2026年高考数学抢分专练：排列组合（10大热点题型）（学生版+解析）

专题20排列组合

ONE，

题型考情分析考向预测

1.排列数与组合数2024年新高考卷2：14题考查了1.有限制条件的排列

是高频热点

全排列问题

近5年多次考查

2024年全国甲卷：4题考查了有限

“有限制条件的排列

2.人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空

制条件的排列问题问题”，题目常通过

3.人坐座位模型2：染色（平面、空间）2023年新高考卷I：13题考察查“相邻/不相邻”

“特殊元素优先”

4.分配问题：球不同，盒不同加法计数原理和组合计数

“位置限制”等经典

5.分配问题：球同，盒不同2023年新高考卷I：3题考察查组

模型设置，侧重逻辑

6.书架插书模型合计数推理和分类讨论思想

7.代替元法：最短路径2023年全国甲卷：9题考查了排列的应用。

2,.组合问题则多与实

8.代替元法：空车位停车等数的计算

际场景结合（如分配

9.数列思想：上楼梯等2023年全国乙卷：7排列组合综合

问题、选组问题），

10.环排问题：直排策略问题强调对“无序性”

2022年新高考卷I：5题考察查实本质的理解。

际问题中排列组合计数

TWOI幽颜2押

A题型1排列组合数

01抢分攻略

排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数

定从〃个不同元素中取出m,从n个不同元素中取出/〃（〃日n,创〃£N"）

义个元素的所有不同排列的个数个元素的所有不同组合的个数

A：=/?(/?—1)(/?—2)•••(〃-〃/+1)=c〃,=里

公

n\

式(加一1)(〃一9)?〃一/〃+

(n-ni)l

性

A：=n!,0!=1C：=l，c：=c；"，禺-1

质

正确理解组合数的性质

（1）玛=:从〃个不同元素中取出小个元素的方法数等于取出剩余〃一0个元索的方法数.

（2）C：+C：7=C：z从〃+1个不同元素中取出/〃个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素力有C：

种方法；②含特殊元素A有C丁种方法.

0硼题预测

［例1］组合数C：5>/•.」,〃、rwZ）恒等于（）

A.二墨二：B.（/?+D（r+DC；：；C.nrC^D.-C；Z；

〃+1r

【变式IT】（2025•辽宁沈阳•模拟预测）（多选）若，〃，，为正整数且〃>〃>1,则（）

A.C+C：++C：=2"B.—C丁

C.〃心；=(〃-1),二：D.A：十，〃A；i=AN

►题型2人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空

01抢分攻略

八个不同元素排列成二排,其中某1个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法?

先将这&个元素“捆绑在一起“，看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有A：制种排法;再将

“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有4种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有

MY；龙:种

将〃个不同元素排成一排,其中k个元素互不相邻（ZW〃—&+1）,有多少种排法？

先把5一6个元素排成一排，共有力;；种排法，然后把上个元素插入（〃一"+D个空隙中，共有A，3：+i种排

法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种

02押题预测

【例2】（2025•浙江台州•一模）甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两

人不相邻，则不同的排法种数共有.（用数字作答）

【变式2-1］（25-26高三上•江西景德镇-期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演

出于2025年12月31口在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要

求：节日《新年!你好》、《觉醒年代》、《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共

有（）

A.144种B.156种C.188种D.240种

【变式2-2］（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（）

A.男、女各站在一起，共有24种排法

B.男生不能排在一起，共有54种排法

C.男生必须排在一起，共有48种排法

D.男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法

I►题型3人坐座位模型2:染色（平面、空间）

01抢分攻略

染色问题，要从“颜色用了几和”，“地图看没有公用区域”方向考虑:

1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤

2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否口J以“拓扑”转化

匕如，以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构

阳阴题预测

【例3】一个长方形，被分为A、4、C、。、七五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜

色可用，要求相邻两区域涂色不相同，则不同的涂色方法有种.

B

A

D\/E

【变式3T】对如下编号为1,2,3,4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格

子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（）

4

23

1

2

D.4

【变式3-2]现要对三棱柱A8C-AMG的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两

个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）

A.264种B.216种C.192种D.144种

A题型4分配问题：球不同，盒不同

01抢分攻略

基本规律

球不同，盒子不同（主要的）

方法技巧：无限制，指数寤形式，盒子球，有限制“先分组再排列”分类讨论

球不同、盒不同核心川分步乘法计数原理，逐个球安排。无限制时，n个不同球放入m个不同盒，共，〃〃种

放法。有限制则分步处理：每球独立选盒，注意“每盒至少1球”先分组再分配，均匀分组需除序消重；特

殊盒优先放指定球，再排剩余球。关键抓住“球有序、盒有序”，分步不重复、不遗漏即可。

【例4】将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数

有（）

A.30种B.90种C.180种D.270种

【变式4-1]（2026-四川泸州•模拟预测）现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间

没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（）

A.15B.90C.24D.36

【变式4-2］（2026•福建二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、

电芯组、基建组三个攻关小组.现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少

安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能

被安排到资源组，则不同的安排方案种数是_________.（用数字作答）

A题型5分配问题：球同，盒不同

01抢分攻略

基础模型：〃个相同元素分给女个不同对象，每个对象至少1个元素，方法数为《二；.

变形模型：若允许对象为空，先给每个对象补1个元素转化为“至少1个”的基础模型，方法数为

技巧要点：确保元素相同、对象不同，转化为隔板模型时需验证边界条件（如“至少1个”或“允许为空”）.

02押题预测

【例5】（25-26高二上•辽宁•期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的4个小

盒，恰好有1个空盒的不同放法有种.

【变式5-1］15个相同的小球放入编号为1,2,3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的

放法有种.

【变式5-2］方程X+y+z+w=16共有组正整数解，共有组非负整数解.

A题型6书架插书模型

01抢分攻略

书架插书法：（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要二本二本插:

也可以把有顺序得“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）

“书架插书”模型

书架插书法：

（1）、书架上原有书的顺序不变；

（2）、新书要一本一本插；

（3）、也可以把有顺序的“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）

【例6】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同

的插法种数为（）.

A.60B.120C.336D.504

【答案】C

【变式6-1］（2024-云南•二模）某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节

目（3个歌唱节目和2个舞蹈节目）.根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保

持不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同

的插入方法一共有（）

A.18种B.20种C.3（）种【）.34种

【变式6-2］从儿B,C,/）,a,b,c,d中任选5个字母排成一徘，要求按字母先后顺序排列（即按

&a）,3S）,C（c）,OS）先后顺序，但大小写可以交换位置，如4/氏或必比都可以），这样的情况有

一种.（用数字作答）

A”题型7代替元法：最短路径

01抢分攻略

代替无法核心是等价转化，将复杂元素替换为简单模型，把陌生问题化为常规排列组合。遇到相同元索、重

复限制时，用“虚拟元”替代重复部分，消序去重；多类元素混杂时，统一转化为选位模型，简化分类讨论。

最短路径问题本质是组合选位，横向、纵向步数固定，只需确定行走顺序。总步数中选取横向（或纵向）的

步数位置，用组合数Cf直接L算，无需穷举。解题关键是先算总步数与两类步数差，再用组合公式求解,

避免重复或遗漏。

02押题预测

［例7］2025年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E

处，小华在如图的街道尸处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（）

1___IL_□3JL21

1___|[_ZUU

•\E__•1反_JUU

A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

C.若图中〃处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条

I）.若小明要去图中〃处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条

【变式7-1］（多选）如图，正方形网格棋盘，其中A,4,A,A位于棋盘上一条对角线的4个交汇

处.在棋盘MN处的甲、乙两个质点分别要到A；V处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短

路径，以相同的速度同时出发，直到到达此材处为止，则下列说法正确的有（）

A.甲从.“到达"处的走法种数为20

B.甲从〃必须经过4到达「V处的走法种数为9

C.甲、乙能在4处相遇的走法种数为36

D.甲、乙能相遇的走法种数为164

【变式7-2】(山东省泰安市2024-2025学年高三下学期二轮检测)在平面直角坐标系中，定义

力3t，%)13/2)两点之间的折线距离为8)=|^-%2|+1%-yzl如图，某地有一矩形古文化街

区，其内部道路间距均为1,则下列选项正确的是()

A.d(4B)=5

B.若C为平面内任意一点，则d(A,8)Wd(内C)+d(B,C)

C.当地政府拟沿满足d(P,用+d(P,B)=9的点P的物迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边

形

D.外卖员从4点送餐到8点，在保证路程与d(4,8)相等的前提下，左转次数X的期望为1.2

A题型8代替元法：空车位停车等

01抢分攻略

空座位型，

1.单独空座位，可以看成相同元素无排列，字母化法处理

2.如果2个或者3个或者更多空座位相连型，与单独空座位则属于不同元素

3.空座位，属于相同元素，则符合“直选不排”原理

【例8】一条长椅上有6个座位，3个人坐.要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为

()

A.36B.48C.72D.96

【变式8-1】某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到

来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，旦每人只能坐一个位置，则恰好有2

个连续空座位的候车方式的种数是

A.48B.54C.72D.84

【变式8-2】马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯

关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种

A题型9数列思想：上楼梯等

01抢分攻略

“上台阶”模型，也可以如一“走路口”模型一样，转化为“数字讪法”，一步；级台阶，可以记为数字n,

一步一阶设为数字1,一步两阶设为数字2,一步n阶，记为数字n,则把吗、

阶台阶，变为数字“和”形式。

然后总台阶可以借助“不定方程”计算。

【例9】有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王

同学7步登完楼梯的概率为__________.

【变式9-1】斐波那契数列，乂称黄金分割数列.因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故

又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…在数学上，斐波那契数

列以如下被递推的方法定义：=/（2）=1,"〃）=〃，I）+/（，L2）（〃22,〃eN）这种递推方法适

合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台

阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.

A.377R.610C.987D.1597

【变式9-2】某人要经过一段有：4级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的

走法有种.

A题型10环排问题：直排策略

01抢分攻略

在圆排列数中：

（1）n个元素围成一圈其圆排列数为（/?-1）!

A,n

（2）在〃个元素中，每次取出的个不同的元素进行圆排列，圆排列数为

m

（3）当从〃个相异的元素中，每次取出〃z颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时

Am

完全相同，故圆环数为2〃？.对于较复杂的问题，可适当采住分步排人、捆绑及利用种数公式处理

【例10】现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（）

A.A〉A；B.A：-A/A；C.A〉A；D.A；-A；-A；

【变式10-1】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有一

种（填数字）.

【变式10-2】/I,B,C,D,E,尸六人围坐在一张圆桌周围开会，4是会议的中心发言人，必须坐最北面

的椅子，B,C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有

（）

A.60种B.48种C.30种D.24种

THREE\幽颜3通关特训

1.（2026•黑龙江一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视

台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同

的分配方法种数为（）

A.81B.72C.36D.12

2.（2026•四川泸州一模）要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村

里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.12B.14C.16D.20

3.（2026•安徽淮南一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁

等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务.现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲

乙同组且丙丁同组的概率为（）

2523_22-27

A.----B.-----C.-----D.-----

301497301497

4.（2026•四川成都一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相

邻，那么加工顺序共有（）

A.96种B.72种C.48种D.36种

5.（2026•广东汕头一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数

轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（）

A.7或一5B.5或一3C.3或一3D.1或一1

6.（2026*安徽安庆一模）将1,1,2,2,3,3六张数字牌按顺序进行排列，具中相同的数字牌不相

邻的排法总数为（）

A.12B.30C.60D.90

二、填空题

7.（2025•福建厦门二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值

班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有种.

8.（2026•福建一模）为了应疝新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、

基建组三个攻关小组.现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一

人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排

到资源组，则不同的安排方窠种数是.（用数字作答）

9.（2026•山东淄博月考）西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支

教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有种.

10.（2025•浙江一模）对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没

有相邻红格的概率为.

11.（2025•福建漳州模拟）在平面直角坐标系xOy中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整

点（x,y）到整点（x+Ly+l）或（x+Ly-l）的有向线段叫做一个丁步，从整点人到整点8的一条7路是指由

若干个r步组成的起点为A、终点为4的有向折线.则整点M（L2）到整点N（7,4）的7步的条数为.

（结果用数字表示）

12.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位

置，则不同的站法种数是________.（用数字作答）

13.（2026•四川巴中一模）一个火车站有8股道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不

同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有种.

14.（2026•浙江杭州二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两

种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为

15.（2026•湖南湘潭二模）将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一个3x3的方格中，每个格子填

1个数字，且不重及，要求第一行数字满足为<q2<63,第三行数字满足与<。32<&3,第三列数字满

足％则符合要求的填数方法共有种.（用数字作答）

%《243

的%

。32。33

16.（2026•黑龙江哈尔滨一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），

其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1,2,3,4,5,6,7这七个数字分别填入这七个

圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有

种.

三、解答题

17.（2026•广东一模）甲社区有〃个女生和〃个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有〃个女生

…，胤和2〃一1个男生仇也，…也…其中女生g,（i=L2,认识男生々0=1221）,但不认

识其他男生.现从甲社区和乙社区分别选出〃2,，力队选手参加社区比赛，每队选手均为2人.

⑴若〃=3,〃?=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；

（2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的〃?队的不同的选

法种数为4（，〃）和纥（小）.

（0）求4（"。，并证明:当24〃区”一1时，4（〃。=4_|（〃?）+（2〃-〃。41（6-1）递推公式，并说明理

由；

（田）若乙社区将选出的“个男生和，"个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率.

专题20排列组合

ONEI

题型考情分析考向预测

1.排列数与组合数2024年新高考卷2：14题考杳了1.有限制条件的排列

是高频热点

全排列问题

近5年多次考查

2024年全国甲卷：4题考查了有限

“有限制条件的排列

2.人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空

制条件的排列问题问题”，题目常通过

3.人坐座位模型2：染色（平面、空间）2023年新高考卷【：13题考察查“相邻/不相邻”

“特殊元素优先”

4.分配问题：球不同，盒不同加法计数原理和组合计数

“位置限制”等经典

5,分配问题：球同，盒不同2023年新高考卷I：3题考察查组

模型设置，侧重逻辑

6.书架插书模型合计数推理和分类讨论思想

7.代替元法：最短路径2023年全国甲卷：9题考查了排列的应用。

2,.组合问题则多与实

8.代替元法：空车位停车等数的计算

际场景结合（如分配

9.数列思想：上楼梯等2023年全国乙卷：7排列组合综合

问题、选组问题），

10.环排问题：直排策略问题强调对“尢序性”

2022年新高考卷I：5题考察查实本质的理解。

际问题中排列组合计数

TWOt腋颜2押

►题型1排列组合数

01抢分攻略

拌列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数

定从〃个不同元素中取出m3位〃，m,nGN*）从八个不同元素中取出/〃（后〃，m,M）

义个元素的所有不同排列的个数个元素的所有不同组合的个数

A；=7?(7?—1)(/?—2)•••(7?-7774-1)=

公"A"'

n\

式_l)(n-1J)?n-tn+

5m)l

性

A；=〃！，0!=1

%_1，%=%，%十cn=cn+l

质

正确理解组合数的性质

（1）c：=:从〃个不同元素中取出加个元素的方法数等于取出剩余〃一m个元素的方法数.

（2）C；：十从〃十1个不同元素中取出勿个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素1有。：

种方法；②含特殊元素A有c;-'种方法.

建押题预测

【例1】组合数>/■.」,〃、rwZ）恒等于（）

A.B.（Z7+1）（/-+DC；：；C.”CtD.-c；：；

【答案】D

.、士试八加_〃_〃C-I

,rr_-

［详解］由G——r（77--一（RTT；~~G»-i.

【变式IT】（2025•辽宁沈阳•模拟预测）（多选）若川，〃为正整数且〃>〃A1,则（）

A.C+C；++C：=2"B.C：=c;;：—cT

C.〃d）C：：D.A：+mAr'=A；+1

【答案】BD

【详解】对A：2"=（1+1）”=0《++C：,又C：=l,故A错误；

（〃）！

（，〃+1）!（〃-，〃）！（Z7?+!）!（/?-/??-1）!

(〃+1-八+〃2)(〃)!

[/2+1)〃？!(〃一〃？)!(w+(〃？+1)〃？!(〃一，〃)!!(/?—w)!"

故B正确;

（77-1）!〃7（〃-1）!/?/（//-1）!

对C：C：；'

（;H-1）!（;?-W7）!〃7（/〃一1）!（〃一，〃）！/«!（/?-/n）!

‘«二“，扁，〃（〃扁）！’即仁工（〃一心，故C错误,

A，"A"=加++〃，）〃!（〃+］）！

对I）：==

（〃一〃?）！（〃一〃】+1）!（/?-〃?+1）!（〃一/〃+1）!

A；\二J=八,即A；+〃困一=人3，故［）正确・

故选：BD.

►题型2人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空

01抢分攻略

八个不同元素排列成二排，其中某，个元素排在相邻位置E有多少种丽排法?

先将这k个元素“捆绑在一起“，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排歹U,共有A：幻种排法;再将

“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有4种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有

心娼::种

将〃个不同元素排成排,其中k个元素互不相邻（4W〃一&+1）,有多少种排法？

先把5一幻个元素排成一排，共有A；1：种排法,然后把々个元素插入（〃-A+D个空隙中，共有种排

法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种

【例2】（2025•浙江台州•一模）甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两

人不相邻，则不同的排法种数共有.（用数字作答）

【答案】192

【分析1先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果.

【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有A,=2种排列方式，

此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为2XA1=240种.

若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起.

将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列，

故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有2xA*=48种，

所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有240-48=192.

故答案为：192.

【变式2-1］（25-26高三上•江西景德镇-期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演

出尸2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要

求：节目《新年!你好》、《觉醒年代》、《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共

有（）

A.144种B.156种C.188种D.240种

【答案】A

［分析］利用捆绑法结合排列数的性质求解即可.

【详解】先将节目《新年!你好》、《帝醒年代》、《精武门》掴绑在一起，

有鸟=6种排法，再把这个整体司另外三个节目全排列，有熊=24种排法，

则共有人弘*=6乂24=144种排法，故A正确.

故选：A

【变式2-2］（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（）

A.男、女各站在一起，共有24种排法

B.男生不能排在一起，共有54种排法

C.男生必须排在一起，共有48种排法

D.男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法

【答案】ACI）

【详解】在A选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体，

则总排法=A；=2x6x2=24,A正确，

在B选项中，男生不相邻，用插空法：

先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中：

则总排法=6x12=72/54,B错误，

在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法：

把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列，

再算男生.内部排列；则总排法==24x2=48,C正确，

在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻,

仅能排列为女-男-女-男-女结构，

则总排法=A；x8=6x2=12,D正确.

A题型3人坐座位模型2：染色（平面、空间）

01抢分攻略

染色问题，要从“颜色用了几种'＞，"地图有没有公用应域”方向考虑:~~

1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤

2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化

匕如，以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构

四解题预测

【例3】一个长方形，被分为A、8、C、。、E五个区域”现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜

色可用，要求相邻两区域涂色不用同，则不同的涂色方法有种.

【解析】根据题意，对于/记。三个区域，两两相邻，有£=24种涂色方法，

对于区域C,只与A相邻，有3种涂色方法，

对于区域石，与A、C相邻，有2种涂色方法，

则有24x3x2=144种涂色方法.

故答案为：144.

【变式3-1】对如下编号为1,2,3,4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格

子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（）

【答案】A

【分析】根据分步计数原理可计算出1号格子涂灰色的方案总数，再计算1号格子和4号格子同时涂灰

色的方案数，即可算出其概率.

【详解】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可；

若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2

种选色方案，

即1号格子涂灰色的方案总数为3x3x2=18种;

若1号格子和4号格子同时涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选色方案，

即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为3x2=6种；

所以，在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是P=2="

1o3

故选：A.

【变式3-2］现要对三棱柱ABC-ABC的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两

个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）

A.264种B.216种C.192种【）.144种

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计

算即得.

【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，

用4种颜色，先涂点A氏。有A：种方法，再在A，4G中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法，

因此不同涂色方法数为3cA：=216；

用3种颜色，先涂点ARC有A：种方法，再涂有2种方法，

因此不同涂色方法数为2A：=48,

所以不同的涂色方案有216+48=264（种）.

故选：A

A题型4分配问题：球不同，盒不同

01抢分攻略

基本规律

球不同，盒子不同（主要的）

方法技巧：无限制，指数鼎形式，盒子球，有限制”先分组再排列”分类讨论

球不同、盒不同核心用分步乘法计数原理，逐个球安排。无限制时，n个不同球放入m个不同盒，共加〃种

放法。有限制则分步处理：每球独立选盒，注意“每盒至少1球”先分组再分配，均匀分组需除序消重：特

殊盒优先放指定球，再排剩余球。关键抓住“球有序、盒有序”，分步不重复、不遗漏即可。

【例4】将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数

有（）

A.30种B.90种C.180种D.270种

【答案】B

【解析】对三个盒子进行编号1,2,3,则每个盒子装球的情况可分为三类：1,2,2；2,1,2；2,2,

1;且每一类的放法种数相同.

先考虑第一类，即3个盒子放球的个数为：1,2,2,则

第1个盒子有：C=5,

第2个盒子有：C;=6,

第3个盒子有：《=1,

二第一类放法种数为5x6x1=30,

•••不同的放法种数有N=3x3（）=9（）.

【变式4-1］（2026•四川泸州•模拟预测）现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间

没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（）

A.15B.90C.24D.36

【答案】C

【解析】把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法:

每个盒子放入一个白球，有1种方法；有2个白球放入一个盒子，剩下1个白球与1个有色球组合，有C；

种方法，

再将分成的3组放入3个盒子有A；种方法，

所以不同的放法种数为（1+C；）A；=4X6=24.

【变式4-2］（2026•福建二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、

电芯组、基建组三个攻关小组.现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少

安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能

被安排到资源组，则不同的安排方案种数是_________.（用数字作答）

【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有

1:3:1与1:2:2,

当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组，存在1:3:1与1:2:2两种分配情况，

此时，M=C；C；C+C；C；=12；

当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组，存在1:3:1与1:2:2两种分配情

况，

此时，M=G（G+C；GC）=18；

N=N1+M=3（）.

A题型5分配问题：球同，盒不同

01抢分攻略

基础模型：〃个相同元素分给2个不同对象，每个时象至少1个元素，方法数为《二：.

变形模型：若允许对象为空，先给每个对象补1个元素转化为“至少1个”的基础模型，方法数为

技巧要点：确保元素相同、对象不同，转化为隔板模型时需验证边界条件（如“至少1个”或“允许为空”）.

【例5】（25-26高二上•辽宁•期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的4个小

盒，恰好有1个空盒的不同放法有