相似三角形-2026年中考数学一轮复习（原卷版）

模块四三角形

第四讲相似三角形

知识梳理夯实基础

知识点1:比例线段及比例性质

1.比例线段

对于四条线段。，b,c,d,如果其中两条线段。，力的比与另两条线段c,d

的比相等，即a:〃=c:d,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，

2.比例性质

①比例的基本性质：—=—<=>=be;

bd

②反比定理：9，=

bd。ac；

③更比定理：@=£=@，（或&，）；

bdcdba

④合比定理：2=£=

bdbd

⑤分比定理：3=£=i=U；

bdbd

⑥合分比定理：@=£=i=*；

bda—bc-d

⑦等比定理：幺=£=...=々力+d+…+"0）0"之上

bdnb+dT\-nb

3.比例中项

若4=2或a：b=b：c,b叫作a,c的比例中项.

bc

4.黄金分割

把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与

较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线设黄金分割.即AC2=A*8C,

AC=叵」AB40.618A3；一条线段的黄金分割点有两个。

2

知识点2:平行线分线段成比例

定

1.平行线等分线段定理：三

理当乙几任，且

条平行线截两条直线，如果

或A8=8C时，有

在其中一条直线上截得的线

基DE=EF

段相等，那么在另一条直线O

本上截得的线段也相等。

事当川14屉时，有

实2.基本事实：两条直线被一AB_DE

组平行线所截，配得的对应BC~EF

线段成比例。ABDE

AC~DF

当DE//BC时，

平行于三角形一边的直线与

有AD_AE

推其他两边（或两边的延长线）

H/__\CDBEC'

论相交，所得的对应线段成比

四二丝等

例。XABAC^c

B乙----------------

知识点3：相似三角形的性质

1.相似三角形对应角,对应边。

2.相似三角形对应线段（边，高，中线，角平分线）的比等于

3.相似三角形周长比等于

4.相似三角形面积比等于

知识点4:相似三角形的判定

2.判定三角形相似的思路

r有平行截线——用平行线的性质找等角

另一对等角

有一对等角，找

该角的两边对应成比例

（夹角相等

有两边对应成比例,找第三边对应成比例

（一对直角

思路〈

一对锐角相等

直角三角形，找

斜边、直角边对应成比例

顶角相尊

等腰■三角形，找一对底角相等

底和膜对应成比例

1.常见的相似模型

（1）平行线型

A

A型

（2）斜交型

反A共加刈反A共向共边取

若ZJ=22,则△[〃4sAABC.

H乙力--0CH乙/——-S（：（/））

双垂H共向型双垂仃共角共边型

此种情况下,AIDES△ABC.

（3）一线三等角型

若乙B=乙ACE=乙DJ则△ABC-ACDE.

知识点5：相似多边形

1.定义

两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，边对应成比例，那么这两个多边

形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.

2.性质

（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

直击中考胜券在握

1.（2021•福建）如图，面积为1的等边三角形A8C中，。,£,“分别是48,BC,C4的

中点，则AD所的面积是（）

2.如图，每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△八3c相似的

是（）

A.3B.2C.4D.5

4.（2021•四川省遂宁中考）如图，在阴8c中，点。、£分别是A8、AC的中点，若阴DE

的面积是3cm2,则四边形8DEC的面积为（）

A.12cm2B.9cm2D.3cm2

5.如图，己知直线aElbSc,若A8=9,8c=6,DF=10t则DE的长为（）

6.（2021•绍兴中考）如图，树A8在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高?O=5m,

树影AC=3m,树4B与路灯。的水平距离AP=4.5m,则树的高度A8长是（）

C

310

A.2mB.3mC.-mD.—m

23

人/）Ap\

7.（2021•巴中中考）如图，△ABC中，点。、£分别在，8、AC上，且==差二%，下列

DBEC2

结论正确的是（）

BC

A.DE：BC=1：2

B.△ADE与△A8c的面积比为1：3

C."DE与△ABC的周长比为1：2

D.DEIIBC

8.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到.矩形A8CO沿E/对开后，再把

AF）

矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么竽等于（）

A.0.618B."C.41D.2

2

9.（2020牡丹江市中考）如图,在矩形A8CO中，AB=3fBC=1（）,点E在8C边上，DF_AE,

垂足为F.若DF=6,则线段用的长为（）

A.2B.3C.4D.5

10.如图，在M8C中，中线8E,8相交于点。，连接。&下列结论:①当=②今aJ;

BC1建COB2

其中正确的个数有

ABOB3AAM3

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.（2021•湖南省湘潭市中考）如图，在aAAC中,点。，£分别为边A8,AC上的点,

试添加一个条件：,使得△/1/龙与△八3C相似.（任意写出一个满足条件的即可）

12.（2021•云南中考）如图，在△A8C中，点D,E分别是8cAe的中点，A。与庞:用交

于点F,若BF=6,则BE的长是.

13.（2021•山东烟台中考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如

图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆A8,从木杆的顶端8观察井水水岸。，视线

与井口的直径人C交于点£,如果测得46=1米，47=1.6米，AE=0.4米，那么8为

____________米，

14.（2021•广西百色中考）如图，财8c中，AB=ACf08=72°,MC8的平分线CD交人B于

点D,则点。是线段A8的黄金分割点.若AC=2,则BD=.

15.如图所示，在平行四边形A8CQ中，F为BC中点,延长A。至E,使。七:AO=1:3,

连结EF交DC于点G,则SAQEG:SMFG等于.

E

aGc

AB

16.如图，有一块形状为的斜板余料.已知N4=90°,AB=6cmtAC=Scmf要

把它加工成一个形状为oDEFG的工件，使W在BC上，D,£两点分别在/W,4c上,

且OE=5c〃?，则oOEAG的面积为cm2.

17.如图，在A/WC中，BC=120,高AO=60,正方形£FGH一边在上，点七，/分

别在A8,AC上，AD交EF于尽N,则AN的长为—・

18.（2021・湖北随州中考）如图，在用“IBC中，NACB=90。，。为AB的中点，0。平分

乙40c交AC于点G,OD=OAt8。分别与AC,OC交于点E,F,连接A。，CD,则

空的值为;若CE=CF,则g的值为.

19.（2021•玉林中考）如图，在AABC中，。在AC上，DE/!BCtDF//AB.

E

B

(1)求证：田△•£/)；

iS

(2)若8=：AC,求产的值.

AO。

20.如图，在MDC中，点B是边DC上的一点，团DAB=E1C,—=-.若EADC的面积为18cm,

Z-X。

21.如图，在0ABe中，点D,E分别在边AB,AC±,0AED=0B,射线AG分别交线段DE,

口「不占匚「ADDF

BCj点F,G,且R---=---

ACCG

(1)求证：团ADF瓯ACG;

⑵若噌《求您的值・

22.如图，在AABC与ADEC中，已知MCB=SDC£=90。，AC=6,8c=3,8=5,C£=2.5,连接

ADfBE.

(1)求证：△ACDQABCE；

(2)若回8CF=45。，求AACD的面积.

23.（2021•湖北省黄冈中考）如图，在和gEC中，Z4=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求证：/XAB