七年级数学上册专项训练

L有关数轴的探索

1数轴中的折叠问题

1.如图，在数轴上，点4表示数Q,点8表示数b,点C表示数c,b是最小的正整数，且a,c满

足|a+2|+（c-6）2=0.

—•-------•-----------------•>

4BC

（1）a=___,b=__,c=__,

（2）若将数轴折叠，使得点工与点。重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为点B与数一

—对应的点重合，这时若M,N（M在N的左侧）两点之间的距离为2022,且M,N两点经折

叠后重合，则点M表示的数是，点N表示的数是.

2.如图，折叠一数轴，使得表示数5与数-1的两点重合，若此时数轴上的4,8两点也重合,

且上8两点之间的距离为32,则点4表示的数为.

3.在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重

叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1:1：2,则折痕与数轴的

交点所表示的数可能是.

个X

|'1I~~'1'1:|'

折转剪断处

2数轴上的循环规律问题

4.正六边形4BCDE/在数轴上的位置如图，点力，F对应的数分别为0和1,若正六边形（六条

边省等）4BC0EF绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为

2,则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是（）

CD

-101234人.4点89点C.C点D.0点

7数上练技巧

5.在数轴上，点P表示的数是Q,点P，表示的数是;，我们称点是点P的“相关点”，已

知数轴上点儿的相关点为入2,点4的相关点为力3,点&的相关点为4,…，这样依次得到点4,

.若点在数轴上表示的数是则点在数轴上表示的数是—.

A2,A3IA4I4n4g4024

3数轴上数的变化规律问期

6.已知4,B在数轴上对应的数分别用处匕表示，且（ab+150）2+g+10|=0,P是数轴上的

一个动点.动点P从原点开始第1次向右移动1个单位长度，第2次向左移动3个单位长度，

第3次向右移动5个单位长度，第4次向左移动7个单位长度，…，点P在移动过程中，第一

一次移动后与点4重合.

7.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置（0点）出发，按向上、

向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如匡所示，第1

次移动到第2次移动到第3次移动到第九次移动到4口则三角形。442020的

面积是（）

个4,54个"10^13

八八八八

•••

o|it3t.4〔5上161r

°从344748411412

A.%B.505C.1211D.506

22

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7数上练技巧

2,含参数的一元一次方程

4解的关系问题

1.已知关于x的方程:(8-x)=7+x的解与方程罕一一=：+2a的解互为相反数,求Q的

值.

5错解问题

2.晶晶在解关于无的方程皇+6=等时，把6错写成1,解得％=1,并且晶晶在解题中没有

错误，请你正确求出此方程的解.

6整数解问题

3.已知m,九是有理数，单项式一/y的次数是3,方程(加+1)/+小工一比+n+2=0是关

于工的一元一次方程，其中mot.

(1)求m,n的值；

(2)若该方程的解是x=3,求亡的值；

(3)若该方程的解是正整数，求整数t的值.

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7数上练技巧

7解的个数问题

4.已知关于x的方程4+3ax=2a-7有唯一解，关于y的方程2+y=(b+l)y无解，判断关于

z的方程az=匕的解的情况.

5.已知关于x的方程(a-2)/E+4b=0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程

41=4+1的解相同.

(1)求a,b的值；

(2)若关于y的方程-l|y+几=a+1+2by有无数个解，求机，几的值.

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7数上练技巧

3,方程的应用一动点问题

8距离问题

1.本数轴上，点4在原点的左侧，点B在原点的右侧，点4距离原点12个单位长度，点B距离

原点2个单位长度.

(D点A对应的数为____，点8对应的数为一,两点之间的距离为一;

(2)若点P为数轴上一点，且BP=2,求4P的长；

(3)若点N,Q,M同时向数轴负方向运动，点N从点4出发，点Q从原点出发，点M从点B出

发，且点N的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M的运

动速度是每秒2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时

三个点对应的数各是多少.

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7数上练技巧

9相遇问题

2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点4B表示的数分别为a,b,则48两点之间

的距离表示为AB=如：点4表示的数为2,点8表示的数为3,则48=|2-3|=1.

（1）问题提出：填空：如图，数轴上点4表示的数为-2,点B表示的数为13,4,8两点之间

的距离48=—,线段48的中点表示的数为

---A•・----------------------•B•

-2013

（2）拓展探究：在（1）的条件下，若点P从点4出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向

右至动，同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为£秒«>0）.

①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为；

②求当士为何值时，P,Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数.

（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果P,Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自

到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段48上做往复运动，那么再经

过多长时间P,Q两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数.

10追及问题

3.如图，已知数轴上三点4,0,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从A出发，以每秒6个单

位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点R从B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向

左匀速运动，若点P,R同时出发，则点P运动秒时，追上点R.

204

-

06

-4

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7数上练技巧

4,与线段上的中点有关的计算

11双中点模型

1.如图，点C是线段48上的一点，且4CV8C,M和N分别是48和8c的中点，已知AC=10,

NB=7,则线段MN的长度是（）

•----------------------------•--------•------------•---------------------•

4CMNB

A.3B.3.5C.4D.5

2.如图，点C在线段上，点M,N分别是4C,BC的中点.

I」」I1

AMCNB

（1）若4C=9cm,CR=6cm,求线段M/V的长.

（2）若C为线段48上任一点（不与48重合），满足4C+C8=acm,其他条件不变，你能

猜想出MN的长度吗？请说明理由.

（3）若C在线段的延长线上（不与B重合），且满足4C-BC=bcm,点M,N分别为AC,

8C的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.

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7数上练技巧

3.如图，AtB,C,。四点在同一直线上.

•------,--------------------*-----«----

4BC0

(1)若AB=CD,

①比较线段的大小：AC—BD(填"=”或“<”)；

②若=-AC,且AC=12cm,则40的长为cm.

4

(2)若=3:4:5,且AB的中点M和。0的中点N之间的距离是16cm,求40的长.

12三中点模型

4.如图，点4,B,。在同一直线上，”为4C的中点，M为力B的中点，N为BC的中点，则下列

说法：①MN=HC；②MN=；(AC+HB)；③MH=*AH-HB)；④HN=+HB),其

中王确的是()

•-------------♦•♦••

AMHBNC

A.①③B.②④C.①④D.①③④

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7数上练技巧

5,双角平分线模型

13两个角无公共部分

1.如图，^AOB=a,OAi，OB1分另IJ是40M和/M08的平分线，OA2，0^2分另U是4心0M和

NM。当的平分线，。43，。83分另1」是42。用和功。82的平分线，…，04n,。为分别是N4LI

OM和,川。匿_1的平分线，则N&O%的度数是()

14两个角有公共部分

2.(1)如图，若408=120。，ZA0C=40°,0D,0E分别平分4。8,40C,求40E的

度数；

(2)若N40B,-4OC是平面内两个角，^AOB=m°,NAOC=n°(0<n<m<180),OD,

OE分别平分▲408,40C,求-DOE的度数.(用含m,几的代数式表示)

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7数上练技巧

3.如图，已知在同一平面内，^AOB=90°,^AOC=60°.

(2)如果。。平分NBOC,OE平分4OC,求NDOE的度数;

(3)如果在(2)的条件下将4OC=60。改为440c=2a(0。＜aV45。)，其他条件不变,

求/DOE的度数.

15三个角围成周角

4.如图，ZAOB=126°,射线OC在4OB外，且NBOC=24OC,若OM平分NBOC,ON平

分乙40a则/M0N=_____.

C

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7数上练难点

1简化有理数的计算

类型1归类——同号相加，同分母相加

1.计算：-16-（-21）+（-12）-35-（-3）.

2.计算：

类型2凑整——将和（积）为整数的数相结合

3.计算：2：—0.6+2—2.5+10—1

4.计算：（-1.25）x,x（-4）x（-J

类型3变序——方便约分和计算

5.计算：45乂（-25）'B（一装）+"（-1》

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7数上练难点

6.计算:4x(—3')—3x(—3-6x3.

类型4组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化计算

7.计算：1-3x2+5+7-9x2+11+13-15X2+17+…+2011-2013x2+2015

+2017.

C、-LHZ13、，/2,4、，/35、/2021,2023、

8.计算：(-XX(---X-)X(---X-)X•••X(-----X----).

'22，'33，'44，'202220227

类型5拆分——将带分数拆分

9.用简便方法计算:

(1)(-2024|)+4046：+(-2025|)+1|.

(2)(一19嗡x76.

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7数上练难点

类型6裂项一拆项相消

10.阅读下面的解答过程.

计算：—+—+—

1X22x33X49x10

Anrxi-M-,1_111_111_111_11

解：因为启=1—2，^=2"?羔=§一7…，=

所以原式=(l-1)+(1-1)+(1-i)+

=1+(-鸿)+(-渭)+…+(-泊)-4

1

=1------

10

9

=10

根据以上解题方法计算：

(D-2―=_______(九为正整数)；

n(n+l)

(2)

2612203042

(3)—+—+—H---p]

2x44X66x82018x2020

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7数上练难点

类型7换位——将被除数与除数颠倒位置

11.阅读下列材料，回答问题.

计算：50+

解法1：原式=50+工―50+二+50+工=50x3-50x4+50x12.该解法对吗？

3412

答：.

解法2：先计算原式的倒数，(»”+50+1=总故原式=300.

(1)请你用解法2的方法计算：(一分+(>■+»>

(2)计算:(弓―卜今+(_,+(_[

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7数上练难点

2规律探索

类型1递推型规律探索

1.一只小球落在数轴上的某点％=Q处，第一次从P。处向右跳1个单位到匕处，第二次从匕处

向左跳2个单位到P2处，第三次从P2处向右跳3个单位到P3处，第四次从P3处向左跳4个单位

到七处，….若小球按以上规律跳了(2n+3)次，

则它落在数轴上的点P2n+3处所表示的数是()

AQ+几B.a+n4-2C-a+n—1D.。+n+3

2.有一组正整数：Qi，0.2,,*•,。2024,。2025，从@3开始，满足。3=-2a21。4=1。2—2a3I，

a5=\a3-2a4\,—,a2025=l«2023-2a2024h当%=%a2=l(m>3,机为整数)时，

a2025=-------------------

3.观察下列单项式：-r,3r2,-Sx3,7r4,…，29丫20,…，写出第九个单项式，为

了解这个问题，特提供下面的解题思路.

(D这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？

(2)这组单项式的次数的规律是什么？

(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第八个单项式是什么吗？

(4)请你根据猜想，写出第2024个和第2025个单项式.

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7数上练难点

类型2累加型规律探索

4.观察下列图形，第1个图形中有7个空心点，第2个图形中有11个空心点，第3个图形中

有15个空心点，…，按此规律排列下去，第八个图形中有个空心点（用含几的式子表示）.

5.将正方形4BCD（如图（1））作如下划分：第1次划分：分别连接正方形4BCD对边的中点

（如图（2））,得线段Hr和EG,它们交于点M,此时图（2）中

图⑴图⑵图（3）

共有5个正方形；第2次划分：将图（2）左上角正方形再划分，得图（3）,则图（3）

中共有9个正方形.

（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_____个正方形.

（2）继续划分下去，第九次划分后图中共有_________个正方形.

（3）能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分；如

果不能，需说明理由.

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7数上练难点

3整式的化简求值

类型1化繁为简再求值

1.先化简，再求值：—3Q2b+(4。/—Q2^)—2(2Q/一Q2/J),其中Q=1,b=—1.

2.先化简，再求值：2x2-[3(-1x2+|xy)-(xy-3%2)]+2xy,其中x是最小的正整数，y

*JJ

是2的相反数.

3.先化简，再求值：2/-[3(-|%2+|xy)一(孙一3/)]+2孙，其中x是最小的正整数，y

是2的相反数.

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7数上练难点

类型2整体代入求值

4.阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛.如：

已知5Q+3b=-4,求代数式2(Q+b)+4(2a+b)的值.

小颖同学提出了一种解法如下：

原式=2Q+2b+8Q+4/?=10a+6b=2(5a+3b),所以当5a+3b=—4时，原式=2x(—4

)=-8.

仿照小颖同学的解题方法，解答下面的问题：

(1)若Q+6=2,则a+b+l=；

(2)已知Q-匕=-2,求3(。一匕)-2a+2b+5的值；

(3)已知Q2+2Q/)=—2,ab—b2=—4,求4a2+7ab+/的值.

5.【阅读理解】若代数式/+%+3的值为7,求代数式2/+2%-3的值.小明采用的方法

如下：

由题意得/+%+3=7,则有/+%=4,

2x2+2x-3=2(x24-x)-3

=2x4-3

=5.

所以代数式27+2x—3的值为5.

【方法运用】(1)若代数式/+%+1的值为10,求代数式—27—2%+3的值.

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7数上练难点

(2)当x=2时，代数式+以+4的值为9,当x=-2时，求代数式Q/+力工+3的值.

【拓展应用】若小一时=26,ab-b2=-16,则代数式十一2耐+匕2的值为

类型3整式化简中的“无关”问题

6.如图，长为a,宽为b的长方形被分割成7部分，除阴影图形P,Q外，其余5部分为形状和

大小完全相同的小长方形。，其中小长方形。的宽为3.

3

(1)求小长方形。的长(用含a的代数式表示).

(2)小明发现阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与Q值无关，他的判断是否正确？请说明理

由.

7.已知4=2/+mx-y,B=n/一x+6y是关于x,y的多项式，其中几为常数.

(1)若7n=1,n=-2,化简A+B；

(2)若4—2B的值与x的取值无关，求代数式血2rl2。21的值.

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7数上练难点

类型4利用数形结合化简求值

8.有理数Q,仇。所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式|a-c\-\b\-\b-a\+\

b+a\.

9.已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示.

ab()c

(1)在数轴上标出-a,-b,一c这三个数所对应的点，并将叫b,c,-a,-b,-c这6个数

按从小到大的顺序用“V”连接；

(2)化简式子|—a-+\b-c\—\c-a\\

(3)若a+b+c=O,且表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互

为相反数,求一3®-匕)-(c+5)-2(c+4b)的值.

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7数上练难点

4特殊/b次方程的解法

类型1分子、分母化整

L解方程：言一言=】•

0.3X+0.8_0.02X+0.30.8X-0.4

2.[2025陕西西安调研，中]解方程:

0.50.33

类型2利用倒数关系去括号

3.解方程：|[f（i-l）-2]-x=2.

i,

4.解方程:日（'乎+4）+6]+9}=1.

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7数上练难点

类型3整体思想的应用

5.解方程：9》_7)=6_-%_7).

6.关于%的方程彳+W5=0,我们也可以这样来解：将原方程整理得6+：+9%=0.因为9+

：+3。0,所以方程的解为x=0.请按这种方法解下列方程：

x-23x-19x-15.x-11x-7

(2)----H-------r-----r-----r---10.

246810

类型4先拆分，再合并

7.解方程：/声方+*1.

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7数上练难点

5线段中的动态问题

类型1动点问题

1.如图，线段的长为20cm,。是线段4B的中点，P,Q是线段4B上的动点，点P沿/

以4cm/s的速度运动，点Q沿B-＞力以2cm/s的速度运动.若P,Q两点同时出发，则当OP=OQ

时，运动时间为（）

PQ

I」」11

A0B

A.0s或10s或三sB.Os或5s或Us

C.Os或Us或竺s或10sD.Os或5s或2s或竺s

类型2动线段问题

2.如图，已知点C在线段4?上，且AC=2BC,线段OE在线段48上运动（点D,E不与点48重

合，且点。在点E的左侧），4B=15,DE=6.

ADCEB

CB

（D当点E为BC的三等分点时，求线段4。的长;

（2）点厂在线段4B上（不与点A,B,。重合），且4E=3AO,CF=3,求线段力E的长.

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7数上练难点

类型3定值问题

3.如图，线段？18的长为24,动点P从点4出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线4B运动，M

为4P的中点，设点P的运动时间为x秒.

I」I」

AMPB

■I

AB

(1)当x=5时，求BM的长.

(2)当P在线段48上运动时，2BM-是定值吗?如果是，请求出该定值；如果不是，请说

明理由.

(3)当P在射线48上运动时，N为8P的中点，求MN的长.

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7数上练难点

6动角问题

类型1判断角的数量关系

1.把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边M/V上.

(1)当点4和点B都在直线的上方时(如图(1)),乙4cM与NBCN的数量关系是44cM

+ZBCN=：

B

(2)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点4在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时

(如图(2)),4CM与NBCN的数量关系是;

B

A

(3)当将这把直角三角板绕顶点。旋转到点/和点8都在直线MN的下方时(如图(3)),ZACM

与/BCN的数量关系是.

MCN

B

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7数上练难点

类型2求运动时间

2.如图（1）,。为直线48上一点，过点。在直线AB上方作射线0C,乙4OC=30。，将一直角三

角板（/M=30。）的直角顶点放在点。处，一直角边ON在射线04上，另一直角边0〃在直线AB

的上方.（注：本题旋转角度最多为180。）

（1）将图（1）中的三角板绕点。以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转，如图（2）,经过£秒后,

NA0N=____。（用含£的式子表示），若。M恰好平分则亡=—.

（2）在（1）的条件下，若在三角板转动的同时，射线0C也绕点。以每秒6。的速度沿顺时针方

向旋转，如图（3）,经过t秒后，NA0C=°（用含t的式子表示），若0C平分NM0N,

则t=—.

M

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7数上练难点

类型3定值问题

3.已知40B=80°,^COD=50°,OE平分4OC,OF平分NBOD.

(D如图(D,当08,。。重合时，求/EOF的度数.

A后

oj。

(2)当NCOO绕点。顺时针旋转n。。<n<50)时(如图(2)),“。F的度数是否为定值？

若是定值，求出-EOF的值；若不是，请说明理由.

A

(3)在(2)的条件下，若满足4。0-NEOF=|(/BOE+NCOF),求九的值.

4

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7数上练技巧

L有关数轴的探索

1数轴中的折叠问题

1.如图，在数轴上，点4表示数Q,点8表示数b,点C表示数C,b是最小的正整数，且Q,C满

足|Q+2|+(C-6)2=0.

—••-----------------•----->

4BC

(1)a=____,b=___,c=___・

2

解析：因为匕是最小的正整数，所以b=1.因为|Q+2|20,(c-6)>0,且

2

|a+2|+(c-6)2=O所以|a+2|=0,(c-6)=0,所以Q+2=0,

c-6=0,所以Q=—2,c=6.

(2)若将数轴折叠，使得点4与点C重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为点B与数一

对应的点重合，这时若M,N(M在N的左侧)两点之间的距离为2022,且M,/V两点经折

叠后重合，则点M表示的数是，点N表示的数是.

解析：将数轴折叠，使得点4与点。重合，则宁=2,所以折痕与数轴的交点

表示的数是2.点8到折痕与数轴的交点的距离为1个单位长度，则2+1=3,所以

点B与数3对应的点重合.设M点表示的数是％,则N点表示的数是x+2022,所以

2二日寿经，则％=一1009,-1009+2022=1013,所以点M表示的数是

-1009,点N表示的数是1013.

数轴中的折注问题

将数轴折叠后，数Q与数b对应的点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为恰，若数c与数d

对应的点也重合，则a+b=c+d.

2.如图，折叠一数轴，使得表示数5与数-1的两点重合，若此时数轴上的4,B两点也重合,

且儿B两点之间的距离为32,则点4表示的数为_________.

-1

解析：因为表示5的点与表示-1的点重合，所以折痕与数轴的交点表示的数为2.因为数轴折

叠后，数轴上的4B两点也重合，且4B两点之间的距离为32,所以两个点到折痕与数轴交

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7数上练技巧

点的距离均是16,所以点A表示的数为2+16=18或2-16=-14.故答窠为18或一14.

3.在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重

叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1:1：2,则折痕与数轴的

交点所表示的数可能是.

个__________________X

I,■I1

折痕剪断处

解析：因为总的线段长为8,剪后三条线段的长度之比为1:1:2,又因为

8^（14-14-2）=2,所以这三条线段的长度分别为2,2,4.如图（1）,若剪下

的第1条线段长为2,第2条线段长度也为2,则折痕与数轴的交点表示的数为4；如

图（2）,若剪下的第1条线段长为2,第2条线段长度为4,则折痕与数轴的交点表

示的数为5；如图（3）,若剪下的第1条线段长为4,第2条线段长度为2,则折痕

与数轴的交点表示的数为6.综上，折痕与数轴的交点表示的数为4或5或6,故答案

为4或5或6.

图（1）---------!---------!-------------------图（2）।'1,."1

图（3）

2数轴上的循环规律问题

4.正六边形4BCDEF在数轴上的位置如图，点4,F对应的数分别为0和1,若正六边形（六条

边用等）ABCDEF绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为

2,则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是（）

A.工点B.B点C.C点D.。点

解析：正六动形在翻转第一周的过程中，点F,E,D,C,B,A对应的数分别

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7数上练技巧

为1,2,3,4,5,6,翻转6次为一次循环.因为2021+6=336……5,所以数

轴上2021这个数所对应的点是B点.故选B.

5.在数轴上，点P表示的数是见点表示的数是l-a我们称点是点P的“相关点”，已

知数轴上点4的相关点为&，点42的相关点为心，点4的相关点为人4,…，这样依次得到点

A2,A3I4，…，4n•若点41在数轴上表示的数是3则点&024在数轴上表示的数是—•

解析：点儿在数轴上表示的数是j则点4在数轴上表示的数是々=2,点心

21-1

在数轴上表示的数是七二-1,点心在数轴上表示的数是；；=5点4在数轴

1—21-(-1)2

上表示的数是2,点力6在数轴上表示的数是-1，…，由此得$2,-1依次循环.

因为2024+3=674……2,所以点4024在数轴上表示的数是2.故答案为2.

3数轴上数的变化规律问题

6.已知4,B在数轴上对应的数分别用处力表示，且Qb+150)2+g+10|=0,P是数轴上的

一个动点.动点P从原点开始第1次向右移动1个单位长度，第2次向左移动3个单位长度，

第3次向右移动5个单位长度，第4次向左移动7个单位长度，…，点P在移动过程中，第_

一次移动后与点A重合.

解析：点P第1次移动所得的对应点Pi表示的数为0+1=1,点P第2次移动所得的对应点P2表

示的数为1一3=-2,点P第3次移动所得的对应点尸3表示的数为一2+5=3,点P第4次移动

所得的对应点匕表示的数为3-7=-4,点尸第5次移动所得的对应点心表示的数为-4+9=5,

点P第6次移动所得的对应点26表示的数为5-11=-6,…，点P第九次移动所得的对应点心表

示的数为-(-1尸•儿观

察发现：当几为奇数时，点P对应的数为奇数几；当九为偶数时，点P对应的数为偶数-几因为(ab

4-150)2>0,|b+10|>0,且(出?+150)2+也+10|=0,所以

b+10=0,即b=-10,ab+150=0,即a=15,所以点4表示的数是15,点B表示的数是一

10.因为当九=15时，点匕5表示的数为15,所以点P第15次移动后与点力重合.

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7数上练技巧

数轴上数的变化规律问题

1.标出序列号.

2.①有的可对每个数同时加上或减去或乘或除以第一个数，成为新数列，再找出规律，并恢复

到原来的数列.

②有的可对每个数同加或减或乘或除以同一个数（一般为1,2,3,...）,成为新数列，然后

找出规律，再恢复到原来的数列.

③观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律.

7.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置（0点）出发，按向上、

向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如医所示，第1

次移动到41,第2次移动到第3次移动到…，第九次移动到4八，则二角形。424020的

面积是（）

—I42—5.6,9J10^13

八八八八

•••

o|it3t.4〔5上161r

°从34474411从12

A.幽B.505C.lonp.506

22

解析：由题意知，&&=1，因为4表示的数为2,“8表示的数为4,42表示的数为6,…,

所以可推导一般性规律：44n表示的数为2n，所以4020表示的数为1010,所以。4020=1010,

=xx

所以S三历形042%0207。&020xA2A3=-1010x1=505,故选B.

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7数上练技巧

2,含参数的一元一次方程

4解的关系问题

1.已知关于x的方程:(8-x)=7+x的解与方程罕一一=：+2a的解互为相反数,求Q的

值.

解：解方程*8-x)=7+%,得x=-2.

因为关于x的方程久8-x)=7+x的解与方程等-?=：+2a的解互为相反数，

所以方程竿一U=：+2Q的解为x=2.

£36

把％=2代入，得士受—---=74-2a,解得a=

23。9

5错解问题

2.晶晶在解关于x的方程等+6=等时，把6错写成1,解得％=1,并且晶晶在解题中没有

错误，请你正确求出此方程的解.

解；因为解关于x的方程号6=等时，把6错写成1,解得％=1,

所以把x=1代入学+1=竽，解得Q=1,

所以原方程应为一"4-6=平，解得％=—29.

6整数解问题

3.已知7九，八是有理数，单项式；-%“y的次数是3,方程(加+1)/+7n%一比+几+2=0是关

于n的一元一次方程，其中〃2美心

(1)求相，九的值；

解；由题意得几+1=3,m4-1=0,解得几=2,m=—1.

(2)若该方程的解是x=3,求t的值；

解：由(1)得n=2,m=-1,所以原方程为—x-+4=0.将x=3代入

得，-3-3t4-4=0,所以£=：.

«5

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7数上练技巧

(3)若该方程的解是正整数，求整数£的值.

解：因为n=2,m=-l,所以原方程为一%-比+4=0,所以x=因为£是整数，x是正

整数，所以£+1=1,2,4,所以£=0,1,3.

7解的个数问题

4.已知关于x的方程4+3ax=2a-7有唯一解，关于y的方程2+y=(b+l)y无解，判断关于

z的方程az=b的解的情况.

解：关于%的方程4+3ax=2a-7可以整理为3ax=2a—11.因为关于x的方程4+3ax=2a

-7有唯一解，所以QH0.关于y的方程2+y=(b+l)y整理得by=2.因为关于y的方程2+y

=(b+l)y无解，所以b=0,则关于z的方程az=8可解得z=g,所以z=0,即关于z的方程az

=h有唯一解，为，=0.

解的个数问题

三种形式:

0-x=0,方程有无数个解;

0,%=非零的数，方程无解;

非零的数・X-常数，方程有唯一解.

5.已知关于x的方程(a-+4b=0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程

片=1+1的解相同.

(1)求a,b的值；

解：因为关于x的方程(a-2)01+4b=0为一元一次方程，所以|a|-1=1,。一2二0,解

得Q=-2.当Q=-2时，方程为-4%+4匕=0,解得x=b.又因为两个方程同解，所以

—3=2—+1,解得b=l.

(2)若关于y的方程|m-1匹+几=a+1+2by有无数个解，求m,几的值.

解：把a=-2,b=1代入-l|y+n=a+1+2by,可得

|m-l|y+n=-1+2y,变形得-1|-2)y=-n-1.因为关于y的方程

-l|y+九=Q+1+2by有无数个解，所以-1|-2=0,-九一1=0,所以

m=3或一1,n=—1.

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7数上练技巧

3,方程的应用一动点问题

8距离问题

1.本数轴上，点4在原点的左侧，点B在原点的右侧，点4距离原点12个单位长度，点B距离

原点2个单位长度.

(D点A对应的数为____，点8对应的数为一,两点之间的距离为一;

解；因为点4在原点的左侧，距离原点12个单位长度，所以点/对应的数为-12,

同理可得点B对应的数为2,所以4B两点之间的距离为2-(-12)=2+12=14,

故答案为-12,2,14.

(2)若点P为数轴上一点，且8P=2,求4P的长；

解：分两种情况：①当点P在点8的右侧时，AP=AB+8P=14+2=16；②

当点尸在点B的左侧时，4P=48-8。=14-2=12.综上，4尸的长是16或12.

(3)若点N,Q,M同时向数轴负方向运动，点N从点4出发，点Q从原点出发，点M从点B出

发，且点N的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M的运

动速度是每秒2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时

三个点对应的数各是多少.

解：设运动的时间为£秒，则动点N,Q,M对应的数分别为-12-6£,-8t,

2-2£.分三种情况：①当NQ=QM时，一8£-(一12-6£)=2-2£-(一&),所

以t=此时，点可对应的数为一12-6乂9=一195点。对应的数为

44

-8x：=-10,点M对应的数为2-2x)=-0.5.

44

②当NQ=NM时，-12-6£-(-8。=2-2t一(一12-6。，所以£=一13(舍).

③当MN=MQ时，可得(2-2t)-(-12-6t)=(2-2t)-(-8t),解得t=6,

此口寸N点对应的数为-12—6x6=-48,Q点对应的数为一8x6=-48,M点对

应的数为2—2x6=-10.

综上，点N对应的数为-19.5,点Q对应的数为-10,点例对应的数为-0.5或点N对

应的数为-48,点Q对应的数为-48,点M对应的数为-10.

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7数上练技巧

距离问题

1.表示终点:起点位置表示的数为劭，终点位置表示的数为劭士区（”表示运动速度，£表示运

动时间，向右为加，向左为减）.

2,求距离:①相对位置确定时距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数；

②相对位置不确定时:距离=|b-a|（Q”分别表示始点与终点所表示的数）.

3.解方程.

相遇问题

1.表示终点:起点位置表示的数为劭，终点位置表示的数为劭士"表示运动速度，£表示运

动时间，向右为加，向左为减）；

2.求距离:两点同时相向出发，相遇时,Si+S2=起始位置之间的距离，即+u2t=\aQ-b0\；

3.解方程.

9相遇问题

2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点48表示的数分别为%b,则4B两点之间

的距离表示为48=口一外如：点4表示的数为2,点8表示的数为3,M=|2-3|=1.

（D问题提出：填空：如图，数轴上点4表示的数为-2,点8表示的数为13,4,8两点之间

的距离4B=—,线段的中点表示的数为

---A••B•A

-2013

解：因为点人表示的数为一2,点B表示的数为13,所以AB=|13-（-2）|=15,线段AB的中

点表示的数为等=£.故答案为15,青

（2）拓展探究：在（1）的条件下，若点P从点4出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向

右运动，同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为£秒«>0）.

①用含£的式子表示：£秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为；

解析：t秒后，点P表示的数为—2+33点Q表示的数为13—2£.故答案为—2+3313—2t.

②求当£为何值时，P,Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数.

解：根据题意得一2+31=13-2t,解得t=3,相遇点所表示的数为一2+3x3=7.

所以当£为3时，P,Q两点相遇，相遇点所表示的数是7.

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7数上练技巧

（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果P,Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自

到达线段48的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段48上做往复运动，那么再经

过多长时间P,Q两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数.

解：由已知得点P