平面向量的概念（提升练）原卷版

第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念（提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.在四边形44CD中，|八用=|/1万|且加=C力，则四边形A4c。的形状一定是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

2.下列命题中，正确的是（）

A.有相同起点的两个非零向最不共线

B.的充要条件是|司且凉徒

C.若［与五共线，日与Z共线，则办与2共线

D.向量石与五不共线，则Z与五都是非零向量

3.给出下列结论：

①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向

量相等；

②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；

③数轴上向量通的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段/历的长度，若起点指向终点的

方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；

④数轴上起点和终点重合的向显是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.如图所示，在等腰梯形A8CO中，AB//CD,对角线AC,BD交于点过点。作

MN〃A3,交AO于点M，交BC于点N,则在以A，3,C，。，M，O，N为起点

和终点的向量中，相等向最有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

5.卜・列关于向量的结论：

（1）若|々|=历|，则2=5或

（2）向量7与B平行，则Z与B的方向相同或相反;

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量;

（4）若向量£与1同向,且I〃加,则Q〉万.

其中正确的序号为（）

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分,少选得3分，多选不得分）

6.下列有关向量命题，不正确的是（)

A.若则B.己知。工0,且则a=〃

c.若a=6，b=c,则己一D.若d=[,则I。|=|5I且d/〃；

7.若四边形力四是矩形，则下列命题中正确的是()

A.而,国共线B.元,丽相等

C.4立。百模相等，方向相反D.女,3）模相等

8.下列说法中，正确选项是（)

A.时间、摩擦力、重力都是向量:B.向量的模是一个正实数;

C.相等向量•定是平行向量;D.向量）与办不共线，则;与了都是非零向量

三、填空题（共3小题，满分15分,每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.如图，D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.

图中所示向量与向量由长度相等的向量有;图中所示向曷与向

量FB相等的向量有_____________________

10.如图所示，AA3C和AA'9C是在各边的！处相交的两个全等的等边三角形，设AABC

3

的边长为。，图中列出了长度均为人的若干个向量

3

A

（2）与向量而共线，且模相等的向量有________；

11.如图，半圆的直径AB=6,。是半圆上的一点，D、E分别是A3、上的点.，且

则国二.

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.如图，〃，其尸分别是△/伊。各边的中点，四边形是平行四边形，试分别写出与理

共线及相等的向量.

A

BD

13.如图，已知四边形A8CO中，M，N分别是BC,AD的中点，丽=反且函=两,

求证：~DN=MB.

14.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点从B.

[AC\=J5

点C为小正方形的顶点，且।।

T

A

8

(1)画出所有的向量衣;

(2)求阮的最大值与最小值.

A级必备知识基础练

1」探究点一]有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个

数是（）

A.lB.2

C.3D.4

2」探究点三］给出下列命题:①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的

两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向

量的起点与终点一定共线.其中正确的是（）

A.①②B.②

C.②③D.@®

3」探究点三］如图所示，在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB.BCAC的中点，则与向量PQ相等

的向量是)

A而与无B.AR与而

cR?与赤D.亦与磔

4」探究点二］若0B|=|AD|且弘=C。,则四边形.co的形状为（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

5.（多选题）［探究点三］下列说法正确的是（）

A.若|4B|二|而|目84=CQ则四边形4BCO是菱形

B.在平行四边形48CQ也一定有48=DC

C.若a=b,b=c,则a=c

D.若a〃b.b〃c，则a〃c

6.（多选题）［探究点一］下列说法正确的是（）

A.向量不能比较大小，但向量的模能比较大小

B.|a|与|b|是否相等与a与b的方向无关

C.若a〃b.b〃c，则a/7c

D.若向星4B与向最CD是共线向后.则从ac。四点在一条直线H

7」探究点二］在四边形ABCD中,AB=DC^AB.AL是单位向量，则四边形AI3CD

是.

8.［探究点三］如图所示,4x3的矩形（每个小方格的边长均为1）,在起点和终点都在小方格的顶

点处的向量中，试问：

⑴与48相等的向量共有几个?

⑵与战平行且模为、2的向量共有几个？

⑶与从月方向相同且模为的向量共有几个?

B级关键能力提升练

9.已知a为单位向量，下列说法正确的是（）

A.a的长度为一个单位长度

B.a与0不平行

C.与a共线的单位向量只有一个（不包括a本身）

D.a与0不是平行向量

10.（多选题）如图,在菱形4BCO中,ND48=120。,则以下说法正确的是（）

A.与4B相等的向量只有一个（不包括4E本身）

B.与48的模相等的向量有9个（不包括本身）

C.8C的模为属模的V弓倍

D.C8与。林共线

11.给出下列四个条件:①a=b;②|a|二|b|;③a与b方向相反;④|a|二0或|b|=0.其中能使a〃b成

立的条件是.（填序号）

12.已知|AB|=|,Hq=2,若乙4BG90。,则.

13.已知在四边形ABCD中,BC=4D且MB|=|B0|=|BC|=2,则该四边形内切圆的面积

是.

14.已知在四边形ABCO中,4B=DC,且04=Wq,tan。二百，判断四边形A8CO的形状.

AB

15.中国象棋中规定:马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到4处，也可跳

到A2处,用向量与曲俵示马走了“一步”，试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情

况.

C级学科素养创新练

16.（多选题）如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是

ILG

D

CE

/fAB

A.p4B|=|FF|

B.而与F娱线

c而与EH共线

D.CO=«

17.如图所示的方格纸由若干个边长为I的小正方形组成,方格纸中有两个定点点C为小

正方形的顶点，且EG八3

(1)画出所有的向量4G

⑵求的最大值与最小值.

参考答案

1.C因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量;而质量、路程和功只有

大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.

2.B①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故

错误；

②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；

③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误;

④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，有向线段所在的直线可能平行，故错误.

故选B.

!—

AR与RC—

3.B向量相等要求模相等，方向相同，因此都是和PQ相等的向量.

4.C由B4=CO知=C。且A8〃CQ,即四边形ABC。为平行四边形.又因为|4B|=p4D|,

所以四边形A8CO为菱形.

5.ABC对于A,由84=以,知AB=CD且AB〃C£>,即四边形ABCD为平行四边形，又因

为［44=|力以所以四边形ABCD为菱形，故A正确;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平

行且相等/B,DC的方向相同，所以AB=DC,故B正确;对于c,由向量相等的定义知，当

a=b.b=c时，有a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立，故D错误.故选ABC.

6.AB对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小，向量的模可以比较大小,故选项A

正确；

对于B,|a|与|b|分别表示向量a与b的大小，与a,b的方向无关,故选项B正确；

对于C,当b=0时，向量a与c可以是任意向量，都满足a〃b,b〃c,故选项C不正确；

AB^jCD

对于D,若向量46与向量。工是共线向量，表示的有向线段可能不在同一条直浅上,

得不出A,8,CQ四点在一条直线上,故选项D不正确.故选AB.

7.菱形由AB=D（可知四边形ABCD是平行四边形，

又4BM0是单位向量，所以|AB|二|/4O|二i,所以四边形ABCO是菱形.

8.解（1）与向量力8相等的向量共有5个（不包括5B本身）.

（2）与向量4B平行且模为&的向量共有24个.

（3）与向量AB方向相同且模为3、e的向量共有2个.

9.A•・•已知a为单位向量,・・・a的长度为一个单位长度，故A正确;

a与0平行，故B错误；

与a共线的单位向量有无数个，故C错误;零向量与任何向量都是平行向量，故D错误.

10.ABCA项，由相等向量的定义知，与力B相等的向量只有DC,故A正确;B项，因为

AB=BC=CZ)=D4=AC,所以与4方的模相等的向量除AB外有9个，故B正确;C项，在RtA

ADO中,NDAO=60。,则。。二？。4所以BD=6DA、故C正确;D项，因为四边形ABCD是

而与应

菱形，所以共线，故D错误.

11.①③④若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以2〃1);若m|二也|,则a与b的大小

相等，而方向不确定,因此不一定有a〃b:方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a

与b方向相反，则有a〃b;零向量与任意向量平行,所以若|a|二0或|b|=0,则a/7b.

eJ\AC\2-\AB\2=^^7/q

12.V-由勾股定理可知,|灰7|二,^|nC|=V3

3TI_____

13.