2026高考数学高频考点练：点、线、面位置关系

点、线、面位置关系（教师版）

一、单选题

1.若〃，，〃为空间两条不同的直线，。，夕为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A.若,m//n,na,则〃〃aB.若加_La,6///，则。_1_夕

C.若a//,mLa,nu。,则〃?_L〃D.若mila,n!/a,则用//〃

【答案】D

【解析】根据线面、线面的位置关系，结合平面法向量的概念及性质判断各项的正误即可.

A：若加/a,mlln,则〃〃a或〃<Xa,而〃若a,故〃//a,对；

B：若〃?_La,将加视作。的法向量所在直线，又〃?〃£,易知a_L〃，对；

C：若a//,mla,则mJ•夕，而"u〃，故m_L〃，对；

D：若〃〃/a,〃〃a,则也〃平行、异面、相交都有可能,错.

故选：D

2.如图，在四棱锥〃-48C。中，底面48CO是边长为4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=2日该棱锥的高为（）.

A.1B.2c.OD.百

【答案】D

【解析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面尸后尸，平面N8C。，可知POJ.平面48CD,利用等体积法求点到面

的距离.

如图，底面48co为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=P£>=2V2,

分别取力8,CO的中点E/,连接PE,PF,EF,

则PE_L,48,M_L48,且PEcEF=E,PE,EFu平面PEF,

可知力8J_平面尸£7"且平面/8CO,

所以平面PEF1平面ABCD,

过，作EF的垂线，垂足为。，即POLE”,

由平面尸MCI平面44CO=£7LPOu平面PEF,

所以尸OJL平面/9C7）,

由题意可得：PE=2瓜PF=2,EF=4,则尸犷+尸产二后尸，即尸后,尸尸，

1Ior.n/7

则一PEPF=—POEF,可得尸。=一——=V3,

22EF

所以四棱锥的高为VL

故选：D

3.已知正三棱台ABC-44G5的2体积为三，AB=6,44=2,则44与平面48c所成角的正切值为（）

A.；B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】解法一：根据台体的体枳公式可得三棱台的高/?=迪，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得4M=迪,

33

进而根据线面夹角的定义分析求解•：解法二：将正三棱台力3C-4AG补成正三棱锥尸-48C,44与平面44。所成

角即为P.4与平面/8C所成角，根据比例关系可得%做=18,进而可求正三棱锥尸-力以？的高，即可得结果.

解法一：分别取8C,3£的中点D©,则4。=36MR=6,

可知Sm=%x6x等=9百£.f2x百S

设正三棱台48C—44G的为人

则P-G=养6+75+近万二印=y，解得h=当,

如图，分别过4，"作底面垂线，垂足为M,N,设4W=X,

则=J4M?+AM2=^v2+y,DN=AD-AM-MN=2^-x，

2

可得DD}=qDN'D'N?=（26-x）+—,

结合等腰梯形BCqe可得BB；=（等）+DD；,

即/+£=（26—4+/4,解得工=殍，

所以4力与平面力8C所成角的正切值为tanDJ,JZ）二弟=1;

AM

解法二：将正三棱台力8C-44G补成正三棱锥尸-4,

则44与平面ABC所成角即为产力与平面ABC所成角，

因为d=坐L=_L则生如L=_L,

PAAB3Vp_ABC27

可知匕…4。=57%,呼,则展纪=18,

设正三楂锥P—48c的高为d,则/由.=ldxL<6x6x®=18,解得d=2行,

r-/IDL322

取底面48。的中心为O,则PO_L底面/出C,且=2百，

P0

所以21与平面ABC所成角的正切值tan/.PAO=—=l.

AO

故选：B.

4.如图，点48、CM、N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线〃平面.48C的是（）

【答案】D

【解析】根据线面平行、面面平行的判定定理及性质即可判断.

对于A选项，如图①所示，在正方体DWM-GP0r中，

QT〃EF且QT=EF,

图①

因为民。分别为。r,环的中点，

则40〃石。且4。二£。，

所以四边形4CE。为平行四边形，

所以8C〃EQ,

因为8cz平面EMPQ,EQu平面EMPQ,

所以8C〃平面EM尸0,同理可证为8〃平面EA/P。,

因为48c8C=8,4?,8Cu平面/BC,

所以平面EMPQ//平面ABC,

因为MVu平面EMP。，

故MN〃平面48C,故A满足：

对于B选项，如图②所示，连接P7,

图②

在正方体。Eb-GPQT中，PE〃FT旦PE=FT、

因为力,8分别为PE,"的中点，则P///BT且PA=BT,

所以四边形2187为平行四边形，故AB〃PT,

因为分别为GP,G7的中点，则MV〃/>7,

所以MN〃AB,

因为MN(Z平面ABC,48〃平面43C,

所以MN〃平面/4C,故B满足；

对于C选项，如图③所示，在正方体QWKN-GPQT中，取GT的中点b，

连接力£8£尸兀

图③

因为尸G〃KN且尸G=KN,A,C分别为PG,KN的中点，

所以4G〃CN且“G=CN,故四边形力CNG为平行四边形，则力C〃GN,

因为尸潭分别为G7,6V的中点，

所以8GN,则8/〃/1C,

所以48,C,产四点共面，

因为PM//NT且PM=NT,则四边形PMNT为平行四边形，

所以PT〃MN,

因为4尸分别为尸G,GT的中点，则"•〃尸九

所以MY〃加•'，

因为MN(Z平面ABC,AFu平面ABC,

所以MN〃平面/BC,故C满足；

对于D选项，如图④所示，在正方体中，取EK的中点H,

连接BH,HM,CN,PT,EF,BN,

GC

H

图④

因为PE〃FT且PE=FT,B,N分别为PE,FT的中点

则Q8〃。且P8=7W,

所以四边形P8N7为平行四边形，则BN〃PT,

因为4c分别为GP,G7的中点,

所以力C〃尸7,WAC〃BN,

所以44.C,N四点共面,

同理可证“〃//BNt故力。〃MH,

同理可得48//MN,BH//CN,

反设“二二平面力班:,

因为MN〃4九且44u平面44C,则MN〃平面4〃C,

但MN与平面48c'有公共点N,这与MV〃平面力8c矛盾,

故MNu平面/8C,故D不满足.

故选：D

5.正方体力44GA的棱长为1,E为棱。A的中点，点P在面对角线8G上运动（P点异于8、G点），以下说

法错误的是（）

A.3。//平面力EC

B.4P上BQ

2

C.直线与片与平面。AG所成角的余弦值为:

D.三棱锥尸一/C。的体积为，

6

【答案】C

【解析】根据线面平行的判定定理可证明A选项正确：应用空间向量计算数量积，可判断B正确：

根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D

正确.

对于A,连接4。、AC,相交于点。，连接OE,如图所示，

因为四边形49CO为正方形，所以。是8。中点,

又E为棱。口的中点，所以OE//BD、,

又OEu平面力EC,84a平面月EC,所以8。//平面片EC,故A正确;

对于B,以。为原点，以D4、QC、。。为x轴、V轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设8P=,MC,则4(1，°」)，

5,(1,l,l),D(0,0,0),P(l-2,1,2),

所以丽=(T,T,-1),乖=(-入1,；1-1),布•丽=(-l)x(")+(-l)xl+,所以同尸J_8Q,故B正确;

对于C,由B选项知，4(1,0,0),40、0,g),所以雨

因为D4_平面CDD£,所以平面CDDG的法向量为加=(1,0,0),

设直线BE与平面CDDC所成角为8,

\DA-'^E\2_______77

所以sin6=।__•]]=]'=彳,所以cos0=J1—sin?8=——，故C错误:

|叫回33

对于D,因为尸(I-%,"),4(1,0,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),

贝I]"=(一41,4)，JC=(-l,l,0),西=(0,—1,1),

设平面的法向量为历=(rj/),

[m-AC=0\-x+y=0,、

则_,即)八，解得而=1,1,1,

因为4C=力£>i=C。=8，所以S〃刀='x拒xJix@=立，

114/1匕必222

I-F-fvw-r—,LrtLf«、ft-7+1+4\/3

点P到平面ACDi的距离为h=同=一百一=—,

所以三棱锥夕-力C〃的体积为匕工母鼠L,故D正确.

P~ACD'3236

故选：C.

6.正方体力4。。-44GA的棱长为hM是楂AB的中点，N是侧面BB£C内一点，且MN//平面

/4G。，则MV长度的取值范围是()

【答案】c

【解析】取8C,8c的中点为G,〃，连接MG,GH,HM,确定平面MG"//平面AA.C.C,得到N的轨迹是线段〃G,

即可求解.

取8c8c的中点为G,4,

连接MG、GH,HM,

由中位线易知MG///CHG//CG，

又力C,CG在平面44CC内，MG,"G不在平面力4GC内,

所以A/G//平面AA}CyC,"G〃平面AAXCXC,

又MG,HG是平面A/G〃内两条相交直线，

所以平面MG"//平面AAXCXC,

又MNU平面AA}C}C,

所以N在平面MG〃内，又N是侧面BB£C内一点,

所以N的轨迹是线段雨,

易知MG=>AC=JMH

22

MG<MN<MH,

所以MN长度的取值范围是

故选：C

7.若/,"7是两条直线，区夕是两个平面，且lu仇aC0=m.设p:/〃a,夕：/〃小则〃是^的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由线面平行的性质定理利判定定理结合充要条件的判定可得.

若p:l〃a,lu"aCp=m,由线面平行的性质定理可得g：/〃加，充分性成立；

若lup,aCQ=m,由线面平行的判定定理可得p：/〃出,必要性成立.

所以〃是夕的充要条件.

故选：c

8.风筝又称为“纸莺”，由中国古代劳助人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源.如图,

是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体彳5。£尸，。为边力8的中点，四边形EFOC为矩形，且QF上4B,

AC=BC=3,4c8=120°,当8E时，多面体/BCE尸的体枳为()

A9x/6n9>/3r9#n9G

4884

【答案】A

【解析】由线面垂直的判定与性质，根据等腰三角形的性质与勾股定理，求得底面积，利用三棱锥体积公式，可得答

案.

在矩形CEF。中，^FDLCD,CE//FD,

因为。尸_L48,ABQCD=Dt44,CZ)u平面48C,所以H)JL平面48C

则CE_L平面力8C,因为力CICu平面48C,所以CE_L4C,CElBCf

在出力4C中，由/1C=8C=3,ZACB=120\则力8=2•力C-sin600=3jL

3

又因。为”的中点，则CQ_L/14,易知CQ=/1CCOS60O=5，AB=2AD=2xACsin60°=3x^,

易知AEC4上ECB,则4E=8E,因_L8£,则/£=4541145。=亚，

2

在Rt"CE中，CE=\JAE2-AC2-jf)-3=，

则矩形CDFE的面积S=CDCE=-x逑=逑，

224

因为。产CDYAB,CDcDF=D,CD,DFu平面CDFE,所以J_平面。。尸E,

多面体48COEE的体积P=L/18S=LX3X/3X冬

3344

故选：A.

9.如图，在体积为尸的正四棱锥P-IBCO中，而=2而，而=而，设平面力即与直线尸。交于点G,记四棱锥

的体积为匕，则匕：P=()

AB

177

BC.D.

-11530

【答案】D

【解析】利用四点共面中的向量关系来求解正=|可'再利用三棱锥体积变换来求比值’从而解答问题.

如图所示,

由4B、C、。四点共面，且四边形46co为正方形,

可得AB=DC^>PB-PA=PC-户方,

由而=2而，而=而,设定=丸方，

3一______3一____

可得：：PE-PA=WPF,BPPJ=-1PE-2PG+2PF,

根据43、€\。四点共面，可得,一义+2=1=/1!

一5一

即PC=-PG,

2

hpF।

设九，生分别是点£到平面P/E和点。到平面尸48的距离，则万=孑

〃了1L.JN

—P-4£F_“F-P4E_S&ME，八_£P/EPAPE1211

所以

^P-A3D^D-PABrAB〃Nse!5Ao2PAPB2323

V

17=llZ'P-AEF

,P-AHD2PTBCD'6

LE匕.EGF%「EGPE•PGPF2212

匕8DC勿耿PBPCPD35215'

V

YP-BDC

/rP-AKD2

117

=—I=—

yp-dBCDypTBCD61530

则四棱锥尸-AEFG与四棱锥P-ABCD的体积比为5.

JU

故选：D

10.如图，在平行六面体488-44GA中，P是线段4。上的一点，且力尸=：3尸。，则三棱锥4一4CP的体积与平

行六面体力88-44GA的体积之比为（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.1:6

【答案】D

【解析】根据已知，先证明力。〃面44。，再由/.心＞=/..叫「=/一』跖=%-8及棱锥和棱柱的体积公式，即可得.

由题设及平行六面体的结构特征易知4。〃与。，面”(，qcu面/瓦。，

所以4。//面/8c,则A、D上任意一点到面力6c的距离为定值，

又P，。€4。,则〃TCP=Vp-AB\C=^D-A3yC~/-ACD»

由4-4c。的底面面积是平行六面体/188-44GA底面面积S的一半，旦高方相等，

1sl1

所以/KD=士h,3=_hS="BCD4BCD♦

，八八KD3266金60。-4|鲂°|”|

故选：D

二、多选题

11.己知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。,月6为底面直径，4P6=120。，尸力=2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O

为45。，则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4方兀

C.AC=242D.APXC的面积为百

【答案】AC

【解析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

依题意，4P8=120。，PA=2,所以。2=1,。4=。8=6，

A选项，圆锥的体枳为:x7ix(J5『xl=7T,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀xJ5x2=2E7t，B选项错误：

C选项，设。是/C的中点，连接。。/。，

则AC1OD.ACLPD,所以NPQO是二面角P—/C—O的平面角,

则/尸。。=45。，所以。?=。。=1,

故AD=CD=y^\=g，则4C=2JLC选项正确；

D选项，PD=Vl2+12=>/2»所以S..C=gx2>/?x夜=2,D选项错误.

12.如图，四边形力为正方形，F.DI平面力《C。，FB〃ED、=ED=2FBZ己三棱锥E—{Cn,F-ARC,F-ACE

的体积分别为匕，匕，匕，则＜)

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】直接由体积公式计算9匕，连接8。交力C于点M,连接由匕+匕y计算出匕，依次判

断选项即可.

设AB=ED=2FB=2a,因为EOJ.平面力8cO,I7B||ED,则匕=；.£7>S“e=92a,（2a『二：J,

3323

匕=；/8£京=；”；（2。）2=：/,连接40交/iC于点A1,连接EAAFM,易得BDL4C,

JJ/J

又EOJL平面48CO,4Cu平面力8CQ,则EOJ./C,又EDC\BD=D,ED,BDu平面BDEF,则力Cl平面8QE/，

又BM=DM=；BD=®,过尸作R9_LOK于G,易得四边形8QG产为矩形，则bG==2"?,£G="，

则+（夜。）=y/^a,FM==\&，EF=Qa2+（2x/ii）=3ez>

EM2+FM=EF2,则£0_1而，S&AIEtlFJfMl=、cEM.FM=^C~a\AC=2五a，

则匕=%.EF“+七.卬”=；力。，卬“=2/,则2%=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

13.已知正方体48CO—44G〃，则()

A.直线8G与。4所成的角为90。B.直线8cl与C4所成的角为90。

C.直线BC、与平面8BQ。所成的角为45。D.直线B3与平面ABCD所成的角为45。

【答案】ABD

【解析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

如图，连接4。、BG，因为。4//8C，所以直线8G与BC所成的用即为直线8G与。4所成的角,

因为四边形48CC为正方形，则故直线8G与所成的角为90。，A正确；

连接4。，因为4£_L平面84GC,平面则

因为8cl.8C],44口与。=用，所以8。_L平面44。，

又4CU平面44C,所以BC|J_C4，故B正确：

连接4G，设4GC5a=。,连接80,

因为〃4j_平面44G。，GOu平面48cA，则GO_LA/,

因为£O_L8Q,4。仆8田=4，所以C0_L平面88QQ,

所以NC"O为直线8G与平面BBRD所成的角,

设正方体棱长为I,则CQ=*，SCt=V2,5山/。/。=黄二；,

所以，直线8G与平面8BQ。所成的角为30。故C错误;

因为GC_L平面力BC。，所以NC/C为直线8G与平面力所成的侑，易得/。田。=45',故D正确.

故选：ABD

14.在四棱柱4?CQ-44CQ中，力4_L平面四边形48CZ）为菱形，NABC吟,力8=2,/U,=4,M为

棱。。的中点，N为四边形CQDC内一个动点（含边界），且与N〃平面48M,则下列结论正确的有（）

A.动点N轨迹的长度为石

B.平面4屈“截四棱柱所得的截面是五边形

C.存在点N使得GN18M

D.当三棱锥N-8QQ的体积最大时，其外接球的表面积为三64不

【答案】ACD

【解析】取分别CA，CG中点为。，。，根据题意做出对应的几何图，结合几何图，利用空间面面平行的性质即可

得出N的轨迹为线段也，则A选项可求；取CQ中点为r,连接A/r,BT,可得平面48M截四棱柱48。。-4耳弓。

所得的截面是四边形力/7”，则B可求；利用线面垂直的判定与性质即可求得C；结合题意求出外接球半径农，利用

球的表面枳公式即可判断D.

如图1,取分别G0,CG中点为人。，

4。||4M，也||C。IM也PQ=QA\Mc%B=4，

40,尸。u平面Hf。，4MM/u平面4&W,

易得平面4P。〃平面48W,

即N的轨迹为线段也，又PQ=5改A正确；

如图2,取C。中点为7,连接MT,BT,可得A/r〃48,

所以平面48M截四棱柱月8C0-4AC；A所得的截面是四边形487M,故B错误；

因为四边形力8CO为菱形，ZJ^C=y,所以8/_LG。，

因为平面44G〃_L平面CCQQ,平面44G"n平面CCQQ=CQ,4尸u平面44CQ,

所以4P，平面COQG，

因为△qp。为直角三角形，所以此时存在N,

当GN_LP。时，因为片P_L平面CORG，GNu平面CDOG，

所以耳尸J.GN,又PQCBF=P,P2,BFu平面平面BF。,

所以GN_L平面&P。,

即GNL平面4氏0，则有GAU8M,故c正确；

三棱锥N-8QQ的体积最大时，此时点N与点。重合，如图3.

由已知得此时ND=ND、=N4=2及，所以N在底面BQD、的射影为通。2的外心，

又由△片叫为直角三角形，所以N在底面四。2的射影为BQ中点，

设为«,设外接球的球心为。，半径为R，B、D=2后,4G=2石，N«=g4G=G,

由/?2=。。：+。£：=。。：+5,R-00\=N0\=6可得外接球半径口=空，

所求外接球的表面积为4尸肥=程乃，故D正确.

故选：ACD.

【小结】

三、填空题

15.三棱锥力一8。。中，DAVDB,且。4=。〃=2。。=2,则当该三棱锥的体积最大时二面角。-4B—C的正切值

为.

【答案】4

2

【解析】先利用。力_LQ6,可计算得到底面面积，当。。=1恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时。QC

两两互相垂直，取4?的中点E,连接EDEC.利用二面角的平面角的定义算出二面角。-48-C的正切值.

依题意可得三棱锥力-4CO体积为P=1xSsd8x/?=；x；x2x2x/?.

JD乙

因为£>C=1,所以当。C_L面ZM8时，即。。=力=1时三棱锥体积最大，此时。月，力民。。两两互相垂直.

取月8的中点为E,连接E2EC

因为04=。8=2,_L。8,所以DE,4&

又因为4C=8C,所以，所以NCEZ）为二面角的平面角，又因为DE=E,DC=1.

所以二面角。-48-。的正切值为tan®=2£=1

CE2

故答案为:坐.

2

16.如图，在正方体力8C。-48cA中，AB=2,E为力。的中点，点尸在C。上，若石尸〃平面力用。，则七尸=.

【答案】；2

【解析】根据线面平行的性质定理，可得到小〃力C,即可求EF的长.

根据题意，因为£尸//平面/8C，E尸u平面4BCD,

且平面ABCDA平面AB.C=AC

所以E/3//C.

又E是力。的中点，所以厂是。的中点.

因为在Ri△。4'中，DE=DF=1,故防=JL

故答案为：丘

17.在正方体48C。-44GA中，E为4A的中点，尸为底面/BCD上一动点，E/与底面力BCD所成的角为。，若

sin9-cose=&*,且该正方体的外接球的体积为4百兀，则动点尸的轨迹长度为.

2

【答案】迪E

9

【解析】取力。的中点〃，连接证得£7/J.底面488,得到NEFH为所与底面48CZ）所成的角。，求得。=1,

2

设正方体的棱长为。，利用球的体枳公式，求得。=2,得到点尸的轨迹为以〃为圆心，忑为半径的圆在正方形48C。

区域内的部分布，作出图形，进而求得动点尸的轨迹长度.

如图1所示，取力。的中点H,连接E〃，则EH//44,

在正方体力BCD-44GA中，底面4BCO,所以£77J.底面/8C。,

所以NEF"为EF与底面ABCD所成的角0,

因为sine-cos6=^l,所以0=NEFH=

23

设正方体的棱长为

因为正方体的外接球的体积为4百=4＞万兀，解得a=2,

所以E"=/4=Q=2,可得〃/=耳,

2

所以点尸的轨迹为以〃为圆心,W为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分MG，

2所以cos/力"G=〃~=立，则//“GUN

如图2所示，HG=HM=忑,

HG26

根据对称性，可得'，所以NM〃G=7c-2x2=空,

663

故动点尸的轨迹长度为女40"

3-x/39

故答案为：士应

＜兀）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为年，此时

【解析】过43分别作X轴的垂线，垂足分别为C,。，过4。分别作N轴，X轴的垂线相交于点E,结合条件和余弦

定理求出M,然后将0,手j代入函数解析式即可得出答案.

过48分别作x轴的垂线，垂足分别为C,。，过4。分别作N轴，％轴的垂线相交于点E,

连接力3,8E,则=—,BD=DE=M,

3

由余弦定理得8七2=M2+M2-2M2cos型=3M2,

3

由上可知，工轴垂直于8DOE,又BDUDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以x轴垂直于平面4QE,又/l£〃x地，所以4E_L平面

因为BEu平面8DE,所以力E_L8E,

T=生=6

因为/（”的周期一兀，所以花=CZ）=3,

3

由勾股定理得3A〃+9=18,解得M=、Q

由图知，/（》）的图象过点,且在递减区间内,

所以/(O)=JJsine=即sin*=

因为0＜夕＜兀，点在递减区间也所以夕下,

故答案为：彳.

四、解答题

19.如图，在四棱锥P-48C。中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,点E在上，且PEJ.4D,=DE=2.

（1）若尸为线段QE中点，求证：BF〃平面PCD.

（2）若48"L平面尸力。,求平面218与平面尸C。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2叁

30

【解析】（1）取。。的中点为s,接S尸,SC,可证四边形S尸6c为平行四3形，山线面平行的判定定理可得6尸〃平面尸Q.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面力P8和平面PC。的法向量后可求夹角的余弦值.

（1）取PO的中点为S,接SRSC,则Sr〃EDS/=,£D=l,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四边形SR9C为平行四边形，

一故BFMSC,而4〃仁平面PCD,SCu平面PC。，

所以跖〃平面PCD.

因为£7)=2,故[E=1,故AE/iBC,AE=BC,

故四边形力ECA为平行四边形，故CEHAB,所以CE1平面

而尸&EQu平面产力。，故CE1PE,CE人ED,而PE_LED,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,-1,0),8(1,-1,0),0(1,0,0),0(020),尸(0,0,2),

则瓦5=(0,-1,-21方=(1,-1,-2四=fl,0,-2)PD=(),2,-2)

设平面P48的法向量为而=(x,y,z),

m-PA=0f-y-2z=0/、

则由_可得/,八，取应=0,-21，

m-PB=0[x-y-2z=0

设平面PC。的法向量为万=（。,6,c）,

iiPC=0a-2b=0

则由，可得取万=(2,1,1),

n~PD=02b-2c=0

故如例用二瓦为“不

故平面尸/也与平面PCD夹角的余弦值为叵

30

20.如图，AB3CD,CDHEF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=4i(),4£=2G为CO的中点.

AB

(1)证明：EM〃平面8c/；

(2)求点.M到力。上的距离.

【答案】(1)证明见详解；

(2喑

【解析】(1)结合已知易证四边形EFCW为平行四边形，可证屈W//FC,进而得证;

(2)先证明04_L平面EDM,结合等体积法匕,_m=因的即可求等

(1)由题意得，EFHMC,且EE=MC,

所以四边形EFCAZ是平行四边形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EMU平面BCF,

所以EA///平面8c/：

(2)取DM的中点0,连接。力，0E,因为ABI/MC,且=

所以四边形力MC8是平行四边形，所以4M=8。=而，

又AD=府,故△/QM是等腰三角形，同理△EOM是等腰三角形,

可得04上DM,0EJ.DM,04=（DJ；彳）=3QE=R=寸,

又AE=2，h,所以。才+。E2=力炉，故。力j_OE.

又04_LDM,OEnDM=O,OE,DMu平面EDM,所以CM_L平面EDM,

易知SAEDW=gx2x.

4+12-10_框

在cfe/iOE中，cosZDEA=

2x2x26-4

所以sinNO"=姮,艮叵二叵.

4>o口242

设点M到平面ZOE的距离为d,由八…醛=VA-EDM，

得;S“DE.d=；S&EDM.04,得”=噜，

故点M到平面/OE的距离为名叵.

13

21.如图，在以小3,C,Q,E,厂为顶点的五面体中，四边形488与四边形力。斯均为等腰梯形，EF//AD.BC//AD,

AD=4,AB=BC=EF=2,ED=屈,FB=26,M为的中点.

(1)证明；平面CDE；

(2)求二面角/-8M-E的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

⑵噜

【解析】(1)结合已知易证四边形8CZ)时为平行四边形，可证8M//CQ,进而得证；

(2)作5。1力。交力。于。，连接OF,易证。8,。，。尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.

(1)因为4c7/4。,£产=2,4。=4,/为/。的中点，所以=

四边形8CDW为平行四边形，所以8M〃C。，又因为朋Wa平面

。。＜=平面。。£,所以8M〃平面CQ£；

(2)如图所示，作交力。于。，连接O/7,

因为四边形力8。£＞为等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CO=2,

结合(1)4CQ历为平行四边形，可得创/=。力=2,又4必=2,

所以△48M为等边三角形，O