《分式》压轴题综合测试卷-七年级数学下册专项提升练（浙教版）

第5章分式压轴题综合测试卷

【浙教版2024]

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

I.（3分）（24-25七年级上•河南周口・期末）若关于%的方程七+必=泠詈不无解，则m的值为（）

x-lx-2（x-l）（x-2）

A.一m或-1B.-2或。

C.-|或-2或0D.-,或-2或-1

【答案】D

【分析】本题考查/分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键.此分式方程

无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根

分别代入，可求得〃，的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值.

【详解】去分母，得x—2+m（x-l）=2m+2,

整理得（1+m）x=3m+4,

当x=l时，1+m=3m+4,

解得

J

当《=2时，2（l+m）=3m+4,

解得m=-2；

当m=-l时，3m+4工0,方程无解；

综上所述，满足题意的m的值为-,或-2或-1,

故选D.

2.（3分）（24-25七年级上•重庆・期中）若x是整数，则使分式警的值为整数的％值有（）个.

2x-l

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先将假分式翳分离可得出4+急,根据题意只需2、-1是6的整数约数即可.

8x+2_4(2x-l)+66

【详解】解:=4+

2x-l—2x-l2x-l

由题意可知，2%-1是6的整数约数，

:.2x-1=1,2,3/6,—1,—2,—3,—6

解得:x=2,^,0,——1,—

其中X的值为整数有：％=0,1,-1,2共4个.

故选：C.

【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到4+

二，从而使问题简单.

2x-l

3.（3分）甲杯中盛有m亳升红墨水，乙杯中盛有m亳升蓝墨水，从甲杯中倒出a亳升到乙杯里（OVa

<m）,搅匀后，又从乙杯倒出a亳升到甲杯里，则这时（）

A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少

B.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多

C.甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同

D.甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定

【答案】C

【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可.

【详解】甲杯倒出a亳升红墨水到乙杯中以后：

乙杯中红墨水的比例为‘一,蓝墨水的比例为二、，

m+am+Q

再从乙杯倒出a亳升混合墨水到甲杯中以后：

乙杯中含有的红墨水的数量是a-a•，-=3巴亳升①

m+am+a

乙杯中减少的蓝墨水的数量是■亳升，②

m+am+a

v0=@

•••改选（3.

【点睛】考查了用浓度和溶液表示溶质的等最关系；用到的知识点为：纯墨水的质量=总质量x相应的浓度.

4.（3分）（24-25七年级上•浙江台州•期末）已知实数工，），，z满足」-+--+」-=；,且二-+与+上=

,x+yy+zz+x6x+yy+zz+x

11.则x+y+z的值为（）

79

A.12B.14C.-D.9

7

【答案】A

【分析】把合+：+==11两边加上3,变形可得上誉+叶¥+¥=14,两边除以(x+y+z)得到

x+yy+zz+xx+yy+zz+x/

——+——4---=则,I：=从而得到x+y+z的值.

x+yy+zz+xx+y+zx+y+z6/

14--+1+—+1+-^=14,

x+yy+zz+x

即比上+上匕+且*=1%

x+yy+zz+x

—+—+—=^—

%+yy+zz+xx+y+z

-7-r1.1.17

in]—+—+—=-

x+yy+zz+x6

147

=―

x+y+z6

•,•%+y+z=12.

故选：A.

【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.经

过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出无+

y+Z.

5.（3分）（24-25七年级上•浙江宁波・期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前

往B地，甲，乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚0.5h出发，并旦在中途停留lh后，按原来速度的一半

继续前进.此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（km）与甲出发的时间J（h）之间的关系如图.下列说

法：①48两地相距24km；②甲比乙晚到8地lh；③乙从A地刚出发时的速度为72km/h：④乙出发到与

甲第三次相遇.其中正确的有（）

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考杳一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、

路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法••分析，即可解题.

【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离4地的路程s(km)最大为24km,

・••①正确，

由图知乙到B地时£=2h,甲到8地时£=3h,3-2=1(h),

.•.②正确，

•••乙比甲晚0.5h出发，并且在中途停留lh后，按原来速度的一半继续前进.

设乙从人地刚出发时的速度为2xkm/h,则停留后的速度为xkm/h,

由图知乙在中途停留前已走12km,则停留后行驶路程为24-12=12(km)，总的行驶时间为2—0.5-1=

0.5(h),

有工+上=0.5,解得％=36,

2XX

.•.乙从A地刚出发时的速度为2x36=72(km/h),

③正确，

根据图象可知，甲的速度为24+3=8(km/h)

乙在途中停留lh后，二者第三次相遇，乙中途停留前运动时间为12+72=6(h)

•.•乙的第二个拐点时间为If+0.5+1=|(h),

由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，

设乙继续前进，小时后二者相遇，根据题意得：

8x(0.5+%+l+t)=12+36t

解得£=

故第三次相遇为乙出发后*+1+盘=系2

二④正确.

综上所述，正确的有①②③④，共4个.

故选:D.

6.13分)(24-25七年级上•河北石家庄•期末)关于x的方程％+：=Q+:的两个解为％=。，次=，％+：=

a+(的两个解为％=a,x2=^x+^=a+?的两个解为%】=a,x2=：，则关于x的方程％+券=Q+言

的两个解为()

_2a+8

A・％]—Cl9%2—B.x=a,

a1x2―a^l

102+9

C•Xj—Cl9%2D.%=a,=—

a-1x2a-1

【答案】D

【分析】由于％+—-=a+•可化为（％—1）4---=（cz—1）+由题中可得规律：方程x+-=a+-（其

x-la-1''x-1''a-1xa

中为正整数）的解为占一a,孙一，根据这个规律即中得方程的角吊.

【详解】•••X+T=Q+T

x-la-1

・••上述方程有解％-1=a-1及x-1二三

a-1

即x=a及％=—

a-1

所以原方程的解为/=。，“2=W

a-1

故选：D

【点睛】本题主要考杳了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳

出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，

这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把无-1、Q-1看成一个整体，才能符合题中所

给方程的结构，否则无法完成.

7.（3分）（24・25七年级上•广东汕头・期末）对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Min{a,b}表示

a、b中的较小的值，如Min{2,4}=2,按照这个规定，方程Min{%：}=；1的解为（）

A.1B.2C.1或2D.1或一2

【答案】B

【分析】分类讨论工与稣勺大小，列出分式方程，解方程即可.

XX

【详解】解：当白>3时，x<0,方程变形为？=

XXXX

去分母得：2=3-x,

解得：x=l（不符合题意，舍去）；

当工<3,x>0,方程变形得：-=--1,

XXXX

去分母得；l=3-x,

解得：x=2,

经检验x=2是分式方程的解，

故选B.

【点睛】此题考查了解分式方程，分类讨论是解本题的关键.

8.(3分)(24-25七年级下•重庆沙坪坝•期末)对于两个实数口y,我们定义：fa,y)=^(xywO),

有下列说法：

①/(2,3)=-5

O

②"1,3)+f(2,4)+f(3,5)+/(4,6)+…+f(10,12)二篙；

③若af(瓦—c)=bf(a,-c)+cf(a,—b),则ab+ac=2bc.

其中说法正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可.

【详解】解：・・・fa,y)=^(xy亍0),

•♦./(2,3)=E=4，故①错误;

y-x11

------,

•・"O,y)-xy--xy

/./(l,3)+f(2,4)+f(3,5)4-/(4,6)+…+f(10,12)=1一(+)—：+g+：-)+…+卷一•

111

=1+----------------

21112

=~故②正确；

■:af(b,-c)=bf(a,-c)+cf(a,-b),

・"(玩)=”那)+。(，》

.ab+acbc+ab,bc+ac

..---b-e---=----a-c-----1----a--b--

222222

.ab+ac-fec-aft-dc-ac八

•■—0,即:222222

abcab+ac—bc—ab—be—ac=0,

无法得到ab+ac=2bc；故③错误;

综上：正确的有1个；

故选B.

【点睛】本题考查定义新运算，有理数的加减运算，分式的运算.理解并掌握定义新运算的规则，是解题的

关键.

9.（3分）（2024七年级.浙江宁波.竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍,

乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍,

则出+念+击的值是（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本题主要考查了分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，分别设出甲、乙、丙单独做完成

工程所需天数，利用工作时间=工作总量♦工作效率解答即可，熟练掌握分式方程在工程问题中的应用并能

灵活运用工作时间=工作总量:工作效率列出方程是解决此题的关键.

【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需工天、y天、z天,

根据题意得，%=a-A=—>

由此得出“=。+1=土*,上=7^；

yzyza+1xy+yz+xz

同理可得白9=二^：

b+1xy+yz+xzc+1xy+yz+xz

•1.1.1yz.xzxyxy+yz+xz.

••有+有+77T=xy+yz+xz+x/y+xy+yz+xz=秒+y“xz=1'

故选：A.

10.（3分）已知关于3的分式方程笔=T—^+3的解满足一4Vx<-1,且〃为整数，则符合条件的

X—2（X-2乂4+3）

所有々值的乘积为（）

A.正数B.负数C.零D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方.首先解分式方程可得A=36-（X-3）2,再根据分式方程

的解满足-4cx<-1,可得k的取值范围，再根据〃为整数，确定k的值的情况，再根据k的取值情况判断

乘积的正负性.

【详解】解：解关于％的分式方程“号二,七一+3,

去分母得：（2x+3）（x+3）=%+3（x—2）（x4-3）,

移顶得：（2x卜3）（%+3）-3（x-2）（x+3）=/c,

提公因式得：（%+3）［（2%+3）-3（%-2）］=k

去括号、合并同类项得：（%+3）（-％+9）=左，

整理得设=36--3）2,

•••-4<x<-1

-7<x—3<—4,

16<0—3）2<49,

•••-49<-（x-3）2<-16,

:.36-49<36-（x-3）2<36-16,

:.-13VkV20,

又（x—2）（%+3）H0,

:.x*2和一3,

k=3G-（x-3）2丰35和0,

••・k为整数且一13Vk<20,

・・・kH-13和20,

二-13</c<20中符合条件的k值共有12个负数和19个正数，

.•.符合条件的所有k值的乘积为正数.

故选：A.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2021•福建・中考真题）已知非零实数x,y满足则工出的值等于

【答案】4

【分析】由条件y=*变形得，片产刈，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值.

【详解】由y=W得：孙士尸弟即汇尸孙

•x-y±3xyxy±3xy.

•■--------=---------=----=4

xyxyxy

故答案为：4

【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件>=喜，变形为x-产盯，

然后整体代入.

12.（3分）（24-25七年级•浙江金华・期末）任意两个和不为零的数a、〃、c满足告=—=二,求（"b）（b：c）（a+c）

的值.

【答案】8或一1

【分析】根据公=急=焉,可以得到它们的比值或者”…的关系式,进而解答・

【详解】解：设言=急=急4

则a+b=ck,b+c=ak,a+c=bk,

,\a+b+b+c+a+c=k(a+b+c),

.*.2(a+h+c)=k(a+b+c),

当a+b+c。。时，k=2,

(a+o)(b+c)(a+c)_2cx2ax2匕_g

abcabc

当a+b+c=。时，

(a+i>)(b+c)(a+c)_(O-c)(O-a)(O-b)_

abcabc

故答案为：8或—1.

【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键.

13.(3分)已知三个数x,y,z满足至二一2,上匕="—=-p则的值为________.

x+yz+y4z+x4xy+yz+zx

【答案】-4

【分析】由给定的三个等式可得其倒数也--；，包-3—再将三个分式的分了拆分后相加可得

xy2zy3zx3

乙+工+工的值，因所求式子的倒数为三+2+L所以求得工+工+1的倒数即可解答；

xyzxyzxyz

【详解】解：♦・•牝=一2,2=。，三=—W,

x+yz+y4z+x4

•x+y1z+y4z+x4

••一―—c'-―c'—_一c'

xy2zy3zx3

+-=—，-+-=,~+-=—

xy2zy3zx3

①+②+③，得：-+—+-=—

xyz2

xyz4

xy+yz+zx

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，

可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难

为易，从而降低解题难度.

/I4-X

14.（3分）（24-25七年级・重庆渝北•期末）若关于％的不等式组2X-1<—有且仅有2个偶数解，且使

.4x+cz>-3

得关于y的分式方程言+1=言有整数解，则满足条件.所有整数Q的乘积为.

【答案】-9

【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况以及分式方程的解得情况求参数的值，解题的关键是正确的求

出不等式组的解集和分式方程的解.

根据不等式组有且仅有2个偶数解，求出的取值范围，再根据），的分式方程有整数解，求出满足条件的整数

的值，然后计算即可.

114-X

{4x+a>—3

•・•不等式组有且仅有2个偶数解,

・•・偶数解为：2,0,

—34Q<5,

2a-l

i-y

解得y=

•••方程的解为整数,

・•.？为整数，且平工1,

V-3<a<5,

的值为：-3或1或3,

，满足条件所有整数a的乘积为；-3x1x39.

故答案为：—9.

15.（3分）（2022九年级•福建•竞赛）若正数a,〃，c满足帅c=l,。+：=3,力+二=17,则c+^=.

bca

【答案】装

【分析】计算（a+JG+?（c+：）,然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出

a=c=刍代入计算即可.

【详解】解：解法一：因为（a+3（b+]（c+3

1111

=abc+a+c+丁+b+-4---F

bcaabc

=（a+9+G+3+（c+：）+（abc+焉）

所以3x17x（c+J=3+17+[c+：）+2,

解得c+人装.

a25

故答案为:*

abc=1

。+之=3,得卜匕="17—b.

（b+2”（ab=3b-1

因此17-b=3"1,b=^.

由此可得Q=g,c=

所以。+;=表+£=募

故答案为:.

【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解.

16.（3分）（24-25七年级•安徽合肥・期末）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速行

驶在平行的轨道.匕已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲

车在他窗口外经过的时间是秒.

【答案】7.5

【分析】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和：坐在

乙车.上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和.等量关系为：乙车长度《坐

在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间二甲车长度♦坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，列

方程求解即可.

【详解】解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是工秒

200150

由题意知,/一_X~

解得％=7.5

经检验，％=7.5是原方程的解

・•・乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒

故答案为：7.5.

【点睛】本题考查了分式方程的应用.解题的关键在于根据题意列正确的方程.

第n卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25七年级上•贵州铜仁•期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有

相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.

（1）判断方程6-4（1一幻=2%与整=一4是否为“相似方程”，并说明理由；

（2）已知关于.r,），的二元一次方程v=mx+6和y=x+4m是“相伴方程，求正整数m的值.

【答案】（1）是，理由见解析

（2）7H=2或m=3

【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程.熟练掌握相关

性质内容，是解题的关键.

（1）先分别算出方程6-4（1-％）=2%与宾=-4的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答.

（2）因为关于x,y的二元一次方程〉=mx+6和y=%+4m是“相伴方程”，所以加工+6=%+4m,整理得

x=生吐=4-,结合x,y,/〃均为整数，则血1=0,m=2,m=-1>m=3»因为加为正整数,

m-1?n-l,,/2°3”4

据此即可作答.

【详解】（1）解：方程6-4（1一；0=2%与方程笫=一4是“相似方程”，理由如下:

解方程6-4(1-%)=2%得

X=-1

解方程*=一4得

X=-1,

检验：*=-1是该分式方程得解.

・•・方程6-4(1-%)=2%与方程三=一4是“相似方程”

(2)解：・.3=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”.

mx+6=x+4m

4m—62

x=-----------=4-------------

m—1m—1

•••ky,机均为整数，

/.—1=±1,m—1=+2,

—0,rrL2—2,rn3——1>vi4—3,

又〃为正整数

Am=2或m=3

18.(6分)(24-25七年级上•山东青岛・期中)【提出问题】

已知m>7i>0,a>0,分式巴的分子、分母都加上Q后，所得分式上的值与巳相比是增大了还是减小了？

mm+am

【观察发现】

观察下列式子：;<去,;<学,;〈答1<*,...对于真分数;，当分子、分母同时加上同一个大于。的数

33+133+233+333+43

a时，所得分数的值变大，即；<手.

33+a

【探究验证】

(1)对于3〈宇，我们可以用"作差法''进行证明:

33+a

2_2+a_2(3+a)-3(2+a)—.a

33+a-3(3+a)-3(3+a)'

Va>0,

-a<0,3(3+a)>0.

一。/can22+a-八

A-——-<0,即------<0.

31.3+a)33+a

2,2+a

••-<;

33+a

(2)由(1)我们可猜想巴与华■的大小关系是：-_____—,请你用"作差法''证明你的结论；

mm+a7nm+a

【拓展思考】

(3)若n>zn>0,a>0时，(2)中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子；

【方法应用】

(4)已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为巧、外，水流速度为

VO(V1>v2>v0>两船同向航行1小时后立即返航,甲、乙两船返航所用时间分别为£1、%请比较£1，

£2的大小，判断哪条船先返回力港？并说明理由.

【答案】(2)<,见解析；(3)不成立，正确的应该是巴里：(4)当返回为顺水时，乙船先返回，当

mm+c

返回为逆水时，甲船先返回，见解析

【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题

是关键.

(2)根据作差法求解即可；

<3)根据作差法求解即可；

(4)分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出口-匕，即可求解.

【详解】解：(2)巴<",理由如下：

mm+a

n_n+a_n(m+a)-m(n+a)_nm+ra-mn-ma_na-ma_a(n-m)

mm+am(m+a)rr(m+a)m(m+a)m(m+a)'

,.*771>71>0,CZ>0»

/.n—m<0,zn+a>0,

.♦•也R〈o,即乙一比vo,

m(m+a)mm+a

•nn+a

••一<--.

mm+a

(3)不成立，正确的应该是上.

mm+a

理由如下：根据(2)可得口一山=当匚'，

mm+am(m+a)

*.*K>TH>0,fl>0,

n—TH>0,zn+a>0,

.••空3>o,即巴一上>0,

m(m+a)mm+a

.n、n+a

•m•>m"+"""a"""""""•

⑷当返回为顺水时'0=定’-亲

V1-vV2-Vo

tl-t=---------0---------------

2%+%〃2+Uo

二(女一%)(>2+%)-(上一%)(%+%)

(%+v0)(v2+%)

_%七十巧孙一%七一W一%以一%七+孙%+五

(V1+V0)(V2+Vo)

2vov1—2VQV2

~(%+%)(方+%)

_2Vo(%f2)

-(%+引(艺+%)，

*.*Vx>V2>vo>0,

_21；0(也一也)

t即t.

2>0,q>2

(Vi+v0)(v2+v0)

,一%+U。_玲+为

当返回为逆水时,L-i-,tLo-

VX-VQV2-V0

%+VOv2+VO

tl-*2=------------------------

巧—v0v2~v0

二(%十%)(方一%)-(女+%)(%—%)

(%-v0)(v2-VO)

VVVVV2VVVVUVV

VXV2~0l+O2~~0~~12+02-0l+0

(巧-

VO)(V2-VQ)

-2vov1+2VOV2

"(%-v0)(v2-VO)

2%(方一女)

一(%-

VO)(V2-v0)

■:%>方>%>0,

即0<t.

0T2=竟5蒜V°,2

所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回.

19.（8分）（24-25七年级上•北京•期中）已知：M=U,N"

（1）当x>0时，判断M-N与。的关系，并说明理由;

（2）设y=等一2/V.

①代入M,N,化简得y=；

②若y是正整数，则整数％的值为

【答案】（l）M-N>0,理由见解析

（2）①土；0或1或3

【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程.熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方

法步骤，分类讨论，是解题的关键.

（1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用”>0对分子分母分式的正负性质计算讨论即可；

（2）①把M、N代入y=管一2/7整理得到y二缶；②根据y>0,x,），都是整数，可知自可以取1,2,3,

4.,求出对应的x值为3,I,50,符合的有0,1,3.

【详解】（1）当3>0时，M—N>0.理由如下:

....X+1X

,M=——,N=——

2x+1

•»,X+1X(X+1)2-2XX2+l

・・M-N=-------------=——-------=—----

2x+12(x+l)2(x+l)

■>0,

:>0,2(%4-1)>0.

J/+1>0.

2_LL>o

2(*+1)•

:・M-N>0.

⑵①依题意，得：”堂一2乂2=誓-・=・

故答案为：

②,且y>0,x,y都是整数,

X干JL

•力可以取1，2,3,4.

当A时，»1=4,

解得乃二3,符合;

当’-二2时，x4-1=2,

X+1

解得％=1,符合；

当击=3时，、+1=£

解得％不合，舍去;

当’-=4时，x4-1=1,

X+1

解得％=0,符合.

综上所述：当），为正整数时，x的值是0或1或3.

故答案为：0或1或3

20.（8分）（2020.辽宁丹东•一模）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送.若两车合作，各运12趟

才能完成，需支付运费共48U。元；若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；已知

乙车每趟运费比甲车少200元.

（I）分别求出甲、乙两车每趟的运费；

（2）若单独租用甲车运完此批货物，需运多少趟；

（3）若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此批货物，其中x、y均为正整数，设

总运费为\、，（元），求w与x的函数关系式，直接写出w的最小值.

【答案】（1）甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；（2）单独租用甲车运完此批货物需运18趟；

（3）W=100x+3600（0<x<18）,w的最小值为3700

【分析】（1）设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元，根据：①甲车费用-乙车费用=200,②12x（甲

车费用+乙车费用）=4800,列方程组求解可得；

（2）设单独租用甲车运完此批货物需运a趟，则乙车运完此批货物需运2a趟，记这批货物的总量为I,根

据：12x（甲车每趟运送量+乙车每趟运送量）=1,列分式方程求解即可；

（3）先根据：甲车x趟的运送量+乙车y趟的运送量=1可得y关于x的函数关系，再根据：总运费=甲车

的总运费+乙车的总运费，列出W关于x的函数关系，由一次函数的性质可得W的最值情况.

【详解】解：（1）设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元，

m—n=200

根据题意得:

12(m+n)=4800

解得：｛m=300

n=100

答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元.

（2）设单独租用甲车运完此批货物需运a趟，则乙车运完此批货物需运2a趟.

根据题意得：12弓+点）=

解得:a—18.

经检验a=18是原方程的解,

答；单独租用甲车运完此批货物需运18趟.

(3)由题意得:^+£=1,

1836

.*.y=36-2x

则W=3OOx+IOOy

=300x+100(36-2x)

=100x+3600(0<x<18).

V100>U,

•••W随着x的增大而增大.

当x=1时，W有最小值，W的最小值为3700.

【点睛】本题考查的知识点有二元一次方程组的应用、分式方程的应用、一次函数的应用，掌握以上知识点

是解此题的关键.

21.(10分)(24-25七年级•安徽滁州•期中)已知，关于力的分式方程三-三=1.

2X+3X-5

(1)当。=2,匕=1时，求分式方程的解；

(2)当Q=1时，求b为何值时，分式方程七一空=1无解；

(3)若b=0,。为正整数，分式方程七-瞪=1的解为整数时，求a的值.

ZX+3X—5

【答案】(l)X=-1

(2地=1或匕=5

(3)3,55

【分析】(1)将a,b的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；

(2)把a的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值使分式方程无解即可；

(3)把b=0代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和。为正整数即

可确定Q的值.

【详解】(1)解：把a=2,匕=1代入分式方程段一合=1中，

得：六-十=1，

2x+3x-5

方程两边同时乘以(2x+3)(%-5),

得:2(x—5)—(1—x)(2x+3)=(2x+3)(%—5),

去括号得：2x2+3x-13=2x2-7x-15,

移项合并同类项得：10x=-2,

系数化为1得：x=-i,

O

检验：把％代入(2%+3)(%-5)H0,

所以原分式方程的解是

(2)解：把a=1代入分式方程七一生三=1,

2x+3x-5

得―

方程两边同时乘以(2x+3)(x-5),

得：(x—5)—(b-x)(2x+3)=[2x+3)(%—5),

去括号得：x—5+2x2+3x—2bx—3b=2x2—lx—15,

移项合并同类项得：(11-2b)x=3匕-10,

①当11-2b=0时，即b=£,方程无解，

②当11-2b工0时，x=2^112,

11-20

%=时，分式方程无解，即邦=一5,b不存在；

211-2D2

%=5时，分式方程无解，即篙=5,6=5,

11-2D

综上所述，6=?或8=5时，分式方程七一三二1无解;

22X+3X-5

(3)解：把6=0代入分式方程七一二=1中，

2x+3x-5

得：就+士=1，

方程两边同时乘以(2%+3)(%-5),

得：a(x-5)4-x(2x+3)=(2x+3)(x—5),

整理得:5”15

a+10

.•”=鬻=5-言，且Q为正整数，%为整数,

...a+10必为65的因数，a+10211,

V65=5x13,

・・・65的因数有1,5,13,65,

Vl,5小于11,

•••。+10可以取13,65这两个数，对应地，方程的解%为0,4,对应地，a的值为3,55,

.•・满足条件的a可取3,55这两个数.

【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两

种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式

方程的增根.

22.(10分)(24-25七年级•浙江杭州•期中)观察下列各式：(XH0)

(：i)G+i)=或T

&-。自+1+1)=2-1

⑴从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接与卜间的空格：(：-1)(或+3+/+2+点+或+

：+1)=-------；

(2)用数学的整体思想方法，设：=分解因式：(租7+Tn，+优5++7n3+瓶2+根+1),(rn1)；

(3)已知1+2+22+23+24+25+26+27=a&a、b、c、d都是正整数，且a>匕>c>d,化简

求(T):(T)x那值.

【答案】⑴/一1;

(2)(m+l)(m2+l)(77i4+1)；

(3)-塔，-2

【分析】(1)根据所给的三个等式归纳规律解答即可；

(2)利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；

(3)根据(2)中的规律，当m=2时，得出小儿c,d的值，再进行化简求值.

【详解】(1)解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：

6-1)(妥+/+/+3+妥+5+5+1)=妥-1；

故答案为：专一1:

(2)解：由⑴可知(—1)6+/+*+3+或+或+:+1)=±-1,

・W+^+卷+点+或+昼+打1=隐_1)+(：1)，

设］=m(mH1),

X

.*.77l7+抬+裙+/+7几3+7兀2+加+1=---8---1

771-1

=6一加+1)*+1)(环+1)=+2+4+

m-1m-1'八八，

Am7+m6+m5+m4+m34-m2+m+1=(m+l)(m2+l)(m4+1)；

(3)解：由(2)可知m’+m6ms+m4+m3+m2+m+1=(m+l)(?n2+l)(m4+1),

当KI=2时，则

27+26+25+24+23+224-2+1=(2+1)(224-1)(24+1)=3x5x17,

V14-2+22+23+24+25+264-27=a­b•c•d,

.*.G-b-c-d=3x5xlxl7,

la、b、c、d都是正整数，且〃>b>c>d；

d=17,b=5,c=3,d=\i

・.・(_2)2+(_也)、也

\cdJ\17c/a

b217c6d

"一百x茄。

—102b,

5acd

当。=17,b=5，c=3，d=\：

102X5

:.原式二=-2；

5x17x3x1

【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关

键.

23.（12分）（24-25七年级上.北京东城•期中）对于两个不相等的非零实数〃八〃，分式3空色的值为

X

零，则％=机或％=n,又因为=/-（m+n）x+mn=x+吧—所以关于X的方程％+侬=

XXxvX

m十几有两个解，分别为%i=m,%2=九•应用上面的结论解答下列问题：

（1）方程X+：=7有两个解，分别为%1=>%2=;

（2）关于x的方程”+器=巴蟹'的两个解分别为%,外，若立与外互为倒数且.〈不，则%=

%2=____________

⑶关于x的方程3x+E=2几的两个解分别为勺，不（与〈必），求产