2026年高一数学下学期期末模拟卷（苏教版）+解析

2025-2026学年高一下学期期末模拟卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：苏教版必修第二册全册（平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何初步+统

计+概率）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分°在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

I.一组数据18,20,21,22,28,30,3236,40,41的第60百分位数为（）

A.29B.30C.31D.32

2.下列说法不正确的是（）

A.单位向量的模一定相等

B.若同=W，则£=B

C.在等边三角形/WC中，篇与就的夹角为120。

D.若网=|国，西|=|阿则平面四边形ABCD一定是平行四边形

3.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，。为弧43的中点，E为母线8c的中点，则异面直线AC和OE

所成角的大小为（）

4.在aABC中，丽+/卜|而一衣「是"ABC是锐角三角形”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

1/5

件

5.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.q=(1,1),1=(2,2)B.=(3,-2),e2=(-6,4)

C.1=(0,0)2=(-1,3)

D.e,=(l,2),e2=(2,3)

6.在△ABC中，已知丽•衣=9，sin8=cos人・sinC一〃csinA=6P为线段A3上的一点，且

2

CACB，则常的最")

同十洞

A7+2>/37+30r7+2767+4>/3

A.------oD.------J-------

12121212

7.有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第

一次取出的球的数字是I”，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之

和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4"，则下列选项不正确的是()

A.甲与内相互独立B.甲与乙相互独立

C.丙与丁互斥D.乙与丁互斥

8.已知函数/(xbGcos?[sin6yx-1卜。＞0),.丫£R.若/(x)在区间内没有零点，则”的

B.4

D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度人乩先在河岸边定好•条基线CO=s,在点。测得山顶A

的仰角为。，在点D测得山顶A佗仰角为夕.测得NBCD=/,NBDC=b.在。点后移至E点，测得仰角为0,

2/5

A.1+12sin(/+J)B.1+12cos(/+^)

\tan2atan2/ytanatan/?Ylan2atan2^tanalan^

Catan^tanfiasinOsin夕

D，sin(^-<9)

•lan〃+tan夕

10.下列等式不成立的有（）

A.cos40°cos200-sin40°sin20°=—B.sin15°cos15°=—

22

C.2"")式v2

□.sin---cos"—=——

882

H.如图，正方体ABC。-4与GR的楼长为2,点M是其侧面AO〃A上的一个动点（含边界），点尸是线

段eq上的动点，则（）

A.PM的长度范围是［1,拒］

B.存在点P,M,使得平面与平面P8O平行

C.存在点P,M,使得二面角M-OC-尸大小为1

D.当尸为棱CG的中点且AW=2五时，则点M的轨迹长度为方

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.

12.若复数加一〃?-12+（疝-10m+24）i＞。，则实数加的取值为.

13.在梯形A8CO中，AB//CD,NA=90。，AB=2CD=3,4。=2,若所在线段48上运动，且E”二l,

则存•而的最小值为.

14.已知四面体ABC。中，△A3D为边长为2g的等边三角形，CD1.BD,CD=4,二面角4-8O-C的

大小为120"则四面体ABC。的外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）为了解学生对A8两家餐厅的满意度情况，现从在48两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了

50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为［2,10］）,将其分数记为满意指数.根据打分结

3/5

果按[2,4).[4,6),[6,8),[8,10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中“餐厅的满意指数在[2,4)内的学

A餐厅满意指数频率分布直方图B餐厅满意指数频率分布直方图

(1)求图中的值；

⑵利用样本估计总体的思想，比较A3两家餐厅满意指数的平均数的大小；

(3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差/=2,第四组满意指数的方差$=1,求在B

餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差产.

(注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

16.(15分)《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔

顿在一块四边形ABC。的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将3。连接，经测最

AB=HC=CD=2,AD=2x/2.

(1)霍尔顿发现无论BD多长，也cosA-cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；

(2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关(正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个

变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小)，记口48。与

匚的面积分别为S和邑，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求S：+S；的最大值；

(3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线6。的长度平方成正比，比例系数为k,而总收益与S；+S；成正比,

比例系数为，〃(其中4>。，机>0,12-8自/°'"4A<16)若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净

m

收益最大的8。长度，并写出此时的最大净收益表达式.

17.(15分)已知i为虚数单位，4，Z?是丁+〃a+〃=0(/儿〃£R,A=〃?2-4〃<0)的两个根.

⑴设4，zz满足方程Z|+(l-i”2=9+6i,求利〃的值：

(2)设z=l+2i,复数z，z?所对的向量分别是£与B，若向量行与Z+2B的夹角为钝角，求实数/的取

值范围.

18.(17分)如图，在直三棱柱ABC-4出£中，ABJ.AC,AB=4,AC=4x/L44=4卡，点£户分别

为棱4cA3的中点.

(1)证明：直线切//平面从41。。；

(2)求异面直线EF与8c所成的角的大小.

19.(17分)如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按刁=(2,1)或B=(l,3)这两个方向进行，且每

次只能走一步，若某点P@，y)可以表示为加；+/石(团、〃为自然数)，则称尸为鸿蒙点

⑴通过鸿蒙点(x，y)中"、y满足的关系,判断47,10)是否为鸿蒙点,并说明理由;

(2)证明:若*,力是鸿蒙点,则(x+5,y)也是鸿蒙点;

(3)若某些鸿蒙点满足x+y=200,求在所有满足条件的鸿蒙点中，机+〃最小的点及此时〃?+〃的值.

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数学.参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

BDABDBC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.613.—/3.7514.—H

43

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步骤.

15.（13分）

（1）B餐厅样本容量为50,［2,4）区间频数为15,对应频率为2=0.3,

频率分布直方图组距为2,故3=0.3,6=0.15.

所有区间频率和为2x（〃+。.20+4+0.05）=1,

即4+6+0.25=0.5,解得4=0.1,

所以〃=0.10⑦=0.15.（4分）

（2）A餐厅满意指数平均数K=3X0.1+5X0.3+7X0.4+9X0.2=6.4；

B餐厅满意指数平均数京=3x0.3+5x0.2+7x0.4+9x0.1=5.6.

因为京,京，所以A餐厅满意指数的平均数大于8餐厅满意指数的平均数.（4分）

（3）8餐厅第三组［6,8）频率为0.4,人数为50x0.4=20,平均数7,方差2；

第四组［8,10］人数为50x0.1=5,平均数9,方差1,

混合数据平均数1=20x7+5x9_37

20+5~~~5

方差T

1/4

16.(15分)

(1)在△A/3。中，由余弦定理得8D2=AB2+AQ2-2AB4Z)COSA,

即BQ?=4+8-8>/2COSA=12-8^COSA.

在△AC。中，由余弦定理得BO?=。笈+。。2一2。8cDcosC,

即BD1=4+4-8cosC=8-8cosC，所以12-8\/5cosA=8-8cosC»

即收cos4—cosC=g,所以无论8。多长，起cosA-cosC=J.(4分)

(2)S,=-ABADs\nA=-x2x2y/2s\nA=2>j2s\nAf工=icBCDsinC=^x2x2sinC=2sinC,

22-22

贝ljS；+S；=8sin2A+4siifC=12-8cos?A—4cos2C,

由(1)知，J2cosA-cosC=—,HPcosC=V2cosA,代入上式，

22

(]\2

得S：+S；=12-8cos2A-4后cosA—=-16cos2A+4\/2cos.4+11,

k2，

23

配方得S：+5；=-16cosA-+一,

2

当c°sA=立时，S：+S；取到最大值为三.（5分）

82

(3)设8£>=x,净收益为y,则y=〃«S：+S；)-小,

由(1)知丁=12-8及cosA，r=8-8cosC,

n1.12—x~

则cosA=——T=-.

8V2

由(2)知S：+S；=—16cosA-^y

282

4

x521,2in45m,12

所以y=+S；)-去2=tn-----+—x-1一履"=——x+-__Kjx-m

82I8

5mJ

令/二八贝IJ），=一?/+------kt-m,

o2

5m.

一一k

G(12-8V2,16),

所以/=—-

7mm

2x

8;

2/4

即当X=J纳匕竺时，净收益最大,m(10/»—4kY(56—IOm-4ky_23m2-2()km+4k2

~w_J+l2JI7)m=

m2m

(6分)

17.(15分)

(1)因为肛R,A=〃，-4〃<0,

所以方程/+u+〃=0的两个根4,z2为共挽复数，

设二1一"4■加，z2—a-bi(a,beR),

由韦达定理得Z]+Z2=T«,z)z2=n,

将A=a+〃i,z?=a-历代入ZI+(l-i”2=9+6i,

^t/+/;i+(l-i)(«-M)=9+6i,Bp(2a-b)-a\=9+6i,

2a-Z?=9[a=-6

所以<，解得(5，所以4=-6-2丘，z,=-6+21i,

-tz=6[b=-21

所以加=一(马+zj=12./?=z,z,=477.(8分)

(2)因为4=l+2i,所以Z2=l-2i,所以2=(1,2),5=(1,—2),

所以应-B=f(l,2)-(l,-2)=(-l,2f+2),2+2万=(1,2)+20,—2)=(3,—2),

因为i-B与2+%的夹角为钝角，所以何一可(2+2/；)<0,且启»与Z+2B不共线,

所以3心(r-(l/))-2.(；2⑵r++23)<0"解得"且\

所以实数/的取值范围为(-小升信*).(7分)

18.(17分)

(1)连接4C，由已知条件，点£尸分别为棱8CA8的中点，

故有EF//4C，

又E/U平面AA,CC，ACu平面A4.CC，

所以直线E/3/平面4AGC；

(2)由(1)可知E尸//A/,BC〃5G,

3/4

故ZBC\或其补角为异面直线EF与B6所成的角.

因为AB/AC,A4=4,AC=4x/3»所以BC="B?+3=^,

根据直三棱柱性质可知，AA.A.AB,AA^LAC,所以8A=巧、6=4近,

22

CA=yjAiA+AC=12,

在「ACB中，由余弦定理得as/5c人_'+122—1后）_1,