的值为__________.

二

ADB

6.如图，△ABC内接于OO,AHLBC于点H,若/4c=8,AH=6,O。的半径OC=5,则A8的值为

©

7.如图，在R/AJOB中，408=90。，O/=4,OB=6,以点。为圆心，3为半径的与。8交于

点C,过点C作CO~L°8交48于点。,点P是边。力上的点，则PC+P。的最小值为____.

)

8.如图，在中，N，4CB=90。,*4,。=6,OC半径为2,〃为圆，一动点，连接4尸，

初中

AP+-BP

BP,2的最小值为

【磨刀霍霍】

9.如图，力8为的直径，C为0°上一点、,力。和过C点的切线互相垂直，垂足为。.

(1)求证：4c平分N加8；

(2)若仞=4,AC=5f求48.

10.如图，以△力4。的边力〃为直径作O°,交8c于点。，过点。的切线OE,XC于点E.

（1）求证：AB=AC.

（2）若/8=10,8求DE的长.

11.如图，在。。中，48为。。的直径，直线。E与。。相切于点。，割线4c,DE于点E且交。。于点

F,连接OF.

(1)求证：4D平分乙847；

(2)求证：DF1=EFAB.

初中

D

F

12.如图，力〃是O0的直径，力。是。°的弦，点F是以延长线上的一点，过0°上一点C作。。的切

线交DF于点E,4c平分NR4B.

(1)求证：CE1DF.

(2)若力E=2,CE=4,求OO的半径.

13.如图，在“4。中，，48:4C,以为直径的0°交4c于点0,过点。作OE_L4c于点R

(1)求证：。后是。。的切线：

(2)若8=8，0°的半径等于5,求线段CE的长.

14.如图，已知力8为圆直径，M切圆于点8,过点A作力C〃0尸，交圆。于点C,连接产C.

(1)求证：夕。为圆。的切线；

(2)若。「-I。，AC=2,求圆。的半径.

初中

15.如图，*△/8C中，N5=90。，点£＞为/C上一点，以6为直径的交4"于点E,连接小,

CE平分N4CB.

(1)求证：力七是0°的切线;

(2)若==2右，BE=2,求°°的半径.

16.如图，点D是根8c中/〃边上一点，以力。为直径的与8c相切于点g连接C0.

⑴求证：/BCD=NA；

(2)若的半径为3,4c=2CD,求8c的长.

17.如图，是。。的直径，彳力与。°交于点4点E是半径。力上一点(点£不与点0,A重合).连

接。月交。。于点C,连接°,CB.若a=c。，々BC=ND.

(1)求证：力。是的切线.

(2)若力8=13,CA=CD=5t则力。的长是.

18.如图，点C在以力〃为直径的0°上，点。是8c的中点，连接°。并延长交0°于点邑作

/EBP=4EBC,交的延长线于点p.

初中

(1)求证：是0°的切线；

(2)若力。=2,PD=6,求。。的半径.

19.如图，C。为。。的宜径，弦48_LC0,垂足为H,P是8延长线上一点，DELAP,垂足为

(1)求证：AE为。。的切线；

(2)已知PA=2,PD=1,求O。的半径和。£的长.

20.如图，点I是AABC的内心，AI的延长线和aABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点E.

(1)求证：DI=DB；

(2)若AE=6cm,ED=4cm,求线段DI的长.

21.如图，在△力"。中，AB=ACf以力〃为直径作。。交8c于点。，过点。作0°的切线交4。于

点E,交4?延长线于点尸.

(1)求证：DELAC,

nr,_10

DT--------

(2)若48=1(),3,求花的长.

初中

B.D

22.如图所示，AB是的直径，C8,CE分别切0°于点8、点。,CE与8A的延长线交于点E,连接

OC,0D.已知AE=b,BC=c,请选用以上适当的数据，设计出计算的半径r的一种方

案.

（1）你选用的已知数据是.

（2）写出求解过程（结果用字母表示）.

初中

专题07圆中相似

【小题热身】

1.如图，.ABC内接于0O,4ELBC于悬E,力力是0。的直径，若止6,AE=2fAC=\则

力。长是（）

【答案】C

【分

连接CD,可证明AABE〜aADC,利用线段成比例求出AD的长.

【详解】

连接CD,

...AC=AC

••.ZB=ZD

♦AD是直径，

.•.ZACD=90°,

...AE1BC

.-.△ABE-AADC

AB_AE6_2

，而一就，即布一§

.*.AD=9

故选C.

初中

【点睛】

此题主要考查圆内的线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.

2.如图，MBC〜MDE,NBAC=NDAE=90',44=4,AC=3f厂是DE的中点，若点E是直线

8c上的动点，连接3尸，则的最小值是（）

A

/\\

6

-

C5D4

【答案】B

【分析】

根据相似三角形的性质得到4ADE=4ABE,推出点A,D,B,E四点共圆，得到乙DBE=90。，根据直角三

角形的性质得到BF=5DE,当DE最小时，BF的值最小，DE最小,根据相似三角形的性质即可得到结

论.

【详解】

解:vAABC-AADE,

.••ZADE=ZABE,

.•・点A,D,B,E四点共圆，

•"DAE=90°,

.•.ZDBE=9O°,

•••F是DE的中点，

上

.-.BF=2DE,

.,•当DE最小时,BF的值最小，

•••若点E是直线BC上的动点，

.•.当AE1BC时，AE最小，此时，DE最小,

•••ZBAC=90°,AB=4,AC=3,

.-.BC=5,

ABxAC12

.*.AE=BC5,

vAABC-AADE,

ACBC

：.~AE=~DE,

35

••・《，

初中

••QE=4,

.•.BF=2,

-----------飞~b

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积公式，四点共圆，圆周角定理，直角三角形的性质，确定

出当DE最小时，BF的值最小是解题的关键.

3.如图，《△/AC的直角项点C,另一项点A及斜边48的中点。都在°°上，AC=6fBC=8,则

的半径为.

B

【答案】8

【分析】

作辅助线，构建相似三角形，证明△8DEs^BC4列比例式求出0E的长，最后利用勾股定理求直径

进而即可求解.

【详解】

解：连接。人AE.CD,

B

A

初中

■：£ACB=90°,

ME是O。的直径，

."DE=90°,

•:乙EBD-ABC,乙BDE=KBCA=90°,

:ABDES^BCA,

DEBD

:.'AC=~BC,

•••。是斜边4B的中点，

'.BD=AD,

由勾股定理得：止用+82=1()，

•.BD=AD=^AB=5,

DE_5

.•.~6~=8,

15

：.DE=4,

'-0E=AE=8,

25

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了圆中的基本性质和直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三

角形，是解题的关键.

4.如图，是。。的直径，是。。的弦，ODtAC于D,连接0C,过点D作DF7/OC交4B于F,

DF=-

过点4的切线交力C的延长线于£.若4)=4,2,则3E=.

【答案】2

【分析】

证明△力。尸〜△力C。求得47,利月勾股定理求得CB的长，再利用△彳8£〜△4C8求得8E.

初中

【详解】

解：如图所示，连接8c

•./3是OO的直径，ODLACyD

：.NACB=/ADO=90。

又NCAB=/CAB

...△血）0~ACB

ADAO

...JC-^-2

...心8

乂；DF//OC

:.&ADF~"C0

DFAD\

...CO-JC_2

CO=2DF=2x-=5

2

.,AB=2CO=\0

^.,.AC24-CB2=AB2

...82+CZ?2=102

...C8=6或08=-6（舍去）

又BE为切线

：.ZABE=ZADO=90°

又ZC4B=Z.CAH

:.“BEfACB

ACCB

：,7B~~BE

8_6

即10BE

BE=—

2

【点睛】

本题考查圆的相关性质、相似匚角形的判定和性质.直径所对的圆周角是直角.圆的切线垂直于过切点

的半径.相似三角形的对应线段成比例.

初中

5.如图，在“8C中，N8=90。，4B=6,BC=4,点O在力C边上，O。与边川？、8c分别切于点Q、

CO

E,则57的值为.

2

【答案】3

【分析】

本题首先利用切线性质以及圆半径相等求证正方形OEBD,继而利用平行推出线段比例关系以及

△8E~CAB,最后通过正方形以及相似性质列方程求解BE、CE以解本题.

【详解】

连接OE、0D,如下图所示：

•••圆与AB、BC相切，ZB=90°

.-.ZOEB=ZODB=90\

四边形OEBD为矩形,OEHAB,

又；OE、0D为半径，

.•必边形OEBD为正方形.

COCE

由平行可知：40一BE,CAB,

OECE

：.7B~~CB,

又；OE=BE,

OEBC-BEBC-OE

,.7B~~BC—-—BC-,

初中

OE4-OE

即6-4,求得OE=BE=2.4,

.-.CF=1.6,

COCE_\.6_2

故布一诟一百一？.

2

故填：3.

【点睛】

本题考查圆、止方形以及相似性质的综合，题十见到切线信息点通常需要连接圆心与切点构迨辅助线,

题目若涉及线段比例时，通常考查相似性质，可据此作为思路指引.

6.如图，"8C内接于。。，AHLBC于点H,若AC=8,AH=6t。。的半径0C=5,则4B的值为

【分析】

作直径AE,连接CE,证明△ABH〜A4EC,然后由相似三角形的对应边成比例列式计算即可.

【详解】

作直径A£,连接C£.

••FE是直径，.••〃CE=90°,HBMACE.

ABAHAB

---=---=-6=-1-5

又.：乙B=LE,♦•,△ABHS^AEC,：.AEAC,gp10----8,解得：AB2.

15

故答案为5.

【点睛】

本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质.掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理是解题的

关键.

7.如图，在中,4OB=90。,OA=4tOB=6,以点。为圆心，3为半径的。°,与交于

初中

点C,过点C作交48于点。，点。是边04上的点，则PC+PO的最小值为

【答案】2而

【分析】

延长C。，交00于一点£,连接PE,由题意易得OC=8C=O£=3,/BCD=/AOB=90。，则有

△BCDS/OA,CP=PE,然后可得6=2,PC+PQ=PK+PQ,要使尸C+PQ的值为最小，即

尸£+尸。的值为最小，进而可得当D、P、E三点共线时最小，最后求解即可.

【详解】

解：延长C。，交0°于一点已连接PE,如图所示：

=以点。为圆心，3为半径的

：.OC=BC=OE=3,

•：N4OB=90。，CDLOB,

:,ZBCD=ZAOB=90°t

,.,CD//OA,CP=PE,

:©BCDs^BOA,

CDBC_1

：^OA~~OB~2y

...OA=4f

:.CD=2,

•:CP=PE,

...PC+PD=PE+PD,

则要使PC+0。的值为最小，即PE+P。的值为最小，

.•.当。、P、E三点共线时最小，即尸E+?O=OE,如图所示：

初中

.•.在Rt^DCE中，DE=y/cD2+CE2=2M,

...PC+PQ的最小值为2亚；

故答案为2J证.

【点睛】

本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握

线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

8.如图，在用△力BC中,N4CB=90。,BC=4,CJ=6,0c半径为2,P为圆上一动点，连接力尸，

AP—BP

BP，2的最小值为.

【分析】

连接“、彳。和。。，证明△皮公BCP,在根据勾股定理求解即可;

【详解】

解：如图，

CDCP

在CB上取点O,使CO=1,则有。尸一。"一',

初中

又...NPCO=ZBCP,

...△PC©BCP,

PD1

.•.茄=5,

PD=-BP

2,

AP+-BP=AP+PD

2

AP+-BP

要使2最小，只要4>+<。最小，

当点A,P,。在同一条直线时，zlP+力。最小，

AP+-BP

即：2最小值为力。，

在RtZX/iCQ中，CD=\t力C=6,

：.AD=4AC?+CD2=历,

AP+-BPr—

2的最小值为"37.

故答案为：质

【点睛】

本题主要考查了圆的综合，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理计算是解题的关键.

【磨刀霍霍】

9.如图，48为。。的直径，C为。。上一点，力。和过C点的切线互相垂直，垂足为。.

（1）求证：力。平分ND48；

（2）若月。=4,AC=5f求力8.

25

【答案】（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）连接℃，由切线的性质可知CD,即证明力。〃℃,再由平行线的性质可证明

ZDAC=ZACOf最后由圆的基本性质可知/。1°=乙4c0,继而得到ND4C=N3O,即力C平分

ND4B.

ADAC

（2）连接围，由圆周角定理的推论可知N/C8=90。，即易证△'。-△。台，从而得到正一通，即

初中

可求出八8的长.

【详解】

(1)证明：连接℃,

...C是。。上一点，OC是切线，

：.OCLCDt

又，：4D工CD,

：,AD//OCt

...ZDAC-Z.ACO.

又,；40=0C,

:.£CAO=NACO,

..ZDAC=ZCAOf

即力C平分ND48.

(2)连接C8.

..”4是的直径，

.,ZACB=90°t

又,：NDAC=/CAB,ZADC=9Q°,

•♦•&DAC~ACAB♦

ADAC4_5

AC-AB,即《一48,

【点睛】

本题为圆的综合题.考查切线的性质，平行线的判定和性质，圆的基本性质，圆周角定理以及相似三角

形的判定和性质.作出常用的辅助线是解答本题的关键.

10.如图，以△力8C的边力4为直径作交8c于点。，过点。的切线OE，4c于点E.

初中

c

(1)求证：AB=4C；

(2)若"8:10,80=8,求祝的长.

【答案】(1)见解析；(2)4.8.

【分析】

(1)连接。。，根据切线性质可得°。工夫。，结合DEL4C,可证明ODMC,可推山N0OA=/C,再利

用。8=0。即可得出=则/8=",此题得证；

(2)连接4。，因为A8为圆的直径，所以〃。8=90。利用勾股定理求出八。的长，根据(1)中的结论，

可得CO=80=8,"C=10,则可利用相似三角形的判定及性质得出比例式，然后进行计算即可.

【详解】

(1)证明：连接°。，

CK

为切线,

0D1ED

•;DE上AC.

:.0DHAC

初中

:"ODB=NC.

OB=ODf

:"B=NODB.

/B=NC.

:..4B=AC.

(2)解：连结力。，

Q4B为直径,

/ADB=90°.

•.78=10,80=8,

.•..40=6.

'：AB=AC,ADLBC

.­.CD=BD=8tAC=lO

4DAE=/CAD,ZDEA=ZCDA=90°

:&DEASACDA

.ADDE

"7C~CD,

6DE

二.—=——

108

/.DE=4.8.

【点睛】

本题考查了切线性质定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、相似三

角形的判定与性质等相关知识是解题的关键.

11.如图，在。。中，A8为。。的直径，直线。£与。°相切于点。，割线力C,OE于点E且交于点

F,连接DF.

（1）求证：4。平分NBAC;

（2）求证：DF2=EFAB.

【答案】（1）见解析：（2）见解析

【分析】

（1）连接。。，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到4004=NDAC,再根据。4=。。，可以得到

乙OADMODA,从而可以得至1吐。47=4。八。，结论得证；

（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到0B・DF=EF・48,再根据等弧所对•的弦相等，即可证明结论

初中

成立.

【详解】

解：（1）证明：连接00,如图所示,

・••直线。£与O0相切于点D，ACLDE,

.-.ZODE=ZDE4=90°,

.••00MC,

••^.ODA=^DAC>

,-0A=0D,

'.Z.0AD=Z.0DA,

:.乙DAC=L0AD,

：.AD平分48AC：

(2)证明：连接OF,BD,如图所示,

-ACWE,垂足为E,48是。0的直径,

：.£DEF=Z-ADB=90°,

••2EFD+〃FD=180°,Z-AFD+Z.DBA=18Q°,

'-Z.EFD=Z.DBA,

:AEFDMDBA,

EF=DF

...育一定,

初中

:.DB・DF=EF・AB,

由(1)知，4?平分4847,

'.Z.FAD=Z.DAB,

•♦.DF=DB,

:.DRuElAB.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是

明我题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

12.如图，力〃是。。的直径，力。是。°的弦，点F是。力延长线上的一点，过。。上一点C作。。的切

线交DF于点E,4c平分NE48.

(1)求证：CE1DF.

(2)若46=2,底=4,求OO的半径.

【答案】(1)见解析：(2)5.

【分析】

(1)连接8C、0C,根据切线及等腰三角形的性质得到N8=〃C£,根据圆周角定理得到〃CB=90。,利

用宜角三角形性质及角平分线定义可得〃CE+ZC*=9O。，即可求出4CE4=90。，则结论得证；

(2)根据勾股定理求出AC,利用幺C8=NCE4=90。，^B=^ACE,证明根据相似三角形的

性质列出比例式，计算即可求出的半径.

【详解】

(1)证明：连接BC、0C,

•••0C1CE,

初中

••.N0C4+〃CE=90。，

必8是。。的直径，

.••〃C8=90°,

•••NOC4+，OC8=90°,

••Z.OCB—Z-ACEt

•••O8=OC,

.•.N8=Z_OC8,

•Z8+4648=90°,

.•."CE+NCA8=90°,

•••AC平分ZF48,

.,.ZCA£=ZC4B,

••&CE+NCA£=90°,

.-.ZCF4=90°,

•••CE1DF：

(2)解：vzCM=90%

...Ac=>lAE2+CE2=722+42=2后,

^^ACB=£CEA=90°,Z.B=Z,ACE,

：,AACB^AAEC,

ABAC

:.ACAE,

AB245

即韭F,

解得48=10,

.••00的半径为5.

【点睛】

本邈考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

13.如图，在△力“。中，，48=4C,以48为直径的交4c于点。，过点。作DE_L4C于点£.

(I)求证：。七是的切线：

(2)若8=8,0°的半径等于5,求线段”的长.

初中

【答案】⑴证明见解析;(2)CE=6.4.

【分析】

(1)连结0D,则由已知可以证得ODIIAC,再由DELAC可得DELDD,从而得到DE是00的切线；

(2)连结AD,则由AB是直径可得乙ADC=90。，所以由AC=AB及CD的长即可得到AD的长,再由题意得

到RTADEC-RTAADC后根据相似性质可以求得CE的长度.

【详解】

(1)证明：如图，连结0D,

••OD=OB,••z.B=z.ODB,

又AB=AC,•••ZB=ZC,

•••ZC=Z.0DB,.,.0D||AC»

vDElAC,/.ZCED=90%

.-.ZODE=90°,/.DEIOD,

•••DE是OO的切线；

(2)解：如图，连结OD、AD,

vAB是宜径，••.AB=2x5=10,ADJ_DE,

.,.AC=10,

,*,CD=89，AD=6,

zc=zc

•.•在RTADEC和RTAADC中，［ZDEC=ZADC

.••RTADEC-RTAADC,

DC_CE心三艾=6.4

=

：.7C~DCT.AC10

初中

【点睛】

本题考查圆的综合运用，熟练掌握圆的有关性质、切线判定定理、三角形相似的判定与性质、勾股定理

的应用并灵活运用是解题关键.

14.如图，已知力8为圆直径，M切圆于点8,过点A作力C〃OP,交圆。于点C,连接尸C.

(1)求证：尸c为圆。的切线；

(2)若。尸=1。，AC=2,求圆。的半径.

【答案】(1)见解析：(2)如

【分析】

(1)连接OC,证明△PB。三△PC。(S4S),由全等三角形的性质得出NO8PNOCP,由切线的性质得出

408P=90°,得到NPCO=90°,即可证明；

ACAB

(2)连接8C,证明aACB〜△O8P,由相似三角形的性质得出而=而，设。8=x,由比例线段求出x,则

可得出答案.

【详解】

解：(1)如图，连接。C,

-ACWOP,

:."AC=LBOP,iOCANCOP,

-OA=OC,

：.Z.OAC-Z-OCA,

:.乙BOPMCOP,

在aPB。和△pco中，

OB=OC

・£BOP=KOP

OP=OP

:.APBO三NCO(%S),

：.Z.OBP=Z.OCP,

是。。的切线，

.••08JL8P,即/O8P=90°,

.-.ZOCP=90°,即OC工PC,

・•.PC为。。的切线；

初中

（2）连接BC,

-AB为O。的直径，

."CB=90°,

：.Z-ACB-Z-OBP,

,.'Z.CAO=Z.BOP,

••4CB〜AOBP,

ACAB

.•.而二而，设08=x,

2_2x

.-5=7o,

解得x=J布，负值舍去，

•••0。的半径08=Ji°.

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键.

15.如图，Rt4/BC中，4=90。,点Z）为力C上一点，以C'。为直径的0°交力8于点£,连接以，

CE平分乙4cB.

（I）求证：力E是°。的切线；

（2）若CE=2下,BE=2,求。。的半径.

【答案】（1）见解析；（2）的半径为5

【分析】

（1）连接°七，由同圆半径相等却可间接证明N°£C=N/CE,根据题意可知,BCE=乙4",即证明

40EC=4BCE,从而得出0£〃8C,再由平行线的性质可知N.4EO=N8=90。，即证明/E是0。的切

线.

初中

CD_CE

(2)连接OE,由圆周角定理可知NDEC=90°,即易证得出CE.BC.在RNBCE中,

利用勾股定理即可求出8c长，最后即可求出CO的长，即。0直径，从而得出。。半径.

【详解】

(1)如图，连接°E,

,：OE=OC,

•：・.NOEC=NACE・

•••CE平分乙4C8,

:/BCE=NACE,

：.ZOEC=2BCE,

：.OEHBC,

./EO=N8=90。，

：.OE1AEt

是。。的切线.

(2)解：如图，连接则ND£C=90°,

:.NDEC=4B

...NDCE=Z.ECB,

:.ADCE〜^ECB,

CDCE

,.CE=~BC.

在RNBCE中,BC=hE"T由一2一,

°一(团_(2⑸_5

BC4

初中

5

•••0°的半径为5.

【点睛】

本题考查切线的判定，圆的基本性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，相似三角

形的判定和性质以及勾股定理.连接常用的辅助线是解答本题的关键.

16.如图，点D是418c中48边上一点，以力。为直径的。。与8c相切于点c,连接CO.

(1)求证：/BCD=/A；

(2)若的半径为3,AC=2CDt求BC的长.

【答案】(1)见解析：(2)4

【分析】

(1)连接0C,由切线的性质得到OCLBC,然后由直径AD可得/48=90。，再由等角的余角相等即可

推出

BC\

⑵首先判定MCQs△加C,推出总■一5,再设则4C=2x,建立方程求解.

【详解】

(1)证明：如图，连接℃.

•.•BC与。。相切于点C,

...0C_18c.

.../4CQ+NOCO=9()。

•・"。为。。的直径，

vZJCD=90°

•.4•4+NO。。=90。，

•：OC=OD,

•：NOCD=ZODC.

：/BCD=NA.

(2)•."BCD=/A,NB=NB,

初中

:.XBCDS'BAC

BDBCCDCD1

--==--=tanZ.A=-----=-

...BCBAACAC2,

设8。=工，则4c=2x,

BC2x1

/B6+x2,解得x=2,

：.BC=4.

【点睛】

错因分析：第（1）问，未掌握利用直角找到互余角来转化所要证角相等：第（2）问，不能正确通过证

明得到MCOSA8/C,从而得不出比例式.

本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义是解

题的关键.

17.如图，力“是。。的直径，力。与。°交于点4,点£是半径。力上一点（点£不与点O,A重合）.连

接。七交。。于点C,连接。，CB.若CA=CD,/ABC=/D.

（1）求证：力。是0°的切线.

⑵若48=13,以=。=5,则力。的长是.

120

【答案】（1）见解析；（2）13

【分析】

（1）根据圆周角定理得到N/C8=90。，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得

NC4）+N84C=90。，进而得出结论：

（2）根据等腰三角形的判定可得"=。=8=5,再根据勾股定理和相似三角形求出答案E[J可.

【详解】

解：（1）Q"是的直径，

.•ZC8=90。，

/3/1C+N/48c=90°.

又，；CA=CD,

:"D=ACAD,

初中

又：NABC=ND,

/CW+/54c=90。，

即OA1ADt

・；4O是OO的切线；

（2）由（1）rij^/-ABC+ABAC=90°=ZD+ZDEA,

•;4ABC=ND,

"AC=/DEA,

CE—CA—CD—5,

:.DE=\0f

在RtAABC中，由勾股定理得，

BC=>JAB2-AC2=V132-52=12

'：/ACB=ADAE=^°tZABC='/D,

\ABCS~EDA,

ABBC

..~ED~~4D,

13_12

即历一而，

,八120

AD=----

解得13.

【点睛】

本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的

判定和性质是解决问题的前提.

18.如图，点C在以力人为直径的上，点。是5c的中点，连接。。并延长交于点E,作

4EBP=/EBC,4尸交OE的延长线于点p.

（I）求证：依是0°的切线；

（2）若4c=2,PD=6f求0°的半径.

【答案】（1）见解析；（2）近.

【分析】

（1）由A8为直径，可得〃C8=90。，乂D为BC中点,。为48中点，可得。D||AC,从而NOOB=90。.由

OB=OE得乙OEB=^OBE,又乙OEB=^P+乙EBP,乙OBEMOBD+乙EBC,^P+Z.EBP=£OBD+Z.EBC,又

乙EBPMEBC,得4P=4。8。.又匕8OD+/OBO=90",从而可得N8OD+4P=90°,即408P=90°.则可证P8为

初中

。0切线;

BPDP

(2)由(1)可得OD=1,从而P0=7,可证明aBOP〜△08P,从而得比例。尸一尸，解得肥=保，最

后由勾股定理可求半径08.

【详解】

(1)证明：•〃8为直径，

."C8=90°,

又。为8c中点，。为48中点，

2

故。。=EAC,ODWAC,

••./OD8=〃C8=90°.

•••08=0E,

:•乙OEB:乙OBE,

乂：乙OEB=LP+乙EBP,408E=L0BD+乙EBC,

•••4P+乙EBP=COBD+乙EBC,

又乙EBP=LEBC,

：.£P=LOBD.

••280D+4。8。=90°,

.•"80。+"=90°,

.-.ZOBP=90°.

又。8为半径，

故P8是G)0的切线.

(2)解：以。=2,

上

由⑴得。。=己心1,

又PD=6,

：.PO=PD+OD=6+1=7.

vzP=zP,Z.BDP=Z.OBP=90°,

:ABDP〜AOBP.

BP_DP

:.OP=~BP,

即BP2=OP・DP=7x6=42,

...BP;旅.

.08=《OP2-BP。=J49-42=不

故。0的半径为近.

【点睛】

初中

本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，切线的判定与

性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用所学知识是解题

的关键.

19.如图，CD为。。的直径，弦481CD,垂足为P是CD延长线上一点，DEUP,垂足为

(2)已知PA=2,PD=lf求。。的半径和D£的长.

33

【答案】(1)见解析；(2)的半轻和。£的长分别为：2,5

【分析】

(1)连接A0并延长交OO于点连接MD,首先通过垂径定理和圆周角定理的推论及等量代换得出

LM=LEAD,然后再通过直径所对的圆周角为90。及等量代换得出N/VME=90。，从而结论可证：

(2)首先在RtZXAOP中，根据勾股定理求出A0的长度，然后证明三Z^E。，从而证明Rt4

PEARtAPHA,然后利用相似三角形的性质即可得出DE的长度，设圆的半径为r,在RtzXOAH中利用勾

股定理即可求解半径.

【详解】

解：(1)证明：连接4。并延长交。。于点M,连接M。，如图，

：.AD=BD,

:•乙M=LBAD,

•:乙EAD=CHAD.

:.乙M=LEAD,

'-AM为直径，

.•.〃WM=90°,

：.ZLM+AMAD=9Q°,

初中

-.£EAD+^MAD=90°,即4/VME=90°,

：.AMLAE,

ME为O。的切线;

（2）在RS40P中，根据勾股定理，得

AG2+AP2=OP2,

即2+4=（4。+1）2,

=3

解得4。一5,

•；乙EAD=LHAD,DH1AH,DELAE,AD=AD,

:AAHD三MED（.AAS）

:QE=DH,AH=AE,

设DE=x,AH=y,则D〃=x,AE=y,

•；4EPD=LHPA,4P£O=NPHA=90°,

.­.RtAPFD-RtAPH;4,

DEPE_PD

：.7H~~PH~~PA,

即yi+x2,

3=6

，解得x5,y5,

3

即DE的长为G,

6

因为A”5,

33

答：OO的半轻和。E的长分别为：2,5.

【点睛】

本题主要考查圆的综合问题，掌握圆的有关性质，全等三角形及相似三角形的判定及性质是解题的关

键,

20.如图，点I是aABC的内心，AI的延长线和4ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点E.

（1）求证：DI=DB;

（2）若AE=6cm,ED=4cm,求线段DI的长.

初中

【答案】(1)见解析；⑵29cm.

【分析】

(1)要证明ID=BD,只要求得NBID=NIBD即可:

(2)根据相似三角形的判定得出4BDE〜aABD,进而利用相似三角形的性质解答即可.

【详解】

.-.ZBAI=ZCALZABI=ZCBI.

又；NDBI=，CBI+NDBC,ZDIB=Z.ABI+ZBAI,

ZCBC=Z.DAC=ZBAI,

•\/DBI=Z.DIB,

.*.DI=DB.

(2)vzDBC=ZDAC=ZBAI,ZADB=ZBDA,

/.△BDE-AABD,

BDDE

...而一访，

即BD2=DE・AD=DE・(AE+DE)=4X(6+4)=40,

DI=BD=^0=2^(cm).

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角

定理是解此题的关键，有一定的难度.

21.如图，在△力"。中，AB=ACt以48为直径作O0交AC于点。，过点。作0°的切线Z)E交4c于

点E,交力8延长线子点尸.

初中

(I)求证：QE"L/C：

BF=2

(2)若在=I0,3,求力E的长.

【答案】(1)见解析；(2)/月=8

【分析】

(1)连接OD、AD,由AB=AC且NADB=90。知D是BC的中点，由。是AB中点知OD||AC,结合OD_LDE

可得结论；

OFOD

(2)通过证明ZSODF〜ZSAEF,可得4产AE,可求A匚的长.

【详解】

解：(1)连接。。、力。，

•.•OK切。。于点。，

:.0D人D