2026年中考数学二轮复习：综合与实践专项（高频考点专练）原卷版

专题18综合与实践专项

目录

就高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

，聚焦题型檐流解密（6大题型精讲+变式拔高训练）

题型一数学文化题

题型二跨学科融合题

题型三新定义问题

题型四阅读理解型问题

题型五方案设计型问题

题型六综合与实践探究性问题

i：实战演练为数提分（中考仿真模拟+限时训练提升）

综合与实践是中考数学核心素养必考模块，分值约6-12分，以解答题为土，常作为中档题或压

轴题小问出现。侧重考查数学文亿理解、信息提取、模型建立、跨学科应用、方案优化、探究推理六大能

力，是近年命题热点。

基础知识必备：

1.了解初中数学常见数学文化背景（古代数学、经典结论、数学家思想）。

2.掌握跨学科融合的信息转化能力（物理、生活、经济、图表等）。

3.会处理新定义：读懂规则一转化为旧知识一计算推理。

4.熟练阅读理解：提取关键条件t建立方程/函数/几何模型。

5.能完成方案设计：列出约束一求最优解（成本、利润、效率）。

6.具备综合实践探究：猜想一验证一归纳一推广能力。

2026中考预测：

必考题型：数学文化、跨学科、新定义、阅读理解、方案设计、综合探究。

难度适中：入口宽、梯度清晰，最后一问侧重思维深度。

命题趋势：贴近传统文化、真实生活•、科技应用，强调应用性、探究性、创新性。

核心考点♦梳理

£

数学文化：背■俟绚拚，理楹B差

跨学科：单位爱温胆运立哂

聚焦题型♦解密

题型一数学文化题

【典例01】（2024•江苏南通•中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面枳关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽

弦图''是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大王方形.设直角三角形的两条直角边长分别

为加，n（m>n）.若小正方形面积为5,（m+九>=21,则大正方形面积为（）

m'

A.12B.13C.14D.15

【变式01】（2025•四川泸州•中考直题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载

了求不定方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=l,y=1.类似地,方程2x+3y=21

的正整数解的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式02】（2025辽宁锦州一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，其大意是：现有若干人

和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行.问人与车各多少？若设有工

人，y辆车，则所列方程组正确的是（）

5=y-27=y-2g=y+2g=y+2

A.x-8_vB.x+8c.x-8D.x+8-

【变式03】（2024四川巴中中考真题）”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：

水深几何？“这是我国数学史上的“葭生池中''问题.BIUC=5,DC=1,BD=BA,则8C=（）

A.8B.10C.12D.13

【变式04】（2024江苏盐城中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大

意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就

比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为尺.

【变式05】（2025•辽宁・模拟预测）在人教版八年级上册数学书P113页提到了杨辉三角，材料如下：

在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律.杨

辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角''或"贾宪

三角”.事实上，这个三角形给出了（。+6）＜71=0,1,234......）的展开式（按Q的次数由大到小的顺序）的系

数规律.例如，此三角形中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着3+。）2=。2+2。匕+62展开式中的各项的

系数.

（。+6）°.............1

.............11

（4+6）2..............121

................1331

S+b）4........14641

根据上述材料，请回答：

（1）请根据（。+力产的展开式证明其对应第四行的系数；

（2）请根据（Q+力厂的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质;

（3）请你预测并直接写出（。+b）n展开式的第二项系数.

题型二跨学科融合题

【典例01】（2025安徽阜阳二模）如图，OM,ON是两块平面镜，一束光线A8照射到平面镜ON上，反射

光线为BC,点C在平面镜OM上，再次反射后反射光线为CD.若乙MON=110。，^ABN=30°,则4DCM的

C.45°D.50°

【变式01】（2024河南中考真题）把多个用电器连接在同一个福线板上，同时使用一段时间后，插线板的

电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象在行研究，得到时长一定时，插线板电源线

中的电流/与使用电器的总功率P的函数图象（如图1）,插线板电源线产生的热量。与/的函数图象（如

图2）.下列结论中错误的是（）

图1图2

A.当P=440W时，/=2AB.0随/的增大而增大

C./每增加1A,0的增加量相同D.P越大，插线板电源线产生的热量0越多

【变式02】（2025山东烟台二模）甲、乙两种物质的溶解度歹（g）与温度，（℃）之间的对应关系如图所

示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至七℃时，甲的溶解

度比乙的溶解度小；③当温度为0久时，甲、乙的溶解度都小于20g；④当温度为30久时，甲、乙的溶解度

相同.其中正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②④

【变式03】（2025河南驻马店一模）如图1,某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板

（踏板质量忽略不计）的可变电阻.％（单位：Q），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数九（单位:

V）换算为人的质量m（单位：kg）.已知%随着%变化的关系图象如图2所示，％与踏板上人的质量m的

关系见图3.则下列说法正确的是（）

信息窗

与与加之间满足

H[=-2/〃+240（0WmW120）

图3

A.在一定范围内，/越大，加越小

B.当%=3V时，踏板上人的质量为95kg

C.当踏板上人的质量为90kg时,%=2V

D.若电压表量程为0-6V（0WU0S6）,为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是120kg

【变式04】物体自由下落的高度方（单位：m）与下落时间/（单位：s）的关系是h=4.9〃.在一次实验中，

一个物体从78.4m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为s.

【变式05】（2025湖南怀化一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烧，如图是它的同系列

化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式:

第1种物质第2种物质第3种物质

第I种物质的分子式是加0&，第2种物质的分子式是SHio,第3种物质的分子式是C22Hl2,…由此可知,

该系列化合物第8种物质的分子式是.

题型三新定义问题

【典例01】新趋势•新定义用定义一种新运算：对于任意有理数%和y,x^y=a2x+ay+l（a为常

数），如：2☆3=a2•2+a-3+1=2a2+3a+1.若1+2=3,则3+6的值为（）

A.7B.8C.9D.13

【变式01】当三角形中一个内角£是另一个内角a的T时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角a称为“希

望角如果一个“希望三角形”中有一个内角为54。，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为

【变式02】对于正整数m我们规定：若。为奇数，则/•(Q)=5Q-1；若。为偶数，则/'(a)/.例如/•⑶

=5x3-1=14,/(IO)=y=5.若Qi=8,a2=。3=/(饱)，。4=，(%)，…，依此规律进行下

去，得到一列数。1以2，。3，。4，,“(〃为正整数)，则。3=»«i+a2+。3+..•+。2023=.

【变式03】对于任意一个四位数，%若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的

数字之和的2倍，则称这个四位数用为“倍和数”.例如：

加=6132,•.•6+2=2x(1+3),.・.6132是“倍和数”；

加=1374,•••l+4H2x(3+7),.R374不是“倍和数

(1)判断1047和4657是否为“倍和数”?并说明理由.

(2)当一个，，倍和数，，加千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时,

记这个“倍和数的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T(m),记百位上的数字与十位上的数字

之差的绝对值为R(m),令G(m)-瑞，当G(m)能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”

【变式04】(2026•湖北随州•一模)【新定义】"等距截线”

定义：在平面直角坐标系中，对于效物线y=ax2+bx+c和直线y=m,若抛物线与直线有两个不同的交点，

则这两个交点之间的线段称为，，截线段”，截线段的长度称为“截距”.

若抛物线的顶点到真线y=机的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线y=机具有“等距截线性

质”.

(1)判断抛物线y=X2-6丫+H是否关于直线y=2具有”等距截线性质”，并说明理由.

(2)已知抛物线y=X2-4X+k关于直线y=2具有“等距截线性质”，求k的值.

(3)已知抛物线y=x2-2ax+d+力关于直线y=4具有”等距截线性质”，且截距为2.

①求b的值；

②若点P是抛物线上位于直线y=4上方的一个动点，点Q是抛物线上位于直线y=4下方的一个动点，若P、

。关于直线y=4对称，直接写出PQ的最大值.

【变式05］（25-26九年级上•江苏无锡•月考）定义：我们知道：四边形的一条对角线把这个四边形分成了

两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

（1）如图1,已知心△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点。，使四边形是

以4C为“相似对角线”的四边形.（在图中标出，并用。1、2、①、D4.........表示）；

（2）如图2,圆内接四边形ABCO中，4力BC=60。，点E是前的中点，连接8E交CD于点凡连接4凡zDAF=30°,

①求证：8F是四边形力8c尸的“相似对角线”；

②若△48C的面积4百，求线段8尸的长.

题型四阅读理解型问题

【典例01】(2026・广西南宁•一模)我们已经学过完全平方公式：(a+b)2=a2±2ab+b2,将它适当变

形可以解决很多数学问题.

(1)填空：己知Q+Z?=5,ab=3,则＞+/=.

(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一.在数学活切课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的

数字游戏,将数字1.2.3.4.5.6填入如图所示的“n”中,使每个圆圈卜的二个数字之和都相等.

①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填,;每个圆圈上的三个数字之和为.

图1

②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a,b,a+b-3,请根据图3的对话内容，求Q+6的值.

③在②的结论下，

Q+b=6或9,

若1’+22+32+42+52+62+a2+d2+(a+d-3)2=126,求助的值.

【变式01】阅读与应用

我们知道（。一匕）2N0,即公一2帅+匕2N0,所以02+r之2而（当且仅当a=b时取等号）.

7r

阅读2：若函数y=%+]（>>0,m>0,77i为常

阅读1:若Q力为实数，

数），

且a>Q,b>0,

VX>0,771>0,

2

•••('/a—Vb')>0

由阅读1的结论可知％+三即》+

:.a-2\fab+b>0

•••G+b>2>/ab(当且仅当a=b时

.•.当％=?时，函数>有最小值，最小值为

取等号)

2Vin.

墙

阅读理解以上材料，解答下列问题：

（1）当％=时，函数y=%+*£>0）有最小值，最小值为.

（2）度情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为

32m2的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最

短？

（3）随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，己知每台机器人

的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折

1日费y（元）与运营工作时间f（小时）的函数关系式为y=0.1*（t>0）.当运营工作时间f长达多少小时

时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？

【变式02】请阅读下列材料，并完成相应的任务：

公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论

著.黄金分割(goldensection)是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与

较大部分的比值.

如图①.在线段4D卜找一个点U。把4D分丸"和O两段,其中"是较小的一段,如果4UG)=

那么称线段40被C点黄金分割，点C叫做线段4D的黄金分割点，4c与CO的比值叫做黄金分割数.

为简单起见，设力。=1,CD=x,则/C=1-x.

-AC-.CD=CD.AD,二...

任务：

(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数.

(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：

①设是已知线段，过点8作BDIAB且使BD=/①

②连接DA,&DA上截取DE=DB；

③在上截取AC=AE-,

则点C即为线段黄金分割点.你能说说其中的道理吗？

(3)已知线段48=1,点C,。是线段上的两个黄金分割点，则线段CD的长是

【变式()3】阅读理解：

【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1,利用此图，可以验证勾股定理吗？

【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.从

而得数学等式:(a+b)2=c2+4x化简证得勾股定理：c?+b2=c2.

图5图6

(1)【初步运用】如图1，若b=2a,则小正方形面积：大正方形面积=_；

(2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2,若a=4,b=6,此时空白部分的面积

为;

(3)【初步运用】如图3,将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓(实线)的周长为

24,0c=3,求该风车状图案的面积.

(4)【初步运用】如图4,将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形48CQ,正方形EFG1I,正方

形MNKT的面积分别为S2,S3,若$+S2+S3=40,则$2=_・

(5)【迁移运用】如果用三张含60。的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出

图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60。的三角形三边人权c之间的关系，写出此等

量关系式及其推导过程(知识补充：如图6,含60。的直角三角形，对边产斜边x=定值.

【变式04】请阅读下列材料，并完成相应的任务.

梅涅劳斯是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍.梅

涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被--条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这

条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三

条边的延长线都相交）.他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：

设D,E,尸依次是△ABC的三边曲BC,或其延长线上的点，且这三点共线，则满足彩等名=1.

UDCLrA

这个定理的证明步骤如下：

情况①：如图1，直线DE交△力8C的边4B于点D,交边力C于点F,交边8。的延长线与点E.

过点C作CM||DE交AB于点M,则号=黑，券=/（依据），

HEAD_BD_AF_

"'~EC''DM~'DM'FC,

力。RqrF

：.BE-AD-FC=BDAF-EC,即嬴•三、=1.

（1）情况①中的依据指：—:

（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；

（3）如图3,D,F分别是△ABC的边AB,上的点，且4D:D8=CF:凡4=2:3,连接。尸并延长，交BC的延

长线于点E,那么BE:CE=

【变式05]

阅读下列材料，并完成相应任务.

黄金分割

天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割”是几何中的

双宝，前者好比黄金.后者堪称珠玉历史卜最早TF式在书中使用“黄金分割''这个名称的是欧姆.19世纪

以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域.黄金分割指把一条线段分为两

部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为竽.用下面的方法（如

图（1））就可以作出已知线段的黄金分割点〃：

图⑴图(2)图（3）

①以线段AB为边作正方形ABCD；

②取力。的中点E,连接£3；

③延长到点凡使=

④以线段AF为边作正方形AFGH,点、H就是线段AB的黄金分割点.

以下是证明点〃就是线段48的黄金分割点的部分过程.

证明：设正方形48co的边长为1,则48=力。=1.

・••点E为4）的中点，•••AE=a

在At△BAE中，BE='AB?+心='+（J=与,:.EF=BE罟,

x/g-l

"F=EF-AE=—.....

任务：

（1）补全题中的证明过程.

（2）如图（2），点。为线段48的黄金分割点（AC>BC）,分别以4C,8c为边在线段48同侧作正方形

力CDE和矩形C6F。，连线6。，BE.求证：4EAB〜4BCD.

(3)如图(3),在正五边形/出CQE中，对角线力。，力。与E8分别交于点"，N.求证：点M是力。的黄

金分割点.

题型五方案设计型问题

【典例01］（2026•山西吕梁一模）威利斯开利（W汝isHmilmdCarrier）于1928年发明了家用空调，为

人们的生活带来了巨大的便利.夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空

调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明：

名称XX品牌空调

出风最小角：ZEFG=133°,

安装

出风最大角：/-EFH=154°

廿1T

E

示意图

D

,8(r

技术参数空调尺寸：795*200*273（宽x深x高，单位：mm）

（1）空调安装尽量避免正对着床；

安装要求

（2）空巡底部E尸需与墙面垂直

根据以上信息，解决下面的问题：

小丽房间内的床长200cm,高50cm,靠墙摆放，为「让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度

EC.（结果精确到1cm.参考数据:sin43。«0.68,cos43°«0.73,can43°«0.93,sin64°«0.90,cos64°«0.44,

tan64°«2.05)

【变式01】【问题背景】

如图①所示的受水型“漏刻''是我国占代一种利用水流计时的工具，实践小组根据其原理做出了如图②所示

的简易计时器.

甲

图①图②

【实验操作】

实践小组设计了如卜.实验：先在用容器里装满水，开始放水后每隔lOmin观察一次乙容器中的水面高度，获

得的数据如下表所示：

放水时长

010203040

t/min

乙容器水面高

357911

度h/cm

【探究发现】

（1）观察乙容器水面高度值的变化规律可知，每隔lOmin水面高度变化量定值；（填“是”或“不是”）

（2）请利用表格中的数据，求乙容器水面高度。与放水时长/之间的关系式；

【解决问题】

（3）求放水lh后乙容器的水面高度（此时水还未溢出）；

（4）若乙容器的容器高度为30cm,且从上午8：00开始放水（此时乙容器中的水面高度为3cm）,则乙容

器几点可以接满水？

【变式02】（2026•陕西西安•模拟预测）西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实

践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度.

活动主题测量操场看台对面体育馆的高度

测量工具测角仪，皮尺，计算器等

测量示意图

①用皮尺测得看台A8的长为2.5米，坡度/•为3:4,看台最低点力到地面CE的距

离为1米，AELEC,DC1EC,BG1GC,AHLBG,BF1CD,

②用测角仪在看台最低点彳处测得体育馆顶部。点的仰角为30。，在看台顶部

测绘过程与数据信息

点B处测得体育馆顶部D点的仰角为26。35'：

③用计算器计算得:sin26035/«0.45,cos26°35,«0.89,tan26°35,«0.50,

V3*1.73.

请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆。。的高度（结果精确到0.1米）.

【变式()3](2026年山西省临汾市九年级数学模拟试卷(二))项目化学习

项目背景：水龙头是口常生活中常见的设备，广泛应用于厨房、浴室等场所，主要用于控制水流的开关与

调节.它不仅在家庭中起着基础作用，也在工业、医疗等领域有特定用途.综合实践小组的同学围绕“水龙

头中的数学，，开展项目学习活动，形成了如下活动报告.

项目主题水龙头中的数学问题

驱动问题如何解决水龙头中的数学

活动内容利用三角函数等有关知识进行测量与计算

某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2.D,A,E三点共线，E-A-B-C是水管，

AEJ.台面MN.A-0-尸是开关，可整体绕点A上下旋转，RAD1DF,AE1AB.

.一DF/F

活动过程

■MENMEN

图1图2图3

连接A凡Z.FAD=60°,AE=14cm,AD=4cm,如图3,当开关开到最大时，△4Dr旋

数据测量

转到△VD'F’的位置上,旋转角/FA尸=30。.

交流展示...

请根据上述数据，计算问题

(1)求图2中力产的长度.

(2)求图3中点〃到台面MN的距离.

【变式04】(2026•安徽六安•一模)请根据以下素材，完成探究任务.

如图(1),一个书架上放着8个完

全一样的长方体档案盒，其中左边7

个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1

素材一

个档案盒向左斜放，档案盒的顶点。

在书架底部，顶点F靠在书架右侧，

顶点C靠在左边的档案盒上.

其示意图如图(2),经测量知书架

内侧长度8G=60cm,zCDF=53°,

素材二档案盒高度=35cm.

(参考数据：sin53°x0.799,cos53°

«0.602,tan53°«1.327)

任务一：计算右边档案盒的顶点。到它所靠的档案盒的距离;

(1)求ED的长(结果保留整数)；

任务二：求出每个档案盒的厚度

(2)求OF的长(结果保留整数)；

【变式05】(2025•陕西西安•三模)【问题提出】

(1)如图①，已知。。与直线1相离，过。作ON1，于点N,ON=6,。。的半径为4,则圆上一点P到直

线I的距离的最小值是；

【问题探究】

(2)如图②,在四功开中,ADIIRC.AD=2,RC=4.z/?=zC=60°.请你过点/)画出将四边形

48CD面积等分的线段DE,并求出DE的长.

【问题解决】

(3)如图③所示，是由线段。力、48、BC与弧而围成的花园的平面示意图，BC=2AD=80m.CD=40\/3

m,AD||BC,CDJ.BC,点E为BC的中点、,而所对的圆心角为120。.管理人员想在而上确定一点M,在四

边形区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过A点修建一条小路4N,把四边形力8EM分成面积相等且

尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉.问是否存在满足L述条件的小路AN?若存在，请求出月N的长,

图⑴图⑵图⑶

题型六综合与实践探究性问题

【典例01】（2025•江苏淮安•中考真题）综合与实践

【主题】雨天撑伞的学问

【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ,MN=0.2

米,MQ=1.6米.雨伞撑开的定度1米.伞柄的OG部分长为0.45米•点。为4c中点._L4C点G到

地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线4B与地面的夹角为仇雨线与CD平行，AC

②如图（1）所示，0=72°,若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体祓雨水淋湿的

部分尸K=_米.（参考数据：sin72°«0.95,cos72°«0.31,tan72°«3.08）

【问题探究】（2）如图（2）所示，6=60。，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被

雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与％的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况卜入的取值范闱.

【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺

时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得4c与雨线48垂直，如图（3）所示，试问：小丽在

旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最

小值；如果不可以，请说明理由.

【变式（）1]（2025•青海•中考真题）数学实践

【问题背景】

中国传统农业智慧遇1：现代数学模型.“电豆不上架，产量少一半''的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密:

当支架与地面形成65。夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给史豆装J'智能遮阳篷.

【问题呈现】

用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65。夹角？

【模型建立】

环节一：数据收集

两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为（）.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹

角均为65。.

环节二：数学抽象

如图：已知线段48与。。交于点。，AB,CD与直线[分别交于点E,F,AB=CD=1.8m,BE=DF=0.3

m,^AEF=zCFF=65°,EF=0.6m,求OE的长度.（结果精确到0.1,参考数据：sin65°«0.91,cos

65。合0.42,tan65°«2.14）

【模型求解】

【问题总结】

交叉点。距顶端4的长度即0力为m时，支架与地面形成65。夹角，这样更贴合作物的生长规律.

■BI

【变式（）2]（2024•广西南宁•一模）综合与实践

【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意.某校数学实践小组利用

所学数学知识测量龙象塔的高度.

【实践探究】下面是两个方案及测量数据：

项

测量龙象塔的高度

目

方案一：借助太阳光线构成相似

方方案二：利用锐角三角函数.测

三角形.测量：标杆长CD，影

案量：距离CD,仰角a,仰角从

长ED,塔影长08.

测

量4A

示oI

意

图//1

匕DBBCD

测

量第一第二测量第一第二

平均值平均值

项次次项目次次

目

测

量1.611.5926.6

CD1.6inP26.4°26.5°

数mm0

据

1.181.2236.9

ED1.2ma37.1°37°

mmO

DB38.939.139mCD34.8m35.235m

mmm

【问题解决】

(1)根据“方案一”的测量数据，直•接•写••出龙象塔的高度；

(2)根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔AB的高度；(参考数据:sin37。*0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,

sin26.5°«0.45,cos26.5°«0.89,tan26.5°«0.50)

(3)请对本次实践活动进行评价(一条即可).

【变式03】【综合与实践】

【认识研究对象】教材.⑵页给出了如下定义：如图1,如果点P把线段48分成两条线段4P和

PB/P>P8),且黑=弟则我们称点P为线段48的黄金分割点.类似，我们可以定义：如果一个三角形

中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形

如图2,已知△48C是“类黄金三角形"，且4c<48VBC.若/C=3,BC=5,求力8的长.

【探索研究方法】如图3,已知△力是“类黄金三角形"，且ACV/BVBC.若484。=90。，小滨同学过

点4作/W_LBC于点O,发现了两个结论：

@AB2=BDxBC；

②点。是边BC的黄金分割点；

请给出证明.

【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决.于

是开展新的探究，请解决以下问题：

如图4,已知△A8C是“类黄金三角形"，且ACV48<BC.若BC=2,=90°+|zC,求AB的长.

【变式04］综合与实践

动手操作

利用正方形纸片的折叠开展数学活动.探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学

思想方法.

如图1,点E为正方形A8CD的A8边上的一个动点，AB=3,将正方形4BCD对折，使点A与点及重合，点C与

点。重合，折痕为MN.

思考探索

（1）将正方形力BCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点夕落在MN上，折痕为EC,连接。夕，

如图2.

①点6'在以点E为圆心，的长为半径的圆上；

②=；

③△DB'C为三角形，请证明你的结论.

拓展延伸

（2）当A8=3/1E时，正方形ABQ沿过点E的直线I（不过点8）折叠后，点8的对应点夕落在正方形A8CD

内部或边上.

①△ABB'面积的最大值为；

②连接4夕，点p为4E的中点，点Q在4B'上，连接PQ/4QP=zAB'E,贝®C+2PQ的最小值为

图1图2备图

【变式05】(2026•吉林•一模)在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计

算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下：

BDCBCAB

图1图2图3

(1)【观察发现】

如图1,在等边中，AC=4V3,CD=E,尸分别是48和力。上的动点，且总有8E=力凡阅读

下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定DE+DF最小值的方法.

♦.•在等边△力BC中，AC=4V3,CD=^BC,

.••点。为BC边上的中点，ZH=^ACB.

：.AD1BC.

过点4作4G_L40,使力G=BD,连接GF,

MG||BC.

••Z.GAC=Z-ACB=乙B.

又以尸=BE,

.••△/IGF三△BOE(SAS).

••.GF=DE.

连接DG,DF,当。，尸,G三点共线时，GF+。产的最小值等于线段。G的长.

连接GC,

证明过程缺失

.••匹边形力DCG是矩形.

--DG=AC.

【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形ADCG为矩形的过程；

②结合上述探究过程可知IOE十OF的最小值为.

(2)【类比应用】

如图2,已知正方形力BCO的边长为12,O为对•角线的交点，M,N分别是力B,力。上的动点，且总有

BM=DN,连接。M,CN,求。M+CN的最小值.

(3)【拓展延伸】

如图3,矩形48CD中，AB=y/2,AD=2^2,E是40的中点，F,G分别是6C和。。上的动点，且总有

RF=2DG,OlljEF+24G的最小值为.

实战演练，提分

（限时训练:50分钟）

1.（2025安徽淮南三模）一束光照射到平面镜为8上的点。处后反射到平面镜BC上的点£处，已知入射光线、

反射光线与力8的夹角相等，照射点£处的法线ENIID。（法线与反射面垂直，即EN18C）,若乙4。。=20。,

则两平面镜的夹角乙48c的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

2.（2023湖南娄底中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的

一个结论：三边分别为4、8、。的△ABC的面积为S&48C=号102"2一（"^~~）.△ABC的边4、力、。所

对的角分别是乙4、乙B、则=:absinC='csinB=]csim4.下列结论中正确的是（）

乙乙乙

「「a2+b2-c2nra2+b2^c2

C・COSC=2acD.COSC=?儿

3.（2025•青海西宁•中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形4BCD和小

正方形EFGH,连接BD交CW于点P.若BP=BC,则tan4CBG的值是（）

A.V2—1B.2—42C.乎D.

4.（2025•陕西西安・模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著

的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（。+占＞展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨

辉三角”.根据“杨辉三角”的规律，(。+匕)3的展开式中第二项的系数为3,那么(。+匕》的展开式中第三项

的系数为.

左右

枳隅

mI

tI---------------------------------------I

z+b\)

(4

xJa+b------------------------------------11

您OO2

z+力X

(Q)

v/22

3a+2ab+b----------------------------121

5JOOO力

za\

(+l

xz4心3〃桃3ab2+a----------------------1331

QOOOQ

z+b

(

x/+44力+6a方+4时+方4------------14641

5.当三角形中一个内角夕是另一个内角a的5时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角a称为“希望

角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54。，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为.

6.(23・24七年级上•浙江衢州・月考)对于正整数我们规定：若。为奇数，则/•(a)=5a-l：若。为偶

数，则/(a)=].例如/⑶=5x3-1=14,/(IO)=y=5.若％=8,a2=。3=fQ),«4=/

(。3),…,依此规律进行下去,得到一列数即以2以3以4,…(〃为正整数)，则。3=，。1+。2+的+.•.+

a2023=-

7.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足yWM,那么称这个函数

是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，函数、=-氏-3)2+2是

有上界函数，其上确界是2.

(1)函数①、=/+2%+1和(^^=2%一3(x<5)中是有上界函数的为(只填序号即可)，其上确

界为;

(2)若反比例函数y=g(aWxW/?,a>0)的上确界是匕+1,且该函数的最小值为2,求a、/)的值；

(3)如果函数y=-x2+2ax+2(-1W无W3)是以6为上确界的