第六节 锐角三角函数及其应用-2026年中考数学一轮复习（原卷版）

模块四三角形

第六讲锐角三角函数及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1:锐角三角形

在咫中，ZC=90,A,8,C的对边分别为〃，

b,coA

4的正弦：sinA=________©

锐角三角形函数的定义

A的余弦：cosA=________b

A的正切：tanA=_________1

CaB

若A+B=90贝』

互余两角的三角函数关sinsin(90-A)=cosA

系cos8=cos(9()-A)=sinA

tanA-tanB=\

知识点2:特殊角的三角函数值

1.图表记忆

a

三角函数图形记忆

30°45°60°

j_V2

sina在

2~22

V2\_

cosa在

2~22i

V3,LM

tana~T1731

2.规律记忆_

30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,V2,6;

30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值。

知识点3:解直角三角形的常用关系

1.常见关系

三边关系______________（勾股定理）

两锐角间关系D/R

边角关系sinA=cosB=_

cosA=sinB=______，产

tanA=_______AbL

tanB=

面积关系

解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿余,

取原避中；化斜为直，方程相助。

2.常见解法

两条边一条边一个角

条

斜边和一条斜边和一一直角边

件两条直角边

直角边锐角和一锐角

:ZK

图

形

〜

Ca，c-r€B

4a

tanA=—,sinB=-^-,

0乙3二好_乙1,

乙8二90。一4A,

45二90。-4A,

解乙a-b•tanA,

Z.4=90°-B,a=c•sin.4,

法a

a=c•sinAb

~sinAb-c•cosA0-sinB

或Q=Vc2-b2

或c二^Ja2+b2

知识点4:解直角三角形的实际应用

概念定义图形

在视线与水平线所成的锐角中，视铅

垂w

俯角、仰角线在水平线上方的角叫仰角,初线线~水平线

在水平线下方的角叫俯角.

、视线

坡面的铅直高度h与水平宽度1的T

坡度（坡比）、坡比叫坡度（坡比），用字母i表示.坡h

角面与水平面的夹角a叫坡

11

角,i=tana=.H-/——

一般指以观测者的位置为中心，将

正北或正南方向作为起始方向旋

转到目标方向线所成的角（一般指

锐角），通常表达成北（南）偏东

（西）XX度，方向角的角度值在

方向角

0°〜90。.如图，点A,B,C关于。点

的方向角分别是北偏东30°、南偏

东60°、北偏西45°（也称西北方

向）.

2.测量物体高度的常见三角形模型

(3)测量底部不可达到的物体的高度(/?)

数学模型应测数据数量关系

Iana==>x=J.

仰角叫馆xUna

山仰仇高度

lari0=—n.r=------2,

xtanp

a

型X由①②可求徨①，进而可求得力.

a-ha-A小

tana-nx-<1J,

俯角明俯xtana-

角6,高度

atanB=-=x=；-胃②.

xtanfi

a

由①2）可求得反

h\

tana=---------=a,+x=

a*

仰角明仰2

h、、

角£.测用D

-taMna-.

产'月仪的高度

hh、h、._、

。|.水平距tanfl=-----=------------=2、

xtanB

离

由①-②“r求得M&怯二

母

、

子h+a1.

型

h-ah-a/.・、

tana=--------=x=QJ,

仰角明仰xtana

chhe

h角6,高度

rtik<.......Ian0=-----=>x=行②，

xtunp

a

由①2）可求得也

hh

Iana=-----nx-⑴T.

仰角明仰xtana

J・•

角0,高度z>〃+-h+a/K、

tanB----------n*-L"^'・

hxIanfj

a

X由①②可求得人

直击中考胜券在握

1.（2021•天津中考）tan30。的值等于（）

A.3B,也C.

32

2.己知Rta48c中，0C=9O°,AC=2f8c=3,那么下列各式中正确的是（）

.2222

A.sinA=—B.tan4=一C.tanfi=—D.cosB=—

3333

3.在RtA8C中，AC=8,BC=6,则cosA的值等于（）

3B"「4T小八42g

A.C.二或——D.二或----

545457

4.在RlZXABC中，ZC=90°,cosB=-,则tanA的值为（）

3

A.2B.且C.也

NIOVIO

11343

5.(2020•安徽省中考)如图，出-ABC中，ZC=90°,点。在AC上，ZDBC=ZA.若

4-

AC=4,cosA=-t则8。的长度为()

C

91215

A.-B.—C.—D.4

6.如图，在自AA8C中，ZBC4=90°,CD_LA8于。，下列结论错误的有（）个

An

①图中有两对相似三角形；②sin8=f；③8cAe="•8；④若8c=2石，AO=8,

AC

则CD=4.

A.0B.IC.2D.3

7.在MBC中，若|cosA」|+(1-tanB)2=0,贝胞C的度数是()

A.45°B.60℃.75°D.105°

8.如图，在等腰心AA8C中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一点，若tanNQ84=(,贝lj4。

A.2B.6C.V2D.1

3

9.（如21•云南中考）在AHC中，ZABC=90°f若AC=100,sinA=j则A〃的长足（）

50（）503

A.一B.一C.60D.80

35

10.（2021•桂林中考）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接OP,则OP与x

轴正方向所夹锐角a的正弦值是（）

11.（2021•金华中考）如图是一架人字梯，己知A3=AC=2米，AC与地面BC的夹角为。，

则两梯脚之间的距离8c为（）

4

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.--------米

cosa

12.（2021•宜昌中考）如图，的顶点是正方形网格的格点，贝iJcosZAAC的值为（）

.x/2"叵「4n2>/2

A«，，C«D«

3233

13.（2021•福建中考）如图，某研究性学习小组为测量学校4与河对岸工厂8之间的距离，

在学校附近选一点&利用测量仪器测得乙4=60。.NC=90MC=2km.据此，可求得学校

与工厂之间的距离4B等于（）

A.2kmB.3kmC.2>/3kirD.4km

14.（2021•吉林长春中考）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、8两

点间的距离为30米，ZA=a,则缆车从A点到达8点，上升的高度（8C的长）为（）

B.里米30

A.30sina米C.30cosa米D.米

sinacosa

15.（2020•重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一

个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）/=1:0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离C/）=45m,

在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28。，居民楼48与山坡CD的剖面在同一平面

内，则居民楼人8的高度约为（）

（参考数据：sin28°»0.47,cos28°»0.88,lan280no.53）

A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m

16.（2021•随州中考）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所

成角为。时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点8处，现将梯子底端

向墙面靠近，使梯子与地面所成角为夕，已知sina=cos/?=],则梯子顶端上升了（）

4

17.如图，RtELA8c中，回C=90。，点。在AC上，团。8c=财.若AC=4,cosZl=-,贝!JBD

的长度为.

18.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点

上，AB、CD相交于点P,则tan回APD的值是.

19.（2021•梧州中考）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A

到桥的距离是40米，测得初=83。，则大桥BC的长度是一米.（结果精确到1米）（参考

数据：sin83°20.99,cos83°=0.12,tan83°=8.14）

20.（2021•湖北荆州中考）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,3c可分

别绕点A,〃转动，测量知BC=8cm,A〃=16cm.当/W,〃。转动到,

NA8C=50。时，点C到4E的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数

据：sin70°*0.94,73^1.73）

图1图2

21.（2021•湖南省邵阳市中考）如图，在矩形A4C。中，DE±ACf垂足为点E.若

4

sinZADE=-fAD=4f则A8的长为.

J

22.（2021•四川绵阳中考）在宜角八8c中，ZC=90°,的角平分线

tanAtanB2

交AB于点且CQ=2&,斜边AB的值是.

23.（2021•广西百色中考）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无

人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心。点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角

为30。，塔底8点的俯角为60。，则电视塔的高度为米.

A

0°a

60°

B

24.（2021•辽宁阜新中考）如图，甲楼高21m,由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45。，看乙楼底

的俯角是30。，则乙楼高度约为m（结果精确到lm,V3«1.7）.

25.（2021•广西贵港•中考真题）如图，在矩形A8CD中，8。是对角线，AEHBD,垂足为E,

连接C£,若tanNAQ8=则tan由D£C的值是,

26.（2021•江苏常州中考）如图，在58c中，AC=3,3C=4,点D、E分别在C4、CR上,

点F在A4C内.若四边形CD正是边长为1的正方形，则sinN/^A=

C

D

B

27.（2021•湖北黄石中考）如图，直立于地面上的电线杆A/3在阳光下落在水平地面和坡

面上的影子分别是BC、CD,测得8c=5米，。=4米，ZBCD=150°,在/）处测得电线

杆顶端A的仰角为45。，则电线杆A8的高度约为米.（参考数据：V2«1.4I4,

73«1.732,结果按四舍五入保留一位小数）

28.（2021•辽宁本溪中考）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点48,C都在

格点上，以AB为直径的圆经过点C和点。，贝iJtan/AOC=.

29.（2021•湖北天门中考）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，己知无人机的飞行速度

为3nVs,从A处沿水平方向飞行至8处需10s,同时在地面C处分别测得A处的仰角为75。，

B处的仰角为好.则这架无人机的飞行高度大约是m（6«1.732,结果保留整数）

30.计算：

(1)6tan2300-75sin600-2tan450；

(2)sin60°cos600+sin450cos450-sin30acos300.

tan450-cos60°

(3)Vl-cos30°+•tan30°

ccs30°

4

31.(2021•上海中考)已知在△ABO中，AC±BD,BC=8,CD=4,cos^ABC=-tBF为

4。边上的中线.

(1)求AC的长，

(2)求lan/FBD的值.

32.(2021•四川省成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我

市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面

的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角

Z/WBC=33°,在与点4相距3.5米的测点。处安置测倾器，测得点M的仰角NMEC=45。

（点A,。与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长.（结果精确到1米；参考

数据：sin33°»0.54,cos33°«0.84,tan33°=0.65）

33.（2021•甘肃省武威市中考）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔〃，始建于明嘉靖十四

年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与蛇帽山的凌空

塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧某数学兴趣小组开展了测量"大明宝塔的高度〃的实践

活动，具体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔CD垂直于地面，在地面上选取两处分别测得NC4D和NCA。的

度数（AD3在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上A4两点的距离为58口］,/。。=42。,/。比＞=58。.

问题解决：求宝塔。。的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°«0.67,cos42°=0.74,tan42°«0.90,

sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

34.（2021•天津市中考）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔