2026年中考数学：平面直角坐标系（知识解读+例题讲义）原卷版

第09讲平面直角坐标系

3"知识导航.‘十才

知识点1:函数

知识点2：平面直角坐标系相关概念

知识点3：点坐标的相关性质

知识梳理“力

知识点1：函数

i.变量与常量

变量：在•个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.

常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量祢为常量.

2.函数

定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的

值，y都有!1二确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量,把v称为因变量,y是x

的函数.

3.函数值

函数值：如果在自变量取值范围内给定•个值a,函数对应的值为b,那么b叫做当自变量

取值为a时的函数值.

4.函数的表示方法

表示法定义优点缺点

用数学等式（解析式）表示两1.精准反映变量间数量关系1.不够直观，无法直接

解个变量之间的函数关系2.方便计算任意自变量对应的看出变化趋势

析函数值2.部分实际问题难以用

法3.便于推导函数性质（单调性、解析式表达

最值、对称性等）

图用平面直角坐标系中的图形1.最直观，清晰展示函数变化1.读取的数值是近似

像（直线或曲线）表示函数关趋势（上升、下降）值，不够精确

法系，图象上每一点（x,y）都满2.便于观察特殊点（顶点、交2.无法直接得到数的精

足函数关系点、渐近线）确解析式

3.能快速分析函数的增减性、

对称性

列将自变量的一系列取值和对1.直观展示自变量与函数值的1.只能列出有限组对应

表应的函数值列成表格，表示函一一对应关系值，无法体现全部关系

法数关系2.查询特定自变量的函数值方2.难以反映函数的整体

便快捷变化规律

知识点2：平面直角坐标系相关概念

1.定义：平面内由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形。

2构成

横轴（x轴）：水平向右为正方向

第三.象限一，第四望限

纵轴（y釉）：竖直向上为正方向

原点（0）：两轴交点，坐标为。0）

3.象限：x轴、y轴将平面分为4个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。

4.点的坐标：平面内点对应有序数对（x,y）,x是横坐标（垂至x轴的数），y是纵坐标（垂至

y轴的数），横前纵后，顺序不可换。

5.核心关系：坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

知识点3：点坐标的相关性质

考点内容具体性质/规律

平面直角坐标系的①由横轴（x轴，水平向右为正方向）和纵轴（y轴，竖直向上为正方向）组

构成成，两轴互相垂直，交点为原点9,0）②两轴将平面分为四个象限，按逆时针

方向依次为第一、二、三、四象限

各象限内点的坐设点P(x,y)

标特征①第一象限：x>0,y>0(+,+)

②第二象限：x<0,y>0(-,+)

③第三象限:x<0,y<0

④第四象限：x>0,y<0(+,-)

坐标轴上点的坐设点P（x,y）

标特征①x轴上的点：纵坐标为0,即F（x,0）

②y轴上的点:横坐标为0,即P（0,y）

③原点：横、纵坐标均为（），即P（（）,0）

点坐标的平移向右平移a个单位（a>0）,即（x+a,y）

P（x,y）向左平移a个单位（a>0）,即（x-a,y）

向上平移b个单位（b>0）,即（x,y+b）

向下平移b个单位（b>0）,即（x,y-b）

旋转顺时针旋转90。，即（y,-x）

（绕原点0旋转）逆时针旋转90。，即（-y,x）

P（x,y）顺时针/逆时针旋转180o,即（-x,-y）

顺时针旋转270。,即（-y,x）

逆时针旋转270。,即（y,-x）

对称点的坐标规设点P（x,y）

律①到x轴的距离：|y|（纵坐标的绝对值）

②到y轴的距离：1x1（横坐标的绝对值）

③到原点的距熟：P=y/x2+y2

平行于坐标轴的①平行于x轴的直线上的所有点：纵坐标相同，横坐标为任意实数

直线上点的坐标②平行于y轴的直线上的所有点：横坐标相同，纵坐标为任意实数

特征

型精讲

【题型i根据点坐标判断所在象限】

【典例1】（2025•四川・中考真题）在平面直角坐标系中，点P。,2）关于y轴对称的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式1】（2025•贵州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中有4B,C,。四点，根据

图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（）

A.点4B.点BC.点CD.点0

【变式2】（2025•四川成都•中考真题）在平面直角坐标系30y中，点尸（-2/+1）所在的象

限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式3】（2024•江苏宿迁•中考真题）点PS?+1,-3）在第象限.

【题型2自变量取值范围】

【典例2】（2024•四川巴中・中考真题）函数y=475自变量的取值范围是（）

A.x>0B.x>—2C.x—2D.x—2

2924

【变式1】（2024•黑龙江哈尔滨•中考真题）在函数、二三三中，自变量工的取值范围是•

【变式2】（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）在函数y=铝中，自变量x的取值范围

是.

【变式3】（2024•上海•中考真题）函数/'（乃=芸的定义域是（）

A.x=2B.XH2C.X=3D.XH3

【题型3从函数的图象获取信息】

【典例3】（2025•青海•中考真题）如图，甲、乙两车从4地出发前往B地，在整个行程中,

汽车离开力地的路程y（km）与时亥业之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（）

A.乙车先到达B地B.A、8两地相距300km

C.甲车的平均速度为100km/hD.在8：30时，乙车追上甲车

【变式1】（2025•广东•中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行,

其电池剩余的能量y（W•h）与骑行里程%（km）之间的关系如图.当电池剩余能量小J-

100W・h时，摩托车洛自动报警.根据图象，下列结论正确的是（）

A.电池能量最多可充MOW-h

B.摩托车每行驶10km消耗能量300W-h

C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25km

D.摩托车充满电后，行驶18km将自动报警

【变式2】（2025•广西•中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研

究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是

（）

0123456时间〃天

A.第5天的种群数量为300个B.前3天种群数量持续增长

C.第3天的种群数量达到最大D.每天增加的种群数量相同

【变式3】（2025・四川成都•中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时,可后

又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图

A.小明家到体育馆的距离为2kmB.小明在体育馆锻炼的时间为45min

C.小明家到书店的距离为1kmD.小明从书店到家步行的时间为40min

【题型4用描点法画函数图象】

【典例4】（2024•北京•中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中,

小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记

为2号杯）示意图如F，

当1号杯和2号杯中都有UmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度右（单位：cm）

和2号杯的水面高度电（单位：cm）,部分数据如下：

17mL040100200300400500

必02.55.07.510.012.5

/cm

h202.84.87.28.910.511.8

/cm

⑴补全表格（结果保留小数点后一位）；

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画七与V,电与V之间的关系.在给出的平面直角坐

标系中，画出这两个函数的图象：

八"/cm

13—7

1-2

ji—

10—

：9—

i8■■■}•

;7—

：6—

：5--

：-3--

\2-

IIIIIIIIIaIII

j____；_i_；_j_；_j_；_j_s_j_；_>

0L1()OJ2QOJ.3()O.L4Q0一.5Q0：勿mL

⑶根据以上数据与函数图象，解决下列问题:

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差

约为cm（结果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同

时，其水面高度约为cm（结果保留小数点后一位）.

【变式1】（2025・北京•中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论

学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0,1,2

或3）的模拟练习，然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格

品的个数为y,根据以往的培训经验，对于给定的丁，可以认为y是x的函数.当7=0

对于给定的八在平面直角坐标系xOy中描出该厂值下各数对（％y）所对应的点，并根据

变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线当T=1和7=2时，曲线％,Q如图所示.

⑴观察曲线C1，当整数X的值为时，y的值首次超过35；

⑵写出表中///的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T-3时的曲线Q；

⑶新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制.

①若新员工单口制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员〃证书，根据上述函数关系,

小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员〃证书；

②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函

数关系，在这4日中应安排小腾先进行日的模拟练习.

【变式2】(2023•辽宁阜新•中考真题)某中学数学兴趣个组的同学们，对函数y=Q|x-灯+c

(mb,。是常数，。工0)的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完

整.

(1)当Q=1,b=c=0时，，即y=IH,当％NO时，函数化简为y=x；当％v0时，函数

化简为y=.

(2)当a=2,b=1,c=0时，即y=2l%-l|.

①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：

X…-2-101234♦・・

y—6m20246—

其中m=.

②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=21工-1|的图象.

图1图2

（3）当Q=-2,b—l,c—2时,即y=-2|x-1|+2.

①当工工1时，函数化简为y=.

②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2\x-l\+2的图象.

⑷请写出函数y=Q|z-b|+c（。，b,。是常数，a^O）的一条性质：.（若所

列性质多于一条，则仅以第一条为准）

【变式3】（2023•北京・中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分

内容如下.

每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁

度为0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.

方案二：采用两次清洗的方式.

记第一次用水量为/个单位质量，第二次用水量为上个单位质量，总用水量为。】+上）

个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如卜.：

11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

必0.81.01.31.92.63.2434.05.07.111.5

11.810.01038.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

对以卜实验数据进行分析，补充完成以下内容.

（I）选出。是0.990的所有数据组，并划“V”；

（n）通过分析（I）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量

%1+小之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出比函数的图象；

y

ii

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O12345678910111213~~x

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单

位质量（精确到个位）时，总用水量最小.

根据以上实验数据和结果，解决卜列问题：

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节

水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；

（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为75个

单位质量，则清洗后的清洁度C0.990（填，或.

【题型5动点问题的函数图象】

【典例5】（2025•江苏南京•中考真题）如图，在长方形电子屏4BCD中，AB=8m,

AD=5m,一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB,BC以2

m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开.

⑴写山展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式;

⑵当展开的画面面积达到甩子屏面积的%寸开始播放广告语，播放时间持续3s,求播放

结束时展开的画面面积.

【变式1】（2025•山东东营・中考真题）如图，在同一平面内放置的RtZXEPG和矩形Z8CD,

EG与力B重合，FG=3cm,AB=4cm,BC=5cm,Rt△£TG以lcm/s的速度沿口。方向

匀速运动，当点尸与点C重合时停止.在运动过程中，Rt^EFG与矩形48CD重叠部分

的面积S（cm2）与运动时间/（$）之间的函数关系图象大致是（）

【变式2］（2025•湖北•中考真题）如图1,在△4BC中，LC=90°,BC=4cm,AB=ncm.动

点、P,。均以lcm/s的速度从点C同时出发，点尸沿折线向点4运动，点Q沿边

。向点A运动.当点,Q运动到点力时，两点都停止运动.的面积S（单位：cm?）

与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示.（1）m=；（2）n=.

【变式3】（2025•浙江•中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观

测点之间距离的平方.如图1,点P是一个固定观测点，运动点。从力处出发，沿笔

直公路A8向目的地8处运动.设AQ为x（单位：km）（0Wx式八）,。、?为（单位：

km2）.如图2,y关于x的函数图象与歹轴交于点C,最低点。（m,81）,且经过E（l,225）

和「（上225）两点.下列选项正确的是（）

I

/

22

J

/81H-——*

/IlI•123456

p♦hI__I_!I!.

P01wn~x

图1图2

A.m=12B.n=24

C.点C的纵坐标为240D.点(15,85)在该函数图象上

随堂检测

1.（2025・贵州・模拟预测）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（）

A.（4,-1）B.（-3,4）C.（1,3）D.（-3-1）

2.（2025•四川成都•模拟预测）已知第二象限的点P（—5,4）,那么点尸到y轴的距离为（）

A.5B.4C.-5D.-4

3.（2025•广东东莞•模拟预测）已知点4（-3,2）,8（研+1）,且一IIX轴，则a的值为（）

A.-3B.-4C.2D.1

4.（2024・河北保定•一模）如图，用八1工轴，点用（-3,5）,MN=3,则点N的坐标为（）

N

OX

A.（-6,5）B.（-3,2）C.（3-2）D.（-3,3）

5.（2025•新疆•模拟预测）若点双机-1,5+m）在y轴上，则点力的坐标是（）

A.（-6,0）B.（6,0）C.（0,-6）D.（0,6）

6.（2025•河南郑州三模）如图，如果“马”在点（一1，0）,"仕"在点（1，-3）,则“帅〃所在点的

坐标是（）

!V一工:碘W...+一•

—侬加…•"，」

A.(3,0)B.(1-3)C.(1,3)D.(2,-3)

7.(2025•江西吉安•二模)如图，烧杯中装有适量Ca(OH)2溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸

后，烧杯中的溶液的PH值变化情况用图象可近似表示为()

8.(2025•河南郑州•一模)如图1,质量为机的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置

的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm).从小球刚接触

弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形

变)，得到小球的速度仪cm/s)和弹簧被压缩的长度〃(cm)之间的关系图象如图2所

示.根据图象，下列说法正确的是()

▲i(cms)

26△Acin)

图2

A.小球从刚接