高考数学 解析几何 直线与圆、圆与圆的位置关系 （学生版）

直线与圆、圆与圆的位置关系

激活思维

1.（教材经典题改编）圆（X—1）2+。+2）2=6与直线2x+y—5=o的位置关系

是（）

A.相切B.相离

C.相交过圆心D.相交但直线不过圆心

2.（教材经典题改编）已知直线x+小），-2=0与圆f+V=4相交于A,8两

点，则弦A8的长度是（）

A.3/B.2s

C.2D.1

3.（教材经典题改编）（多选）已知圆Ci：x2+y2=4,圆。2：r+y2—8x—6y+

16=0,则下列说法正确的是（）

A.圆G与圆C2相交B.圆。与圆C2外切

C.两圆的圆心距为5D.两圆的圆心距为3

4.（教材经典题改编）圆f+），2—4x=0在点P（l,小）处的切线方程为

5.已知圆Oi：1+）?=5与圆。2：F+y2—4y=0交于A,B两点,则

\AB\=.

聚焦知识

1.直线与圆的位置关系

22

设直线/：Ar+Bv+C=O（A+B^O）,圆C：（1一〃）2+°，一份2=户。＞0）,d

为圆心①，加到直线/的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方

程的判别式为1.

方法位置关系几何法代数法

相交d___________rA________0___

相切d___________rA________0___

相离d___________rA________（_）__

2.圆与圆的位置关系

设圆。1：（/—〃l）2+（y—/?l）2=r?S>0）,圆。2：（工一〃2）2+。，一比）2=匹6>0）.

方法几何法：圆心距d与ri,n.代数法：两圆方程联立组成

位置的关系方程组的解的情况

外离—________解

外切—________实数解

相交i一________实数解

内切d=___________（n丰n）一组实数解

内含0d1八—n|（门W9）无解

3.几个常用结论

（1）圆的切线方程的常用结论

①过圆f+./nr2上一点PCro,.V0）的圆的切线方程为

②过圆（•¥—。）2+6—与2=户上一点尸我0,冲）的圆的切线方程为（九0—〃）（/一〃）

+（yo-b）（y—b）=r2.

③过圆1+.俨=/夕I、一点历（xo,yo）作圆的两条切线，则两切点所在直线1勺方

程为xox+）梦=r.

（2）圆Ci：1+）2+。/+£；1），+尸1=0与圆G：『+），2+£）以+£>2），+尸2=0相

交时，公共弦所在直线的方程为（。1-/>2）.丫+（E1—氏）），+尸I一尸2=0.

题型突破思维拓展

举题说法

目涮1直线与圆的位置关系

例1（2021•新高考II卷）（多选）已知直线/：ax-\~by—r=0与圆C：f+）?

=产,点AQ,切，则下列说法正确的是（）

A.若点4在圆C上，则/与圆。相切

B.若点A在圆C内，则/与圆。相离

C.若点A在圆。外，则/与圆C相离

D.若点八在直线/上，贝I"与圆C相切

・总结提燎A

判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与厂的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用」判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆

相交.

变式1(2025•新高考I卷)若圆f+。，+2)2=/(r>0)上到直线)，=#x+2

的距离为1的点有且仅有两个，则厂的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(3,+8)D.(0,+8)

目帧同圆的弦长、切线问题

视角1弦长问题

例2-1(2023•新高考I【卷)己知直线/：工一〃少+1=0与圆C：(x—1A+

Q

产4交于4,8两点，写出满足“△ABC的面积为”的根的一个值:.

<总结提燎A

弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二

次方程.在判别式/>0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长/=2村户一心.

变式2—1(1)(2025・泰州一模)已知直线y=kx+3与圆2)2+()，-3>=

4相交于A,5两点，若［48|22小，则实数々的取值范围为()

A.（—8,一小［5小,+°0）

B•(-8,-阴U停+8

C龙回

C，L3，3」

D.D，小］

(2)已知圆C：。-1)2+()，+2)2=16,过点0。1)的动直线/与圆C相交于

M,N两点，当网朗=2仃时，直线/的方程为.

视角2切线问题

例2-2(1)(2025•邯郸一模)(多选)已知直线/过点(2,1),且与圆C：f+

y2—2x+2)，-2=0相切，则直线/的方程可能是()

A.y=\B.x=2

C.4x+3y—11=0D.3工―4y+3=0

(2)(2023•新高考I卷)设过点(0,—2)且与圆f+y2—以―1=。相切的两条

直线的夹角为则sina=()

A.1B普

「返D必

J4u'4

・总结握燎》

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方

程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点

的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.

变式2—2(2025•武汉一模)若过直线丁=一工+1上任一点尸向圆f+()，+

1)2=1作两条切线，切点分别为A,则|A四的最小值为()

A.坐B.当

C.V2D.小

目帧回圆与圆的位置关系

例3⑴(2025•悬德镇期中)已知圆G：『+)，2一2依-1+/=。与圆。2：J

—l)24-(j+l)2=r(r>0),若存在实数。使得两圆仅有一条公切线，则7•的最小

值为.

(2)若圆O：f+y2=4与圆C：/+9―x+由》—3=0相交于点A,B,则

sinZAOB=.

变式3(多选)已知圆。：^+/=1,圆C：(工一。)2+。-1)2=4,«ER,则

()

A.两圆的圆心距|OC1的最小值为1

B.若圆。与圆C相切，贝lj〃=±26

C.若圆。与圆。恰有两条公切线，则一2啦V〃V26

D.若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

随堂内化

1.(2025•南昌一模)若直线y=2x与圆x2—)2一左一3=0相交于A,B两

点，|。川=小，则|08|=()

A.坐B.*

「福D州

J5u-5

2.(2026-南京期初)已知点A(—1,1),8(3,3),线段AB为圆M的一条直

径.设过点C(2,—1)且与圆M相切的两条直线的斜率分别为力,七，则匕+公

=()

32

--

A.2B.3

23

C-D-

3・2

3.（多选）已知圆Ci：『+），~=6与圆C2：『+）2+办;-a=0相交于A,B两

点，若SZ\GAB=2S△。乂&则实数。的值可以是（）

A.10B.2

4.己知曲线C：f+&-〃。2=2和Ci：y=x+2,C2：y=\x\+2,若C与Ci

恰有一个公共点，则实数机=;若。与C2恰有两个公共点，则实数〃?

的取值范围是.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

I.（2025•苏锡常镇二模）已知圆Cf+（），-2）2=¥，将直线/】：方1一），=

0绕原点按顺时针方向旋转30。后得到直线/2,则（）

A.直线/2过圆心C

B.直线/2与圆C相交，但不过圆心

C.直线/2与圆C相切

D,直线〃与圆C无公共点

2.（2025・景德镇二模）已知圆C：f+y2—6x—4），-3二0,且圆外有一点P（一

3,0）,过点尸作圆。的两条切线，且切点分别为A和S,则|A6|=（）

A.3B.3

J55

3.（2024•全国甲卷）已知8是a,c的等差中项，直线依+外+c=0与圆『

+)2+4),一1=()交于48两点，则|A5|的最小值为()

A.2B.3

C.4D.2小

4.(2025•徐州2月调研)在平面直角坐标系工0)，中，若圆Ci：(X+4>+()，

-1)2=/(—>0)上存在点P,且点P关于直线y=x+1的对称点Q在圆C2：。一

4)2+/=4±,则-的双值范围是()

A.(3,7)B.[3,7]

C.(3,+8)D.[3,+8)

5.(2025•佛山一模)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组

。的点(乂y)表示的区域面积为()

・广十广十1

A.1B.兀

C.兀—1D.兀—2

二、多项选择题

6.(2026•益阳期初)在平面直角坐标系工Oy中，圆C的半径为1,点P(2,l)

在圆C上，贝立)

A.)，轴与圆。可能相切

B.直线x+)，=0与圆。可能相交

C.x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2

D.原点。与圆C上的点的距离的最大值为出+1

7.(2025•广州二模)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、

重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若aABC

的三个顶点坐标分别为A(3,4),8(—1,2),C(l,0),其“欧拉线”为/,圆M：(x-

«)2+/=1,则()

A.过点4作圆M的切线，切点为尸，则14Pl的最小值为4

B.若直线/被圆历截得的弦长为2,则〃=—1

C.若圆M上有且只有两个点到/的距离为1,则一1一2啦＜〃＜一1+2也

D.存在小使圆M上有三个点到/的距离为1

三、填空题

8.(2025-上饶二模)已知曲线尸2+正亍与直线)=工+。有两个相异的

交点，那么实数人的取值范围是.

9.(2025•石家庄二模)若圆M：(x—1)2+6，一m)2=25被直线女一4)，-7=0

所截得的弦长为1(),过点尸(一7,5)作圆M的切线，其中一个切点为A,则照尸

10.过点P(l,2)作圆O：