八年级数学寒假讲义：分式方程（教师版）

可化为一元二次方程的分式方程

知识结构

模块一：分式方程及其解法

⑥）知识精讲

1、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2、解分式方程的方法

通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解.

3、增根的概念

分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0,那

么这个解就是方程的增根.

4、解分式方程的一般步骤

（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；

（3）检验.有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于

0,则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0,则这个根为原方程的根，从而

解出原方程的解：②直接代入原方程中，看其是否成立.如果成立，则这个根为原方程的根，

从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解.

5、分式方程组的概念

由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组.

6、解分式方程组的方法

找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后

进行检验.

⑥例题解析

［例］】在=l（.r+l）+-（x-l）=4；--=1；2+2112=7；_1（3%一7）中，分式

332xxxx

方程有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【难度】★

【答案】B

【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分

母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B.

【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母.

【例2】分式方程一的最简公分母是

.V+XX-Xx--1

【难度】★

【答案】V-X.

【解析】分式方程中三个分母位置上分别为丁+x,r-x,A-2-1,分解因式的结果分别

为A（X-1）,（x+l）（x-l）,由此可得方程的最简公分母为X（X+1）（X-1）=V-X.

【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即

为分式方程的最简公分母.

【例3】直接写出下列分式方程的根:

【难度】★

【答案】（I）x=2；（2）无解；（3）无解；（4）x=0.

【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得x=2,

检验得x=2是原分式方程的根；

（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得x=l,检验得x=l为方程的增根,

即方程无解；

(3)约分得x+l=2,解得x=l,检验得x=l为方程的增根，即方程无解.：

(4)约分得x+l=l，解得x=0,检验得x=0是原分式方程的根.

【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根.

【例4】用换元法解方程6(/+，?|+5(工+』］-38=(),设)，=%+」，则方程变为()

A.6v2+5y-38=0B.6y2+5y-40=0

C.6/+5v-26=0D.6y2+5y-50=0

【难度】★

【答案】D

［解析Jy=x+-，则有x2+—=-2=)，2-2,原方程即为6(/一2)+5)，-38=0,

展开整理即为6旷+5)，—50=0,故选D.

【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化.

【例5】解方程：

336

3x-l4x+2

x4.r

3x+2"+2

x2-x-22x+2x-2

【难度】★★

【答案】(1)x,=-,x,=-9；(2)x=0,^=--：(3)无解.

317

【解析】(1)方程两边同乘4(3］一20+2),得4(x+2)—(3x—l)(x+2)=8(3x—1),整理得

3-十25人-18=0,解得x=［,f=-9,经检验，x,=1,9=一9都是原方程E勺根；

(2)方程两边同乘(3x+2)(5.r+2),得x(5x+2)=4x(3x+2),整理得7丁+6》=0,

解得：苔=0，经检验，x,=0,巧=-9都是原方程的根：

77

(3)方程两边同乘2(1+1)(工一2),得6+(工+3)(工-2)=2(1+1),整理得x2-x-2=0>

解得：％=-1,毛=2,经检验，5=-1,七=2都是原方程的增根，即原方程无解.

【例6】解方程：

,，\1-3x-x2

（1）——=2+----；

1-X1-A2

/八4x,22

X--42-xX+2

/,、32x1,

（3）----+—；——+-----=1.

2x+l4/-12-4%

【难度】★★

【答案】（1）x=-—；（2）x=6；（3）x=—.

34

【解析】（1）方程两边同乘l-x2,得1+工=2（1-/）+3]_/，整理得3f_2x-l=0,

解得：玉=一：，匕=】，经检验，毛=1是原方程的增根，即原方程的根为1=-；;

（2）方程两边同乘4,M4x=x2-4-2（x+2）+2（X-2）,整理得f—4x—12=0,

解得：A=6,七=-2,经检验，七=-2是原方程的增根，即原方程的根为x=6；

（3）两边同乘2（4d—1）,得6（2x—l）+4x—（Zt+1）=2（4£—1）,整理得

8f-14x+5=0,解得：x,=l,x,=-,经检验，内=」是原方程的增根，

,2-412

即原方程的根为

4

【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根.

【例7】已知关于x的方程上吆=,加一3有增根,求加的值.

x-lx^+x-2

【难度】★★

【答案】"?=12或m=3.

【解析】分式方程两边同乘V+x—2,得（％+2）2=机-3,分式方程有增根，由/+工一2=0,

解得；为=1,勺=2,即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得切-3=9或

，〃一3=0,解得〃2=12或"？=3.

【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0

的未知数的值.

【例8】已知关于x的方程上三=丝二—1无解，求利的值.

x-55-x

【难度】★★

【答案】m=3.

【解析】分式方程两边同乘工-5,得7-x=x-〃L(X-5),整理解得：x=〃z+2,因为原

分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得X=〃7+2=5,解得〃?=3.

【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根.

【例9】已知关于x的方程9-3=0的根是负数，求〃的取值范围.

x+\

【难度】★★

【答案】av3且awl.

【解析】分式方程两边同乘x+1,得。+x-3(x+l)=0,整理解得：x=F，方程的根是

负数，则有x=g〈O,得a<3,同时分式方程的根不能为相应增根，即％=巴口。-1,

22

得由此即得a<3且。工1.

【总结】考查分式方程的解满足条件的求解.，注意方程的解不能为相应的增根.

【例10］解方程：(!)X2+3A-^-=8；(2)2(X+，］+5=0.

X2+3XIX)21X)

【难度】★★

【答案】(1)%=一5,々=2,=-1>x4=-2；(2)玉=1,x2=2>七=(.

【解析】(1)令f+3工=«,原方程即为〃-0=8,两边同乘。整理得/一&/-20=0,

a

解得：4=10,a2=—2；由f+3x=10,解得：9=-5,x2=2：

由f+3x=-2,解得：X)=-1,x2=-2；

经检验，x,=-5,9=2,七=-1,匕=-2都是原方程的根；

(2)令x+'=a,原方程即为，/一2〃+5=0,解得q=2,a)=2：

x22

由x+'=2,整理得X，—2x+1=0,解得：x=x>=l；

x

由x+■!*=*,整理得2d—5x+2=0,解得玉=2,x2=—；

x22

经检验，x,=l,々=2,都是原方程的根.

【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结.

【例11】解方程：⑴5(r+1)+6(：+1)=>：(2)—+4=—(---).

x+1x2+l9x233x

【难度】★★

，乂士”一、、._3+后.._3->/17

【口案1(1)%—,Xj-；

22

(2)»=3+V2T,x2=3-V2T,』=-2,x4=6.

【解析】(1)令上丑=〃，原方程即为54+9=17,两边同乘〃整理得5/—174+6=0,

x+la

解得：4=2,.,=3；由口=2,整理得5/一2X+3=0,方程无解；

由——-=3»整理得x2—3工一2=0,解得：X]=3+=-~~;

x+122

经检验，玉=±亚，工,=三痘都是原方程的根；

2'2

/C、Ax4niiiW"x16(x4、8,8rg.joprt2810

(2)令-----a,则力一+—=-----+—=«"+—,原方程即为tr+-=一

3x9xx)3333

整理得3/-10。+8=0,解得：q=2,=—；

由土一9=2,整理得V-Gx-lZnO,解得：=3+721,X2=3->/2I；

3x

丫44.

由----=—,整理得f一4工-12=0,解得：％=-2,x=6；

3x32

经检验，玉=3+后，9=3-，五，w=—2,之=6都是原方程的根.

【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程.

=33x+—!—=20

x+yx-y)1

【例12】解方程组：（1）(2)

53

=82x---=-5

x+yx-y

【难度】★★

x=5

x=0

【答案】（1）<(2)6•

y=l

ii4〃+/)=4n=1

【解析】(1)令'=〃，­=b,原方程组即为「.「。，解得：",

x+yx-y[5"3O=8[/?=-!

由此可得一!一二1—=-l，由此得「+''=〔解得:x=0

x+yx-y[x-y=-l.V=l

经检验，是原分式方程的根;

）'=1

⑵令51e原方程组即为f《3丫一+ZJ=；2…0’解得：仁Y=55'由此可得：六1=5,

[x=5[x=5

解得：）,=9,6,经检验，6是原分式方程的根•

5y=-y=-

■5I5

【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验.

【例13】解方程组:

/1、2534x+11x+21

（1）----+-----=------+-----；(2)-----=-----------

x+8x+9x+\5x+6x+2x+7x+3x+6

【难度】★★

【答案】（I）玉=6,占=一至；（2）x=--.

42

2(x+15)-3(x+8)4(x+9)-5(x+6)

【解析】（I）对分式方程移项通分得

(x+8)(x+15)(x+6)(.r+9)

-x+6一x+6

展开即得

幺+233+120x2+15x+54

由此即得一%+6=0或Y+23x+120=x2+i5X+54,

解得：x.=6,经检验，％=6,为=-史都是原分式方程的根;

'4'4

（2）对分式方程变形得1------—=1--!.....-,

x+2x+7x+3J+6

由此得一!一+—!一=一!一十—!一，两边分别通分即得，2X+9=,2X+9,

x+2x+7x+3x+6A-+9x+14x~+9x+18

两边分母不同，则必有2x+9=0,解得工=—2,经检验，x=-2是原分式方程的根.

22

【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算.

【例14】解方程：一-X2-2=0.

x~+5

【难度】★★

【答案】X,=1»Xj=-1.

【解析】令丁+5=4,见有f=a-5,原方程即为9+〃-5-2=0,

a

两边同乘。整理，得7。+6=0,解得：3=1,a>=6；

由寸+5=1,方程无解；由x?+5=6,解得：Aj=1»%,=-1；

经检验，％=1,9=-1都是原方程的根.

【总结】考查川换元法解分式方程，注意取值范围和增根.

【例15］。为何值时，关于工的方程也丑=。无解？

x+1

【难度】★★

【答案】4或4=0.

2

【解析】分式方程两边同乘x+1,得：2a+l=a(x+l),展开移项得ar=a+l,

当〃=0时，方程无解；当时，x=—,方程无解，即得不=也=-1,

aa

解得。=」：

2

综上，a=——或a=0.

2

【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未

知项系数为。的情况.

【例16］已知关于x的方程」_+七三+学虫=0只有一个解，求女的值及这个解.

x-2xx2-2x

【难度】★★★

71

【答案】k=——时，x=x=—或攵=T时，x=l或&=一8时，x=-\.

21-2

【解析】方程两边同乘f-2x,得/+(1-2『+21+&=(),展开整理得：2f-23+〃+4=0,

分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行

分类讨论：

①当整式方程有两相等实数根时.，△=(-2>-4x2仕+4)=0,解得：k=《

此时方程为2W—2x+'=0,解得：%=乂='，此时分式方程只有一个解，符合题意；

②当整式方程有一根为分式方程增根x=0时，此时有2+4=0,解得：k=-A,

此时方程为2f一2x=0,解得：X)=0,x2=1,此时分式方程只有一个解戈=1,

符合题意；

③当整式方程有•根为分式方程增根x=2时，此时有2x2?-2x2+A+4=0,

解得：攵=一8,此时力程为2丁—2工一4=0,解得：X1=2,X,=-1,

此时分式方程只有一个解x=-l,符合题意；

综上，上=-二或Z=T或2=-8.

2

【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分

式方程的增根的情形.

【例17］解关于x的方程：2(7+与)一3。+3=1

XX

【难度】★★★

【答案】芭=2,£.

【解析】令x+」=a,则有+2,原方程即为2(/-2)-3a=l,

XXX)

展开整理得2.2—3々-5=0,解得：J=—1,勺一二；

由x+'=T,整理得V+x+l=0,方程无解；

x

由x+，=2,整理得2/一51+2=0,解得：X,=2,x2=-；

x22

经检验，玉=2,巧=g都是原方程的根.

【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验.

【例18］解关于x的方程二=5-幺丝0(a+g0).

h+xa-x

【难度】★★★

【答案】a-ba-4b

X'=-5

【解析】令二=k,原方程即为&=5-±,两边同乘k整理，得公-5%+4=0,

b+xk

解得：仁=1,A,=4；由―-=1,又。+人工0,可解得：x=-.....;

b+x2

由匕=4,又a+〃工0,可解得：v=£zz^.

b+x5

经检验，x1=—,%,=@二也都是原方程的根.

2~5

【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程.

【例19】已知方程("+片-1)2+」_:+2/=1有实数根，求实数。的取值范围.

(X+4).

【难度】★★★

【答案】一』工々工，月."=0.

22

2

【解析】展开得/(x+a)2-2ar-2/+1+=1丁+2/=1,根据等式性质移项得

(…)’

2

a2(x+a)~-2ax+——--=0,即为a(x+a\-=0,由此得a(x+a)———=0,

(x+4x+ax+a

移项得a(x+=x,展开整理得ax2+(2(『一1卜+"=0,

当〃=0时，方程有实数根x=0是分式方程的增根，应舍去；

当〃工0时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得

%+%=-丝1='-24,可知内、乂不可能同时为-，，分式方程有实数根,

aa

则相应的整式方程应满足A=(2cr-l)2-4«./=T/+整0,得一;w〃4g；

综上，实数〃的取值范围为：-且。=0.

22

【总结】考杳分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可.

模块二分式方程应用题

⑥）知识精讲

I、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”

（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；

（2）利用公式、定理寻找相等关系；

（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系.

例题解析

【例20】要在规定口期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则

要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则愀好按

期完成.那么求规定日期为“天的方程是（）.

_23「2x+2,c2x,

A.-+—=1B.—=--C.-1------=1D.-1-----=1

xx+3xx+3xx+3xx+3

【难度】★

【答案】D

【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率X工作天

数，乙工作天数为x天，由此可知选D.

【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间.

【例21】某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15

个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意

列出的方程中，错误的是()

«80300-80,300-80,

A.----+-------=6Bn•-------=o

x-15xx-15

QH80

C.(6-—^)x+8O=3OOD,X,300-8015

o-

X

【难度】★

【答案】B

【解^析】略

【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进

行列方程的应用.

【例22】甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成.如果单独工作，甲队比乙队少用

5天完成.两队单独工作各需多少天完成？

【难度】★★

【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成.

【解析】设甲单独需用/天完成，则乙单独需用（x+5）天完成，

2

依题意可得—--1=1,整理得x—7x—30=0,解得：x1=-3>x,=10♦

\x^+5J

经检验，与=-3,马=10都是原方程的根，但芭=-3不合题意应舍去，即得x=10,

即甲单独需10天完成，乙单独需10+5=15天完成.

【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题.

【例23】登山比赛时，小明上山时的速度为。米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和卜

山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度？

【难度】★★

【答案】二竺.

a+b

【解析】设小明上山的路程为四,则整个过程中小明总行程为2sm,

根据平均速度=总行程♦总时间，即得平均速度】，=上一=当.

一s+।一sa+b

ab

【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程♦总时间，与行程远近无关，注意平均

速度的求法.

【例24】甲、乙两人分别从相距9千米的A、3两地同时出发，相向而行，1小时后相遇.相

遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到8地比乙到4地早27分钟，求两人的速

度各是多少？

【难度】★★★

【答案】甲速度为5初乙速度为4。〃//?.

【解析】设甲速度为所"，则乙速度为（9-力切?/〃，27rnin=^/2,

依题意可得-=—>整理得x2+31x-180=0,解得：x=-36>=5,

9-xx20

经检验，Xj=—36＞々=5都是原方程的根，但内=-36不合题意应舍去，即得x=5.

即甲速度为'乙速度为9-5=4Am/〃.

【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条

件列式进行求解.

【例25】甲、乙两辆车同时从4地出发开往距A地240千米的8地，结果甲车比乙车早到

了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、

乙两车的速度各是多少？

【难度】★★★

【答案】甲速度为80初?"?，乙速度为60包?/〃.

【解析】设甲车人力到达B地，6()min=\h,20min=-/z,

3

依题意可得芈一""二？。，整理得3f+2x—33=0,解得玉=-1,X2=3,

x-1"I3

3

经检验，百=-弓，G=3都是原方程的根，但百=-日不合题意应舍去，即得x=3,

可得甲速度为生=^km/h,乙速度为空=60kn"h.

33+1

【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程同题的基本等量关系一个条件作设一

个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便.

【例26】某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需

货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5

个月完成了这宗业务.求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服？

【难度】★★★

【答案】3万套.

【解析】设改进操作方案后每月能生产x万套衣服，则改进之前每月生产(x-l)万套，

依题意可得二匚+生1=5,整理得5f-&+9=0,解得：x.=-,x,=3,

x-1x5

经检验，x.=|,9=3都是原方程的根，但％不合题意应舍去，即得：x=3,

即改进操作方案后每月能生产3万套衣服.

【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解.

随堂检测

【习题1】已知方程：（1）三2=1；（2）—=2；（3）；（4）叵一x=3,

x-2x-\Vx）2

其中是分式方程的有.

【难度】★

【答案】（I）、（2）、（3）.

【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足

条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）.

【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母.

【习题2】当x取何值时，分式方程上+_L=1的最简公分母的值等于（）？

x-\x-2

【难度】★

【答案】=1或X=2.

【解析】分式方程的最简公分母为（工-1）"-2）,最简公分母值为0,即（x-l）（x-2）=0,

解得：4=1或工=2.

【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即

为分式方程的最简公分母.

【习题3】分式方程*二+2幻+岑二2=]|,如果设三0=）,,那么原方程可以化为关

厂―1X-+2.rr-1

于y的整式方程为.

【难度】★

【答案】8/-lly+3=0.

【解析】£启=），，则芍二上二=,，原方程即为8y+3=11,整理化作关于y的整式方

x~-1x~+2xyy

程即为8_y2—]]），+3=0.

【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式.

【习题4】解方程:

,I、6x153

（1）———=1+---+----；

x2-\\-xx+1

（2）—--^-=—；

x-2x--4x+2

/c、4x-3x-45

（3）+-----------------.

x-5\2-xx~-17x+60

【难度】★★

【答案】（1）x=9；（2）x=-5；（3）X]=2,x2=9.

【解析】⑴方程两边同卖f—l,得6X=X2_I_5（X+1）+3（X-1）,整理得X2-81-9=0,

解得：内=-1，占=9，经检验，5=-1是原方程的增根，即原方程的根为x=9；

（2）方程两边同乘犬-4,得（x+2『-16=x-2,整理得丁+3,.1（）=0,

解得：A=2,七=-5,经检验，玉=2是原方程的增根，即原方程的根为x=-5；

⑶两边同乘丁-17工+60,得4（12）-（工-3）（1-5）=工-45,整理得/-15+18=0,

解得“"$=2,七=9,经检验，x,=2,超=9都是原方程的根.

【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根.

【习题5】解方程：——十三土2=31.

x+1x3

【难度】★★

【答案】x,=l->/7,^=1+77.

71

【解析】令一一=〃，原原程即为。+±=3!,整理即为3a2-10a+6=0,

x+\a3

5+"5-y/l

解得:

6/1-3

由二5+不,解得：X=I—y/l；由X=Z.,解得：X=1+出；

A+13x+\3

经检验王=1-后，々=1+后都是原分式方程的根・

【总结】考查利用换元法解分式方程.

---3---+----1--=-1-3

3x+2y4x-y12

【习题6】解方程组

46

3x+2yy-4.v

【难度】★★

10

x=—

【答案】1；.

i11

【解析】令一!—=。，一!一=》，原方程组即为"+”二

,解得：、

3x+2y4x-y

b=

10

=--

由此可得3x+2「4去分母得产+2:4,解得一II

1二！4x-y=3

4x-y3

10

X=­

经检验，11是原分式方程的根.

7

y=一

III

【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根.

【习题7】若分式方程2-竽1=产生增根，求机的值.

x+\x~+xx

【难度】★★

【答案】〃?=—2或/〃=1.

【解析】方程两边同乘/+X，得2/_。〃+1)=(%+1)2,展开整理得/一2工一，〃一2二0,

分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类

讨论：

①整式方程有一根为分式方程增根x=0时，此时有-“7-2=0,解得：〃?=-2；

②整式方程有一根为分式方程增根x=T时，此时有(-1)2-2乂(-1)一切-2=0,

解得："7=1；

综上，—2或〃2=1.

【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根.

【习题8】甲、乙两地间铁路长400千米,现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，

因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时.求火车原来的速度.

【难度】★★

【答案】75kmih.

【解析】设火车原来的速度为耳7〃/〃，

依题意可得理---=2,整理得丁+45工-9000=0,解得：X,=-120,&=75,

xx+45

经检验，玉二720,天二75都是原方程的根，但玉=720不合题意应舍去，即得x=75,

即可得火车原来速度为15kmih.

【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一

个条件列式进行求解.

【习题9】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市

政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%,而且要提前1年

完成任务.经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万方，

求原计划平均每年的绿化面积.

【难度】★★★

【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩.

【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x万亩，则新计划每年(x+20)万亩，

依题意可得剪20°x(1+20%)=],整理得/+604/000=0,

xx+20

解得：x,=-100,毛=4()，

经检验，内=-100,&=4()都是原方程的根，但％=-10()不合题意应舍去，即得x=4O,

即原计划平均每年的绿化面积为40万亩.

【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解.

【习题10]解方程：1(A-4)2=-12(-1V+-!-)+^

124尸3x3

【难度】★★★

【答案】百=1+近，x2=l-x/7,刍=3+后，x4=3-715

【解析】方程两边同乘12展开得丁-84+]6=-当-史+16,

XX

根据等式的性质移项变形得+12=0,

因式分解得：fx---2Yx---61=0,由此可得无一9一2=0或彳一9一6=0；

IX八XJXX

由犬一自一2=0,整理得/一2工一6=0,解得：X,=l+x/7,X2=l-V7；

x

由工一9一6=0,整理得丁一6刀一6=0,解得：玉=3+妪，X2=3-Vl5；

X

经检验，Xj=1+77,X2=l-币,鼻=3+而，&=3-岳都是原方程的根.

【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结.

5.r-96x-84192x-2\

【习题II】解方程:--------------1-----------=-----------------F-----------

x-19x-9x-6x-8

【难度】★★★

【答案】x=—

14

1,I,535

【解析】对分式方程变形得5

x—19x—9X—6x—8

1155

根据等式的性质可变形得

.¥-19-7^9-7^8-7^6*

1010

两边分别通分即得

x2-28x4-171x2-I4.r+48

107

由此可得/28x1171=/1公卜48,解得；x=—

14

经检验，］=世是原分式方程的根.

14

【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算.

【习题12］已知关于x的方程」一+，_=,勿+2有增根,求公

x—1x—2x*—3x+2

【难度】★★★

【答案】。=一3或4=—2.

2

【解析】方程两边同乘x2-3x4-2,得工-2+。(工-1)=2。+2,展开整理得(a+l)x=3〃+4,

当〃+1工0,即"-1时，得工=在上，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论:

4+1

①整式方程根为分式方程增根x=i时，此时有网9=1,解得〃=-3；

4+12

②整式方程有一根为分式方程增根x=2时，此时有细三=2,解得。=-2；

a+\

3

综上，a=—或4=一2.

2

【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根.

【习题13]已知：关于x的方程9+（42一7工一2£+2〃+12=0只有一个实数根，求&

XX

【难度】★★★

【答案】a=2或。=4.

4

【解析】整理原方程得（/+0[-7（工+3）+12=0,因式分解得（l+色_3Mx+0-4）=0,

由此可得1+0一3=0或1+且一4=0,分别整理得：x2-3x+a=0^x2-4x+a=0,

xx

两方程根的判别式分别为劣=9-4a,4=16-4。.

因为方程仅有•实数根，所以9-4〃=0或16-4。=0，

解得：a=2或〃=4.

4

【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分

析转化，解决问题.

课后作业

【作业1】下列哪个分式方程（）的根是x=2.

A.----=2B.—---=2C.—-1=0D.-^=^—

xx+1x+1xJ+1x-2x-2

【难度】★

【答案】C

【解析】根据分式方程解的定义，代入C选项使得方程左右两边相等且有意义，故选C.

【总结】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右两边相等即可.

【作业2】用换元法解方程组；；二时‘如果设-----------=〃‘-----------那

么原方程组可以化为二元一次方程组

【难度】★

5”-6v=1

【答案】—

x>'+1w=I-2v

【解析】略

【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程组换元.

【作业3】已知方程3（/十二）+5+3-4=0,若设x+」=y,则原方程化为（）.

x'XX

A.3/+5.y-4=0B.3y2+y-IO=O；

C.3y2-5），+2=0D.3/+5y+2=0

【难度】★

【答案】B