空间几何体的结构、直观图、表面积与体积【10大重点题型】解析版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

空间几何体的结构、直观图、表面积与体积

【10大重点题型】

题型归纳

题型1空间几何体的结构特征■题型2组合体的结构特彳工

题型3空间几何体中最短路径问题题型4立体图形的直观图

题型5空间几何体的表面积重点题型归纳题型6空间几何体的体积

题型7球的截面问题'题型8空间几何体的外接球问题

题型9空间几何体的内切球问题•题型10空间几何体的截面问题

题型1空间几何体的结构特征

1.（24-25高一下•江苏盐城•期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（）

A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线

D.圆台的轴截面不可能为直角梯形

【答案】D

【解题思路】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C：根据圆台

的定义，即可判断D.

【解答过程】

图1图2

对FA,如图1,利用两个底面全等的斜棱柱拼接何成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A

1/44

错误:

对FB,如图2,该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该儿何体不是棱台，故B错误;

对干C,连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；

对于D,圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，

这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯

形，

故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确.

故选：D.

2.（24-25高一下•山西•期中）下列说法正确的是（）

A.各侧棱都相等的楂锥为正棱锥

B.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是柱台

C.直角二角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D.用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面

【答案】D

【解题思路】根据正棱锥的概念判断A,根据棱台的概念判断B,根据圆锥的概念判断C,根据球的截面形

状判断D.

【解答过程】各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误：

有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是楂台，

只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是楂台，B错误；

直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误；

用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，D正确.

故选：D.

3.（24-25高一下•河北邢台•期中）下列命题正确的是（）

A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B.所有面都是三角形的儿何体一定是三棱锥

C.所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱

D.棱台的所有侧楼所在直线一定交于同一点

【答案】D

【解题思路】根据柱体，锥体，台体的定义和结构特征逐一判断即可.

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【解答过程】对于A,正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，则A错误；

府于B,止八面体的所有面都是三角形，则B错误；

对于C,底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则C错误：

对于D,由楼台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则D正确.

故透:D.

4.（24-25高一下•河北邯郸•期中）下列四个命题中正确的是（）

A.所有棱长都相等的直四棱柱是正方体

B.正三棱锥的每个面都是正三角形

C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

D.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

【答案】D

【解题思路】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误.

【解答过程】对于A,底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时，

该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误；

对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形，

且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误；

对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆

锥，

以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何

体，故C错误：

对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正

确；

故选：D.

5.（24-25高一下•广东•期中）下列命题中为真命题的是（）

A.圆台的侧面展开图是一个扇形

B.用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为楂台

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的多面体是棱柱

D.五棱锥共有6个顶点，11条棱

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【答案】C

【解题思路】利用圆台、棱台、棱柱、棱锥的结构特征逐项判断即得.

【解答过程】对于A,圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A错误;

对于B,用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误;

对于C,由棱柱的定义知，C正确:

对于D,五棱锥共有6个顶点，10条棱，D错误.

故选：C.

题型2m八年的「特征

6.（24-25高一下•广东深圳•期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（）

A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成

B.一个球、一个长方体、一人棱台构成

C.一个球、一个四楂台、一人圆台构成

D.一个球、一个五棱柱、一个楼台构成

【答案】B

【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案.

【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.

故选：B.

7.（24-25高一下•河北邢台•期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体微去

八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（）

A.该几何体有6个面是正方形

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B.该几何体有8个面是正三角形

C.该儿何体恰有26条棱

D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小

【答案】C

【解题思路】根据截取的几何体形状可判断AB正确，再根据正方体每个表面的棱长可判断C错误,

【解答过程】对于A,B,因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形，

原来的六个表面还是正方形，所以A,B正确.

对于C,因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确.

对于D,不妨取正方体的棱长为2,截去的每个正三棱锥的侧面面积为3x^x1x1=,,

而它的底面积是边长为近的正三角形，其面积为TX（V2）2x当=苧v|,

即截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确.

故选：C.

8.（24-25高一下•北京朝阳•期中）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为

长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是

由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正

多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为I.则该半正多面体的棱长为

()

1

D.

3

【答案】B

【解题思路】利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即口:求解

【解答过程】如图，设该半正多面体的棱长为x,^\AB=BE=x,

延长与FE交于点G,延长交正方体棱于H,

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由半正多面体对称性可知，ABGE为等腰直角三角形,

...BG=GE=CH=争，:.GH=2X务+x=(V7+l)x=1

9.（24-25高一•全国•课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的.

【答案】答案见解析

【解题思路】由空间几何体的结构特征可得.

【解答过程】左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的.

右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四楂柱所成的，

也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的.

10.（24-25高一下•广东广州•期中）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数八棱数E与面数F满足

V^F-E=2的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题:

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（正方体）

（1）碳6O（C6o）的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多

面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；

（2）规定：多面体在顶点处的曲率等于2软与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的

面上的多边形的内角的大小，用孤度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正

方体在每个顶点有3个面角，每个面角是与，所以正方体在各顶点的曲率为211—3x5=1,故其总曲率为

8乂5=4m证明：任何简单多面体的总曲率是常数；

（3）如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多

面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为m,每个面的边数为小求为满足的关系

式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.

【答案】⑴20

（2）证明见解析

（3）答案见解析

【解题思路】（1）由已知，正五边形的个数为％,正六边形的个数为y,则g（5"+6y）190,解出、即可;

（2）设多面体有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为L2,「J号，得到多面体的顶点数，进而得所

有多边形内角之和，算出总曲率为常数，即可证明：

（3）由题意得=M=代入V+r-E=2,可得^+;二打也因此5+又机之3,共3,

列出分别说明，即得答案.

【解答过程】（1）由题意可知V=60,F=32,由/+尸一£=2可得£=90,

设正五边形的个数为％,正六边形的个数为y,则x+y=32,

因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数E=1（5x+6y）=90,

联立二（5\+6丫）：90,解得味，即32个面中正六边形面的个数是20.

x+y=32-NU

（2）设多面体有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为L2,…,F号，

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设第i号(1<i<F)多边形有条边，多面体有E=&+&；・•+以条棱,

由题意，多面体共有U=2-F+E=2—尸+妇驾二包个顶点,

»号多边形内角之和(耳一2)n,所有多边形内角之和n(Ei+E2+…+£>)-2nF,

故总曲率为2nV-[TT(EJ+%+…+E/)-2nF]=2n(2—F+"+"；——[n(Fi+%+…+EF)-2TTF]

=4n.

则任何简单多面体的总曲率是常数：

(3)由某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为m,每个面的边数为小可知2E=rz/=niV,

于是卜=和<=拳将其代入V+~一E=2,

所以华+f一£=2,所以5+；打卷，

因此又心g2

故所有五组正整数解为f方鹿或器：我X1黑：枭

当年二时,E=6,则尸=午=4,此时正多面体为正四面体，

当｛々::时，F=12,则/=彳=6,此时正多面体为正六面体，

当｛彳:。时，E=30,MF=^=12,此时正多面体为正十二面体，

当时,£=12,则F=?=8,此时正多面体为正八面体，

当"胃时,E=30,则/=千=20,此时正多面体为正二十面体，

所以正多面体仅有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种.

题型3、■^■泰询御

11.(24-25高一下•福建福州•期中)已知正三棱柱48。一4%。1的底面边长为2,高为5,一质点从力点出

发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点的最短路线长为()

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B

A.x/61B.10C.5V5D.13

【答案】D

【解题思路】根据侧面展开图可得最短距离.

【解答过程】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周,

则将三棱柱沿月心展开，并沿底边犷大2倍，

则展开图是以2x3x2=12为底，5为高的矩形,

则最短路径即为其对角线长为V122+52=13,

故选:D.

12.（24-25高一下•山东青岛・期末）如图，圆锥的母线长为3,底面半径为1,一只蚂蚁从点P处沿着该圆

锥侧面爬行一周后回到点夕处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）

A.V3B.3C.2V3D.373

【答案】D

【解题思路】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为PP,在中，解三角形即可.

【解答过程】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，

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s

一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为PP',

设/SPP=a,圆锥底面周长为2m所以圆弧PP的长为2m

所以"拳

在aSPP中，由SP=SP，，得PP'=JSP2+（SP）2—2sp•SP•cosa=J32+32-2x3x3x（=3

后

故选：D.

13.（24-25高一下•湖北武汉,期中）如图，一个矩形边长为1和4,绕它的长为4的边旋转一周后所得如图

的一开口容器（下表面密封），P是中点，现有一只蚂蚊位于外壁小处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚊

要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）

A.Vn2+36B.Vn2+16C.V4n2+36D.V4TE2+1

【答案】A

【解题思路】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出/Q+PQ的最小值就是力E的长，求解即可.

【解答过程】解：依题意可得圆柱的底面半径丁=1,高h=4

将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形4?。。，其中=mAD=4,

问题转化为在C。上找一点Q,使AQ+PQ最短，

作P关于CD的对称点E,连接力E,令AE与CD交于点Q,

则得力Q+PQ的最小值就是为力f+（4+2/={2+36.

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14.（24-25高一下•河北邢台・期中）正三棱柱ABC—Ai/Ci的底面边长为1,高为4,在棱5Bi，CG上分别

任取点E,凡则力E+EF+尸%的最小值为.

【答案】5

【解题思路】把正三棱柱的侧面沿力4剪开展在同一平面内，利用两点间线段最短求得答案.

【解答过程】将正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，连接A4/,如图，

四边形A4&4是矩形,且纵=4/4=3,

所以AE+EF+FAi>AAi=序+*=5.

故答案为：5.

15.（24・25高一下,广东广州•期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台。1

。2，在轴截面48C0中，AB=AD=BC=4cm,CD=2AB.

⑴求圆台。1。2的高；

（2）求圆台。1。2轴截面的面积；

（3）若一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到4。的中点，求所经过的最短路程.

【答案】（1）28cm；

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⑵12Kcm2：

（3）10cm.

【解题思路】（1）作BE_LCO交CO于E,利用勾股定理求解即可；

（2）利用梯形的面积公式求解；

（3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解.

【解答过程】（1）如图1,作交CO于£

则0］。2=BE=V42-22=2V3cm,则圆台的高为2>/5cm.

（2）圆台的轴截面面积为：1x（4+8）x2>/3=12V3cm2.

（3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,

圆傩侧面展开图的圆心角为6二*二心

设4）的中点为P,连接CP（如图2）,

图2

可得々COP=1,0C=8cm,OP=4+2=6(cm),

则CP=V62+82=10cm,

所以沿着该圆台表面从点C到力。中点的最短距离为10cm.

题型4

16.（24-25高一下•福建三明•期中）一水平放置的平面四边形048C的直观图04877如图所示，其中。4=

ere=2,0cl十轴，。夕iw轴,所cy/y轴，则四边形OABC的面积为（）

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A.当B.6C.|D.125/2

【答案】D

【解题思路】结合图形可得A夕=4,求出四边形O4SL面积后可得四边形。48c的面积.

【解答过程】设y轴与48交点为。,因为00轴,4所轴，所以0£，〃4夕，

因为BC7/V轴，所以四边形。刃£。为平行四边形,故DB'=O'C'=2.

又〃。y=45°,结合4夕_L乂轴，得。4=O'A'=2,故4⑶=4.

所以四边形面积为gx(2+4)X2=6,

因为四边形。'489面积是四边形0河。的面积的乎，

4

所以四边形OABC的面积为12&.

故选：D.

17.(24-25高一下•天津•期中)如图，用斜二测画法画水平放置的四边形/4CQ,其直观图为等腰梯形

CD',若AB=6,CD'=4,则下列说法正确的是()

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D.四边形的面积为10立

【答案】D

【解题思路】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形4BCD为直角梯形，进而得到其周长

和面积，即可得.

【解答过程】由题设加X安2=鱼，A错：

由斜二测画法知，AB=A'B'=6,CD=CD'=4,AD=2A,D'=ZA/2,

易知原四边形A8CD为直角梯形，ADA.AB,AB//CD,

所以8c=y/AD^+（AB-CDY=V8T4=273,

四边形的周长为10+2K+2vL面积为^x2无X（4+6）=10VLB、C错，D对.

故选：D.

18.（24-25高•下・海南海口・期口）如图所示，△43C是水平放置的的斜二测直观图，其中0C=

00=2。'8=2,则以下说法正确的是（）

A.△48C是钝角三角形B.△力BC的面积是△4斤。'的面积的2倍

C.△力8C是等边三角形D.△4?。的周长是4+4企

【答案】D

【解题思路】根据斜二测画法，求得高，并还原图形，对应表示出各边长，利用三角形的性质、面积以及

周长公式，可得答案.

【解答过程】由题意,过B'作B'DUAC',垂足为。,如下图:

则夕。=3'0'sin450=孝，

根据斜二测画法还原图形，可得下图:

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则4。=4。'，CO=CO',80=280,BOA.ACf

易知△ABC为等腰三角形，故A错误；C错误；

由△AB'C'的面积SAABC，=1•4。•B'Df=1x4x^=V2,

△,4BC的面积SA.BCM?力。•8。=Jx4x2=4,则S4.c=2危△ABC，故B错误；

△ABC的周长力8+AC+BC=AC+y/AO2+BO^+y/CO2+BO^=4+4\泛，故D正确.

故选：D.

19.（24-25高一下•四川广元•期中）如图，△ABC是水平放置的△A8C的直观图，若8c=4（7=1,

AS〃片轴，4C//V轴，则△4BC的周长为.

【答案】2+V2+V6

【解题思路】得到=V2,将直观图还原为原图，求出48=41,AC=24。=2,BC=限,由此即可得解.

【解答过程】由题意8c=4。=1,所以NC'AB'=乙CBA=45°,可得△ABC为直角三角形，

所以4万=

根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，

可得△4?。为直角三角形，其中48=«,AC=24C=2,

由勾股定理得BC=7AB2+心=V6,

所以△ABC的周长为2+品+瓜

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故答案为：2+V2+V6.

20.(24-25高一下•安徽合肥•期中)如图，△ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图.

(1)画出它的原图形；

(2)若40=2,△48C的面积是乌，求原图形4MC边.上的高和原图形的面积.

【答案】(1)图形见解析

(2)V6,V6

【解题思路】(1)利用直观图与原图形的关系作图即可得：

(2)利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积.

【解答过程】(1)画出平面直角坐标系不。、，在工轴上取。4=0,4,即C4=C4,

在图①中，过作》。〃旷轴,交M轴于D，,在X轴上取0D=。。,

过点。作08〃y轴，并使。8=20万，

连接力8,BC,则△48。即为△48C原来的图形，如图②所示：

(2)由(1)知，原图形中，8。_LAC于点。，则为原图形中4c边上的高,

且BD=2B'D',

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则△ABC的面积=\A，C，xBE=B'E'=号

在直角三角形夕ED中，B'D1=>I2B'E'=所以8O=2BD=历,

所以S4.BC=5力。xBD—\/6.

故原图形中4c边上的高为伉，原图形的面积为遥.

题型5空间几何体的表面积

21.（24-25高一下•广东佛山•期中）已知一个圆锥的底面半径为3,其体积为12n,则该圆锥的侧面积为

（）

A.6TTB.9nC.12nD.15TT

【答案】D

【解题思路】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解.

【解答过程】设圆锥的高为八，母线长为1，

因为圆锥的底面半径为3,其体积为12m

所以12TT=gnx32x九，解得h=4,

所以，=,32+42=5,故圆锥的侧面积为:x2nx3x5=15n.

故选：D.

22.（24-25高一下•重庆・期中）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知AB=8cm,从道1=20cm,

楼台的高为8cm,现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零

C.390元D.347.5元

【答案】B

【解题思路】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面枳,

进而可求出该零部件的防腐处理费用.

【解答过程】因为正四棱台4miCiDi_4BCD中,48=8cm,4Pl=20cm,高为8cm,

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则侧面的斜高为h=182+（竽）2=10cm.

所以SBCCI8]=5x（BC+8[G）xh=140cm2.

所以该四棱台的表面积为S=82+202+4X140=1024cm2,

又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，

所以该部件的防腐处理费用是1024x0.5=512元.

故选：B.

23.（24-25高一下•云南楚雄・期中）中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进

步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为等cm3的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不

考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm,则该圆台的表面积为（）

A.（3+3伤）ncn?B.（5+5V10）ncm2

C.（5+3VTo）ncm7D.（5+3V5）ncni7

【答案】D

【解题思路】先求出圆台的上下底面的半径，求出母线长后可求表面积.

【解答过程】如图所示，设圆台较大的底面半径为。m=2r,较小的底面半径为。28=八

则上'=1（7rr2+4nr2+2nr2）x2=等，解得r=1cm.

过点B作8Bi_L0M，垂足为Bi，则母线，=J4用+8解=V12+22=遥

S网台=n（r2+4r2+rZ+2r7）=（l2+4xl2+lxV5+2xlxV5）n=（5+3x/5）ncm2.

故选:D.

24.（24-25高一下•河北石家庄•期中）已知正方体48。0一必当。道1的校长为I,除面48CD外，该正方体

其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M（如图），则四棱锥M-E/G”的表面枳是.

18/44

【答案】书丑

【解题思路】由题意得出四棱锥M-EFG”的底面EFG”是边长为当的正方形，四个侧面都是边长为日的等

边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解.

【解答过程】如图所示：

由题意可得，底面四边形"GH为边长为孝的正方形，其面积S“GH=俘）2=最

设/为E尸中点，。为正方形E7P”中心，则"0=去E0=1,

显然M01E。，所以正四棱锥M—EFGH的侧棱ME=多同理用/=警

乂即=冬所以正四棱锥M-EFGH的四个侧面都是边长为孝的等边三角形，

设四棱锥M-EFG/7的表面积是S,

则5=（孝）2+4乂卜俘）2乂苧=竽.

故答案为：竽.

25.（24-25高一下•广东广州•期中）如图，圆锥P。的底面直径和高均是2cm,过P。上的一点。'作平行于底

面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

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⑴若。是，。的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面枳和体枳；

（2）当0。为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值.

【答案】⑴表面积（遍+2）m体积即；

（2）0。，=1,Ti.

【解题思路】（1）根据圆锥，圆柱的侧面积，表面枳和体积公式即可求出.

（2）设。。=心用工的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出其最大值.

【脩答过程】（I）设圆柱的底面半径为r,由三角形中位线定理知，r=1,圆柱母线长。。=1,

而圆锥的母线长为，=V22T12=慈,因此圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为

圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，即S=n・#+冗.1.遮+2冗*•1=（遮+2）TT,

圆锥挖去圆柱剩下儿何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，

BPV=•I2•2—H•（1）2-1=加.

（2）设00'=%,则警=,解得丁=1一9，

因此被挖去的圆柱的侧面积为S，=2irrx=TTX（2-x）<7Td+尸）2_口，

当且仅当x=1时取等号，

所以。0,=1时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为迅

题型6

26.（24・25高一下•云南德宏•期中）已知正三棱台的上底边长为旧，下底边长为46，侧棱长为5,则该

正三棱台的体积为（）

A.63V3B.63C.2173D.21

【答案】C

【解题思路】直接运用三角形面积公式，结合正三棱台的几何性质、棱台体积公式进行求解即可.

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【解答过程】如图所示，0'，。分别是上，下底面的中心，连接。。'，。'夕，0B,

在平面8。。，⑶内作BE18。于E,

因为正三棱台的上底边长为遥，下底边长为46，

所以上底面面积为:xV3XV3X乎，

，24

上底面三角形外接圆半径为夕0,=TX事=1，

下底面面积为:X4>/3X4A/3X哼=12技

下底面三角形外接圆半径为80=4x塔=4,

于是该正三棱台的高为VBB2—BE2=752-（4-1）2=4,

因此该正三楼台的体积为gX（平+抨义126+12旧）X4=21V3,

故选:C.

27.（24-25高一下,福建漳州•期中）正四棱台上、下底面边长分别为四和2vL所有顶点都在半径为西的

球面上，则该四棱台的体积是（）

A.14B.12C.斗或12D.?或14

•5O

【答案】D

【解题思路】分球心在棱台上、下底面之间，和球心在下底面下方两种情况，利用球心到上、下底面中心

的距离，上、下底面外接圆半径，和球的半径之间的关系，求出棱台的高即可得解.

【解答过程】记正四棱台ABCD-Ai/CiDi的上、下底面对角线的交点分别为。1，。2,球心为0,

由正四棱台的性质可知，。1，。2，。三点共线，

易知41cl=2,AC=4,0C=0cl=倔。£=1,。2c=2,

当球心在棱台上、下底面之间时，如图所示，

则棱台的高力=。1。2=。。1+。。2=V5—1+V5—4=3,

所以该棱台的体积，=32+H+VTTfi）x3=14.

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当球心在下底面下方时，如图所示，

则棱台的高h=。1。2=。。1—。。2=V5-1-V5-4=1,

所以该棱台的体积V=a2+8+V2V8）xl=y.

综上，该棱台的体积为14或?.

故选：D.

28.（24-25高一下•天津静海•期中）小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直

径为8cm的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿

c128n”256n

B.—,63TTC.竿，36nD.——,367T

J

【答案】B

【解题思路】根据球的体积以及圆柱的体积计算，可得答案.

3

【解答过程】馒头的体积为Jx*X7TX《）=早

火腿的体积为4x-rix32+(10—4)XTTX32X1=36H+27TT=637T.

故选：B.

29.（24-25高一下•山东济宁期中）如图，在直三棱杜ABC—小B]C]中，E是的三等分点（靠近点

22/44

A），。是44i的中点，则三棱锥D—BiCiE的体积与三棱柱4BC-%BiCi的体积之比是

【答案】2:9

2

【解题思路】根据SMWE=s矩形4BB14—Sf]/?1O—SA.DE—S&r/7%,求得59叫=5s△岫々,再根据二棱

锥的换底性可得Vg-AAiBi=匕4-481cl=3匕4??。-4々（71，由此可得答案.

【解答过程】•:S.DE=S矩形力38"1-SAA[B]D—SaADE—S^EBBi，

Z?是40的二等分点（靠近点力），。是441的中点，

12SS&ADE—》&4481，S^EBBi—=5s△m向，

又,5矩形<88送1=2s△"]为，

1122

:•S&B1DE=2s一5s△相四一一/”^1班=尹入44但1，

22212

X

•',Vci_DEBi=§匕7]_"[8]-#4_4]B]C]=3ABC-AXBXCX-ABC-AXBXCV

.••三楂锥。一/CiE的体积与三楂柱4BC—4181cl的体积之比为29

故答案为：2:9.

30.（24-25高一下•重庆万州•期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥P一4BCD,下部是一个正方

体，其中正四棱锥P—力BCD的高为3VL△尸。。是等边三角形£。=6..

（1）求该几何体的表面积;

（2）求该几何体的体积.

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【答案】（1）3673+180

（2）F=36V2+216

【解题思路】（1）设M是CD的中点，连接PM,进而可证明PM1CD,从而可计算正四棱锥的侧面积与正

方体的五个面积：

（2）根据锥体与正方体体积求解即可.

【解答过程】（1）设M是CD的中点，连接PM.

因为△PC。是边长为6的正三角形，

所以PM1CD,且PM=76?-32=3瓜,

所以该几何体的表面积S=（|x6x3V3）X4+62X4+62=3673+180.

(2)连接4&8D,设交点为0,连接PO,则PO是四棱锥P—A8CD的高,

则P。=3VL所以PpvscD=1x62x372=36Vl

«5

又正方体的体积为6x6x6=216,

所以该几何体的体积V=3672+216.

31.（24-25高一下•浙江•期中）已知正四面体内接于球0,球0半径为3,E为BC的中点，过点E作

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球。的截面，求截面圆半径的最小值（）

A.1B.V3C.V5D.V6

【答案】D

【解题思路】令正四面体的棱长为m由正四面体外接球的相关几何关系列方程求得。=2伤，再由截面圆

半径最小，只需。E垂直于截面圆，求该截面圆的半径最小值.

【解答过程】如下图示，。。=3,令正四面体的棱长为a,则底面半径r=：x^a=争，

所以。P=J（苧a）—（gx孚a）一一（苧a）=3,

所以Ji。?—J9-g6=3,则|层=9+6J9_ga2+9—1a2,

所以十-18=6J9-1Q2,则。4-36。2+324=324—12次，可得M=24,

要使截面圆半径最小，只需。£垂直于截面圆，而。E=19—那+（/a）?=Jg—la2=V3,

所以截面圆半径为A/9—CE2=y/6.

32.（24-25高一下•海南省直辖县级单位•期中）己知过球面上三点4,B,C的截面到球心。的距离等于

球半径的一半，且4B=8C=CA=2,则球的表面积（）

【答案】D

【解题思路】由48=8（?=乙4=2,求得△ABC的外接圆半径为r,再由炉一（抑）=1,求得球的半径,

即可求解球。的表面积.

【解答过程】因为/18=8C=C4=2,焉=2几

所以△A8C的外接圆半径为r=竽.

2

设球半径为R,则产一^/?）=右

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所以R=g,

J

V=4nR2=

故选:D.

33.（24-25高一下•江苏无锡・期中）在等腰梯形ABC。中，已知AD〃BC,AD=AB=DC=^BC=1,^ABD

沿直线8。翻折成△48D,则当三棱锥4-BCD的体积最大时，以4。为直径的球被平面48。所截的截面面

积为（）

A—R—Q-[）—

人•6o,4J3/2

【答案】B

【解题思路】苜先证明BD_LCO,当平面4801平面BCZ）时，三棱锥4—8C。的体积最大，由面面垂直的性

质得到CD1平面4BD,求出械面圆的半径，即可得解.

【解答过程】依题意/B="=抑7=1,所以梯形的高的=]12一（芋1=冬

所以sinC=/=容则C=T，又BD=小2+22一2x1x2x吟=W，

所以+c/）2=8。2,即8DJ.CD,

当平面48。JL平面8。。时・，三棱锥4—BCD的体积最大，

又平面ABDn平面8CD=8D,CDu平面BCD,所以CD1平面48D.

AC的中点。为球心，取4。的中点E,则0E为△ACD的中位线，

所以。E//CD,OEJL平面ABD.

以4c为直径的球被平面A8D所载的截面为圆面，

由以上分析可知点E为该圆的圆心，其半杼r=A'E=\A'D=I

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该圆面面积为n尹=J

故选：B.

34.（24-25高一下•河北•期中）若平面a截球。所得截面圆的半径为1,且球心。到截面的距离为遥，则球。

的表面积为，

【答案】24n

【解题思路】求出球的半径后可求其表面积.

【解答过程】因为平面a截球。所得截面圆的半径为1,且球心。到截面的距离为遥，

故球的半径R=故+5=瓜,故球。的表面积为4xnx6=24u,

故答案为:24m

35.（24-25高一下•云南昆明•期中）祖唯是我国南北朝时期伟人的数学家.祖咂在解决球体体积时，提出

了著名的祖眶原理：“察势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这

两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等“，如图①所示.如图②

是一个半径为3的球体，平面48C与球相交，截面为圆8,延长80,交球于点。，则80垂直于圆8（8。

垂直于圆8内的所有直线），BO=1.

图①图②

（1）求圆锥DB的表面积和体积；

（2）如图平面力8。上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖晅原理求球冠的体积.

【答案】（l）8n+88m等

Q郡

【解题思路】（1）根据勾股定理求出圆锥高和母线，从而求其表面积和体积；

（2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥.取同一高度〃的截

面.令球冠截面半径为H，面积为Si，圆锥截面半径为立，所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同,

根据祖晅原理两者体积相等，根据V球冠=V圆柱-V圆台求解.

【解答过程】（1）因为R=3,OB=1,

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设WB=r,则r=V/?2—OB2=2夜，

圆锥高80=4,母线长=\lBD2+r2=2通,

SDB=nr(r+1)=2V2TT(2V2+2-/6)=8zr4-8V3TT>

1,1c“32TT

%=尹72%=FX8x4=—.

（2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，

内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥.

取同一高度〃的截面.令球冠截面半径为厂1，面积为Si，圆锥截面半径为方，

面积为$2-丁1=面2—九2,Si=〃（/?2—F）.11-=h=$2=Tl/l2,

S1+$2=RR2,

所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖陶原理两者体积相等.

所以P球冠=卜圆柱一V圆台.

依题意圆柱的高为2,半径为3.圆台的上底面半径为3,下底面半径为上，

因为&即为球冠的底面积，所以八=2四

由S[+$2=IT/?2,得S2=nr1=TIR2—nr；=9?r—87r=〃，所以上=1

所以V球冠=柱一匕阅台=187r-1（97T+7l+37T）X2=y7T.

题型8空间几何体的外接球问题

36.（24-25高一下•福建泉州•期中）在《九章算术》中，将四个面都为直.角三角形的三棱锥称之为鳖脯.如

图，已知在鳖脯4一8。。中，满足CD1平面A80,且CD=AD=5,BD=3,48=4,则此鳖脯外接球的

表面积为（）

D

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A.25TTB.50nC.IOOTTD.200K

【答案】B

【解题思路】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代

入球的表面枳公式得答案.

【解答过程】由40=5,BD=3,AB=4,：.AD2=BD2+AB2,即有8D148,

又CD1平面力8。，所以48,BD,两两互相垂直，该瞥喘如图所示：

B3