2026高考数学高频考点练：直线与圆

直线与圆

一、单选题

1.若直线小（〃L2）X+3），+3=0与直线4：2x+（〃-l）y+2=0平行，则，〃=（）

A.4B.-4C.I或TD.一1或4

【答案】D

【解析】根据直线一般方程的平行关系求〃?的值，并代入检验.

若直线《：（帆―2）x+3y+3=0与直线42x+（/〃—1）），+2=0平行，

R!）（m-2）（m-l）=3x2=6,整理可得帚-3丁-4=0,解得〃1=4或m=—1,

若〃7=4,直线4：2x+3），+3=0与直线小2.r+3y+2=。平行，符合题意：

若，〃=-1，直线4：工-丁-1=0与直线自：工一），+1=0平行，符合题意：

综上所述：〃?=4或帆=一1.

故选：D

2.直线F=x+1与圆*-1）2+），2=3交于A3两点，则|四|=（）

A.1B.2C.72D.2a

【答案】B

【解析】先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可.

由题意可得圆心（,0）,半径/=6,

到直线x-y+l=。的距离为4=号=拒，

由几何关系可得|A3|=2\/r2—d~=2>/3-2=2.

故选：B.

3.已知点A,B为圆（x-6『+），2=16上两点，|AB|=46,点P为线段A8的中点，点。为直线x-JJy+4=0上的动

点，则|PQ|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.30

【答案】A

【解析】先根据垂径定理得出|C4=2,即可得出点~的乳迹为圆，贝!问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小

值.

圆（x-6）2+丁=16的圆心坐标为C（6,0）,半径《=4,

因为点P为线段43的中点，|4网=46,

所以点P的轨迹是以。（6,0）为圆心，半径为r=2的圆,

点。在直线x—6＞，+4=0上,

10

可得圆心C（6,0）到直线x-Gy+4=0的距离d==5,

4+3

所以|P。的最小值为"5-2=3.

故选：A

4.已知圆。过点（1,0）,且圆心化不轴的正半轴上，直线/：x+2y-1=0被圆C.所截得的弦长为竽，则过圆心C.且与

直线/垂直的直线的方程为（）

A.2x-y-4=0B.2x+y-4=0

C.2x-y-6=0D.2x4-y-6=0

【答案】C

【解析】设出圆心坐标为（《0）（。＞0）,根据弦长利用勾股定理列方程求解〃，由两直线垂直斜率的关系求出与直线/垂

直的直线的斜率即可写出其点斜式方程.

设圆心坐标为（“0）（。＞0）,则圆C的半径为I。-1|,

由题意知：（痣^）+（竽）=（"1）2,解得〃=3或a=T（舍），

所以过圆心。且与直线/垂直的直线的方程为y=2（x-3）,B|J2x-y-6=0.

故选：C

5.已知点P（T,0）及抛物线C:y2=4x上一点。，若线段PQ的垂直平分线经过C的焦点，则。的横坐标为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

/2\

【解析】设Q。，5，通过两直线垂直，斜率乘积等于-1,列出等式求解即可.

4

抛物线焦点坐标为（1.0）,

设。（空,〃?），则P,Q中点坐标为：

由线段P。的垂直平分线经过C的焦点，

m

解得：W=16，

所以。的横坐标为4,

故选：B

6.在平面直角坐标系xQy中，己知曲线C62+），2丫=2/_2/，若点。为曲线。上的动点，则依耳的最大值为（）

A.当B.72C.2D.272

【答案】B

【解析】对P的位置进行分类讨论，再利用换元法结合余弦函数性质求解最值即可.

设尸&，%），则说+N；『=2x；-2y；,

当点P位于坐标原点时，|。4=。；

可得如骁＜缶-仁

当点P异于坐标原点时,

而。“春江。“系江且看+居T-

J2

2

故令一AF=COS2。，-^=sinO且cos?。一sin?ONO>

“o+No不+5o

2

则|OP『=XQ+y；=（cos。一sin29）=2cos20,

由余弦函数性质得OwQ/fW2,故|。修的最大值为拉，故B正确.

故选：B.

7.已知抛物线C:〉，2=8x,O为坐标原点，直线/与抛物线C相交于A8两点，且直线08的斜率之积为-2,则点。到

直线/的最大距离为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】设直线/：工=冲+〃，A（N，y）I（0），2）,联立直线与抛物线的方程，表示出&办%,与韦达定理联立求出〃，

结合题意分析即可求解.

设直线，：x=my+〃，4（内,X）,8（孙％），

X=7?»V+〃__，

则'可得…吁8〃=。,

所以乂先=一8〃,

又y：=8.q,为=此，所以百x,=®01,

1-64

,,v.y,6464c

所以《#08=^~=-----=-z-=-2,

x/2>'|J2-8〃

所以〃=4,所以直线/：x=/世+4恒过(4,0),

则点。到直线/的最大距离为4.

8.已知圆C：(x-lf+G，-2)2=25,直线/：(2〃7+1)/("7+1))，-7加-4=0(,〃£/?),则直线/被圆C截得的弦长的最

小值为()

A.4石B.6&C.86D.10x/5

【答案】A

【解析】确定直线所过的定点，再根据圆的性质，分析出当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短，最后根据勾

股定理求出弦长的最小值.

将直线方程(2〃2+1)工+(m+1))，-7"?-4=0("?£切进行变形：

(2"?+l);r+(/〃+l)y-7〃7-4=0,(2x+y-7)，〃+(x+y-4)=()

2x+y-7=0

因为meR,所以可联立方程组I八，

解得X=3.y=1.所以直线恒过定点%3,1).

已知圆C：(x-l)2+(y-2)2=25,则圆心C(L2),半径r=5.

可得圆心。(1,2)与定点P(3,l)的距离为：

IPC\=J(3-1)?+(1_21=>/4+T=6

因为行＜5，所以点〃在圆C内部.

当圆心。与定点户的连线垂直于直线时，弦长最短.

此时弦长的一半、圆心与定点的距离以及圆的半径构成直角三角形，其中圆的半径为斜边.

根据勾股定理，弦长的一定为J与|00|2=’25（有丁=同=2百.

所以弦长的最小值为2x2逐=4逐.

直线被圆C截得的弦长的最小值为46.

故选：A.

9.已知圆。：/+），2=1,直线/：），=奴+2,当我变化时•，若过直线/上任意一点总能作圆C的切线，则攵的最大值为（）

A.0B.正C.1D.73

3

【答案】D

【解析】利用直线与圆的位置关系构造不等式即可求得-石工攵工行.

由圆C:V+），2=1可知圆心c（o,o）,半径r=1；

根据题意若过直线/上任意一点总能作圆C的切线，可知直线和圆相离或相切;

|0+2|

因此圆心到直线的距离d=>r=l,解得-

Jl+公

因此人的最大值为

故选：D

10.若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则1的对应点均在（）

Z

A.一条直线上B.一个圆上C.一条抛物线上D.一支双曲线上

【答案】B

【解析】设出复数z的代数形式，再求出!对应点满足的关系判断得解.

Z

设复数z=a+〃i,a,bcR,则/+//=>0）,设！对应点为（x，y）,

z

.1Ia+bia+biab.十0h

==+1a

而==-77=3~,»-2,,2~~>于是x=r，y=F，

za-bi（a-bf1v）（a+b\）Aa+brr厂厂

/+），2=（4）2+（4）2=4,所以！的对应点均在一个圆上.

r-r-r-z

故选：B

11.过点P（3,l）作圆C:V+）,2+2x+4y—4=0的切线，记其中一个切点为A,则|必|=（）

A.16B.4C.21D.旧

【答案】B

【解析】求出圆。的圆心和半径，再利用切线长定理求解.

圆C:1）2+（J+2）2=9的圆心。（一1,一2）,半径r=3,

则IPC|=g-3)2+(-2-1)2=5，

所以|PA|二J|PC『一>=4.

故选：B

12.已知直线），=经过圆］2+）/+2%=0的圆心，则的最小值为（）

A.—1B.—

4

C.0D.1

【答案】B

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线），=，a+〃中得出人=。，从而将目标转化为

求二次函数的最小值.

X2+y2+2x=0可化为（x+l）2+/=1,故圆心为（T,o）,

因直线y=or+8经过圆心，则=

则？=/+/,=/+。，此二次函数开口朝上，对称轴方程为。=一；，

故其最小值为

I2）24

故选：B

二、多选题

13.已知圆C:F+）/—2x—4y+l=0,直线/:以一2）」2。+3=0（其中〃为参数），则下列选项正确的是（）

A.圆C的半径r=4B,直线/与圆。相交

C.直线/不可能将圆。的周长平分D.直线/被圆。截得的最短弦长为加

【答案】BD

【解析】对于A,根据条件得到圆心为。（1,2）,半径为r=2,即可求解：对于B,根据条件可得直线过定点"（2,|）,

口定点在圆内,即可求解：对于C,当有线过圆心时，直线平分圆,即可求解：对干D,当CH_L/叶.直线/被圆。截

得的弦长最短，由弦长公式，即可求解.

对于选项A,由丁十/一2工一4），+1=0,得到+（y-2『=4,

所以圆C圆心为C（l,2）,半径为r=2,所以选项A错误，

对于选项B，由ax•—2>-2〃+3=0,得至lj。（上一2）—2y+3=0,

x-2=0a

由，八，得到x=2,y=S所以直线过点”2,-,

-2y+3=02<2）

22,所以点，门在圆内，故直线/与圆C相交，则选项B正确,

X|HC|=J（2-l）+g-2

乙）

对于选项C,当直线/：d-2），-2〃+3=0过点C（l,2）,即〃二一1时，直线/平分圆C的周长，所以选项C错误,

对于选项D,当C〃J_/时，圆心到直线/的距离最大，直线/被圆C截得的弦长最短,

此时弦长为L=2户方==后,所以选项D正确,

故选：BD.

14.已知直线Gnr+编—"=0（〃?，〃不司时为0,QO:X2+y2=4,抛物线C:丁=4.1的焦点为尸，则（）

A.直线/与恒有两个交点

B.直线/被0。截得的最短弦长为2❷

C.00与抛物线C交于M,N两点，则|MN|=4/

D.当加=〃=1时，直线/与抛物线C交于A8两点，则-忸川二2及

【答案】AB

【解析】根据直线过定点可得直线/恒过定点P（LO），可判断A正确，由直线和圆的位置关系以及弦长公式计算可得B

正确，联立抛物线和圆方程可得C错误，联“.直线和抛物线方程根据韦达定理以及抛物线定义可得D错误.

对于A,由直线/:〃?（x-l）+〃y=0（"?,〃eR）,知直线/恒过定点夕（1,0）.

又点。在0。内，所以直线/与。。恒有两个交点，A正确；

对于B,易知当OP_L/时，直线/被。。截得的弦最短，

此时x=l,最短弦长为2"二了=2百，B正确；

4-\尸—4

对于C,联立2；一得/+41=0,解得i2±2&，

y=4x

结合图形知x=2（&-l）,代入），2=4x得，），=±2即可,

所以|MN|=4,2（夜-1）,C错误;

对于D,易知直线/：x+)」l=O经过抛物线。:9=叙的焦点F,

设A(N，X),8(孙必)，联立F=4：八，整理得W—6x+l=0,

x+y—1=0

则,+*2=6.由抛物线的定义知，|人用=内+&+〃=8,

所以忸H=MMCOS45O=4&,D错误.

故选：AB.

15.在平面直角坐标系入。\,中，曲线c上任意点到点C(l,l)的距离等丁I,若直线y=6(AeR)与曲线。交丁不同的

两点A,B,则()

A.当时，|A8|=1逐B,线段A8中点的就迹长度为日兀

C./.而的取值范围为[一川D.\O^\OB\=\

【答案】ABD

【解析】求圆心C(LI)到直线％-2>=0的距离，运算求解即可判断A；分析可知点M的轨迹是以。C为百径的圆(圆。

内部部分)，即可判断B；根据数量积可得"•肥=cos/AC4,进而可判断C；分析可得|0码。四=|0€/——=],即

可判断D.

对于选项A,圆。：(<-1尸+()，-1)2=1的圆心坐标为C(l,l),半径为厂=1,

若直线)，=1x,圆心C到直线的距离为d=|CM|=甲=且,

2y/55

则1=21AM|=2—/=='行,故A正确；

对于选项B,如图线段A8中点M满足QW_LCM,

所以W的轨迹是以0C为直径的圆(圆C内部部分)，

所以线段A5中点的轨迹长度为\-2冗M=671,故B正确；

222

对于选项C,AC-BC=|AC||BC|cosZACB=cosZACB,因为点4,8不重合，所以cosZACBvl,故C错误；

对于选项D,|。4||。即=(QM|+|M4|X|0MTM4|)=|0M|2一|加4|2=|0C『-J2-(r2-J2)=|(?C|2-/=],故口正确.

故选：ABD

16.已知圆C:(x+2)2+)，=4,直线/:(〃7+l)x+2y-l+〃7=O(〃7wR),则()

A.直线/与圆C可能相切

B.当初=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与直线2x-(/〃+l)y=0垂直

D.若圆C与圆W+9—2x+8)，+a=0恰有三条公切线，则〃=8

【答案】CD

【解析】对于A项，求出直线/经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入〃?=(),得出直线

的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知

可知两恻外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案.

对于A项，整理直线/:(〃?+1)X+2)，-1+〃?=O(〃2CR)

可得出/?i(x+l)+x+2y-l=0,

A+I=0,、

解方程组1«+2),_]=0可得，直线/过定点A(T/).

圆C:(x+2)2+>2=4的圆心为半径为r=2,

22

WO\AC\=>/(-2+1)4-(0-1)=V2<2,

所以点A在圆内，即直线/过圆内一定点，

所以，直线/与圆C一定相交.故A错误；

对于B项，当机=0时，直线/化为x+2y-l=0.

此时有圆心C(-2,0)到走线/的距离d=卜产—"=挛，且1<"v2,

Vr+2~5

因此圆。上只有两个点到直线/的距离•等于1.故B错误;

对于C项，因为(/n+l)x2-2(m+)=o,

所以直线/与直线2.r-(,〃十1))，=0垂直.故C正确;

对于D项，要使圆C与圆V+)，2-2x+8y+a=。恰有三条公切线，则应满足两圆外切.

圆丁十/一2x+8y+a=0可化为(x-lf+()，+4)2=\J-a(«<17),

圆心为M(l,-4),半径为R=y/17-a.

因为两圆外切，所以有|MC|=〃+R,

即y/17-a+2=^(-2-1)2+(0+4)2=5,

整理可得X/IE=3,化简可得17-。=9,

解得。=8.故D项正确.

故选：CD.

三、填空题

17.已知圆屈：/+()，-4)2=1与抛物线。:9=2/"(〃>。)的准线相切于点瓦尸为。的焦点，则直线所被圆加截得的

弦长为.

【答案】迈

5

【解析】根据已知可得〃=2,进而有"1,0)、£(-1,4),写出所:2x+y-2=0,求圆心到直线距离，再应用圆中弦长

的几何求法求直线E尸被圆“截得的弦长.

由题设，抛物线准线为x=-5=-l,则〃=2,故口1,。),

由准线与圆相切且圆心M(。，4),易知E(T,4),

所以EF:y=-2(x-l),即EF:2x+y-2=0,

2

故”(0,4)到：2x+y-2=0的距离d=

二2

所以直线E广被圆M截得的弦长为2

故答案为：|V5

18.已知效物线/=4x上位于第一象限内的点P到抛物线的焦点F的距离为5，过点尸作圆f+V_4x-2y+I=0的切

线，切点为M，则归历|=一.

【答案】3

【解析】先根据抛物线的定义求出点尸的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的

性质，利用勾股定理求值.

在抛物线f=4x中，2〃=4,则〃=2,所以焦点厂（1,0）,准线方程为x=—1.

设点尸（如先）（不，为＞°），根据抛物线的定义，可得用+1=5,解得x,=4.

把小=4代入尸=41，得）,：=4X4=16,因为%＞。，所以为=4,即P（4,4）.

将圆产+）,2一4入.-2），+1=0化为标准方程：（x-2f+（.y-l）2=4,从而圆心为C（2,l）,半径1=2.

故I尸M尸C『一|CM/=V22+32-22=3.

故答案为：3.

19.已知圆。的方程为f+9-2砂一i=o（〃zeR）.当圆C的面积最小时，直线3x-4），+a=0（a＞0）与圆C相切，则。

的值为.

【答案】5

【解析】先求得圆C面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得

依题意，圆C的方程为丁+V-2〃少-1=0（/〃eR）,

所以Y=>+1,所以圆心为C(O,/n),半径为47W，

所以当切=0时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为I,

此时圆心。(0,0)到直线3x-4)，+〃=0(〃>0)的距离为

g=1,。=5或4=-5(舍去).

故答案为：5

20.已知A(—1,0),8(3,0),P是圆O：f+y2=36上的一个动点，则sin4M的最大值为.

【答案】

【解析】几何法：利用正弦定理建立sin/AM与△尸外接圆半径「的关系，再根据圆O与圆C(△抬8的外接圆)的

位置关系求出，•的最小值，进而得到(sinNAPB)心.

代数法：通过设点P的坐标，用向量的坐标运算表示出cosNAP5,然后利用不等式求出cosZA依的最小值，再根据三

角函数关系求出sinNAP8的最大值.

方法一(几何法)

42

解：设圆C为的外接圆，且半径为「，则•…》=2「,故(sin/AP0nm=——

由于点P既在圆。上，也在圆C上，即圆。与圆。有公共点，当圆。与圆。内切时，圆。的半径最小，即

|明向=18

由于边A8的垂直平分线为x=l,设C。/)，则Jj/=6-"TM，

两边平方得1+/=36-12“+产+4+/,两边消去产得：

1=36-1254+产+4,即12,4+尸=39,v4+r=—=—.

则大访="+/=:，故(sin/APB)11m

方法二(代数法)

设P(6cosO,6sin0),AP=(6cosO+l,6sinO),8〃=(6cosO_3,6sin0)

33-12cos。11一4cose

w"APB-cos<AP.BP>=

V37+12cos<9-j45-36cos。J37+I2cos8-j5-4cos6

11-4cos^

--------------,>11一4cos。

V37+12cos<9-Jy(5-4cos<9)