2026年高考数学一轮复习讲义：圆的方程（附答案）

§8.3圆的方程

【课标要求】1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据圆的

方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

j----------------------------------------落实主干知识---------------------------1

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于_______的点的集合叫做圆

圆心C__________

标准(A-a)2+^-/?)2=r(r>0)

半径为____

方程

/+产瓜+比产二。圆心C______________

一般

(D2+E2-4E>0)半径『_______________

2.点与圆的位置关系

平面上的一点,yo)与圆C：。-〃)2+()，-/?)2=户之间存在着下列关系：

(I)|A/C|>/,<=>M在,B|J(xo-a)2+(y()-b)2>r^M在圆外；

(2)|MC|=r=M在>即(x()-a)2+(y()-b)2=r<=^M在圆上；

(3)|MC|</-<=>M在,即(x()-a)2+(yi)-b)2<r<=>M在圆内.

S自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“Y”或“x”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)(x-2)2+(y+l)2=a2(aWo)表示以Q,1)为圆心，。为半径的圆.()

(3)方程AF+8.t)，+C/+£>x+及v+40表示圆的充要条件是A=CWO,8=0,D^+E2-4AF>0.()

(4)若点”(丫0,)，0)在圆声产⑺什小叶尸二0外，贝|J君+y,+4o+Q,0+QO()

2.已知圆x2+/+2r-4y+1=0关于直线x-y+/=0对称，则实数，等于()

A.-3B.lC.-lD.3

3(多选)已知圆C：4+产4x+6y+ll=0与点A(0,・5),则()

A.圆C的半径为2

B.点A在圆。外

C.点A在网。内

D.点A与圆C上任一点距离的最小值为企

4.以点A(0,-1),仅2,1)为直径端点的圆的方程为.

国微点提醒

1.掌握圆的两个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上.

2.牢记两个相关结论

(1)圆的“直径式”方程：以A(xi，yi),>2)为直径端点的圆的方程为(.Ej)a-{2)+GiyD(xy2)=O.

(2)圆的参数方程：圆心为(小b),半径为，•的圆的参数方程为鬻'其中。为参数，可用来设圆上

—D-rrsinc/,

的点的坐标.

■探究核心题型.

题型一圆的方程

例1设的圆心M在直线2Y-)，・I=0上，点(3,0)和(0,1)均在上，则的方程

为.

思维升华求圆的方程的常用方法

(1)直凌法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心3，力)和半径，•有关，则设圆的标准方程，求出。，b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,产的值.

跟踪训练1(2024.南昌模拟)设圆心在x轴的圆。过点(1,1),且与直线)=2x-l相切，则圆C的标准

方程为.

题型二与圆有关的轨迹问题

命题点1直接法

例2已知线段AB的长度为4,动点M与点A的距离是它与点8的距离的企倍，则△M48面积的最

大值为()

A.8V2B.8C.4V2D.y

命题点2定义法

例3已知圆C：(*1)2+()，-1)2=1,点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2,则点A的轨迹方程

是()

A.)2=4x

B.^+y2-2x-2y-3=0

C.x2+y2-2y-3=0

D.y2=-4x

命题点3相关点代入法

例4(2024.新课标全国II)已知曲线Cx2+y2=16(>>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段P为

垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

X*2y2

A苦2。)

B.9*30)

c£o=i(y>0)

D.^+y=Kv>0)

思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练2己知RtZSABC的斜边为AB,且A(-l,0),3(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例5(多选)已知实数X,y满足,F+)，2-4y+3=0,贝lj()

A.当xNO时，［的最小值是-百

X

B.f+y2的最小值是1

C.y-x的最小值是2-V2

D.k+y+31的最小值为2

命题点2利用对称性求最值

例6已知A(0,2),点P在直线x+.y+2=0上，点。在圆C：炉+产以为二。上，则|PA|+|PQ|的最小值

是.

命题点3利用函数求最值

例7设点P(x,)，)是圆f+G，-3)2=l上的动点，定点42,0),8(-2,0).则可•丽的最大值为.

思维升华与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如〃=T,t=ax+by,(心。)2+()，功＞形式的最值问题.

x-a

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判

别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如IPMI+IPM(其中M,N均为动点)且与圆。有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，

把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之

和，一般要通过对称性解决.

跟踪训练3(1)(2024・商洛模拟)已知P(xo,泗)是圆C/+产242)，+1=0上任意一点，则空的最大值为

比一3

()

A.-2

C.-D.*

33

⑵已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=l,设点尸是圆。上的动点.记d=|PBF+|PA|2,其中A(0,1),5(0,-I),则d

的最大值为.

答案精析

落实主干知识

1.定长3，b)r(一/|VZ)2+F2-4F

2.(1)圆外(2)圆上(3)圆内

自主诊断

1.⑴、(2)X(3)4(4)4

2.D3.BD4.(%-1)2+/=2

探究核心题型

例1(X-1)2+。+1)2=5

解析方法一设。M的方程为

(方。)2+()，-〃)2=3任>0),

(2a+匕-1=0,m=1,

则卜3—Q)2+F=r2,解得人=-1,

[a2+(1-b)2=r2,(r2=5,

/.0M的方程为。-1产+()，+1)2=5.

方法二设OM的方程为X2+/+DA+EV+F=0(D2+E2-4R>0),

则-|),

,,)9+3D4-F=0,

ll+E+F=0,

(D=-2,

解得E=2,

F=-3,

・・・OM的方程为

x2+y2-2x+2y-3=0,

即(X-1)2+()，+1)2=5.

方法三设A(3,0),3(0,1),O历的半径为r,

则以后悬=_，线段48的中点坐标为(I，1),

.,•线段A8的垂直平分线方程为

十[.|),

即注广4=0.

联立朦;二：二触得

・・・M(1,-1),

.'・户二|四川2

=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,

/.OM的方程为(.1)2+()，+1产=5.

跟踪训练1(x-3)2+}?2=5

解析方法一设圆C的圆心为(/〃,0),

则由于该点到直线产2E的距离.黑曾)厂工1I,

结合圆C与直线相切，知圆C的半径为鸟"1.

V5

所以圆C的标准方程是

(x-m)-+y-=---.

而圆C过点(1,1),所以(1加)2+13严,解得〃7=3.

所以圆C的标准方程是

(x-3)2+/=5.

方法二因为点(1,1)在直线)=2x-l上，

所以圆。与直线尸2丫-1的切点为(1,1),

则过圆心C和切点(1,1)的直线方程为)，-1=祗。-1),

即尸夕+|,

又因为圆心C在x轴上，

则()二与+1,得A-3,

即C(3,()),圆C的半径为，(3-+(0-1产二花,故圆C的标准方程是(X-3)2+V=5.

例2A[以线段A8的中点O为坐标原点，A8所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设M(x,y),

且A(-2,0),B(2,0),

由|MA|二迎|M8|,

得(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2,

化简得M的轨迹方程为圆(x-6)2+y2=32()H0),半径r=4或，

如图，有S.8号•■科广8&.

所以AMAA面积的最大值为8V2.]

例3B[因为圆C：(x-l)2+C-l)2=l,

所以圆心C(1,1),半径L1,

因为点M是圆上的动点，

所以|材0=1,

又4”与圆相切，且|AM|=2,

M\AC\=y/\MC\2+\AM\2=y[5,

设AQ,y),则⑴1)2+81)2=5,

即r+产2¥-2)，-3=0,

所以点A的轨迹方程为

八'+)2-2A-2.y-3-0.]

例4A[设点M(x,y),

则P(x,y0),P\x,0),

因为“为PP的中点，

所以yo=2y,即P(x,2y),

又尸在曲线/+)?=16()>0)上，

所以.©+4产16()>0),

即《目=1。>0),

即点M的轨迹方程为

22

茜xv=180)・]

跟踪训练2解(1)方法一设Qr,y),因为A,8,C三点不共线，所以户4).

因为AC.LBC，且AC,BC斜率均存在，

所以,口c=-l,

所以yy

x+lx-3

化简得x2+y2-2x-3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为

^+/-2¥-3=0(>^0),

即(心1)2+9=4(>孚0).

方法二设线段A3的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知|CQ|=，48|=2.由圆的

定义知，动点。的轨迹是以Q(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴

的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为

(41)2+/4()孚0).

⑵设M{x,>-),C(xo,yo),

因为R(3,0),目M是线段8。的中点，

所以由中点坐标公式得门竽，产等，

所以XQ=2X-3,yo=2y.

由⑴知，点C的轨迹方程为

(x-l)2+y2=4(j^0),

将所2廿3,冲=2)，代入得(21-4)2+©户4()¥0),

gP(x-2)2+/=l(y^0).

因此直角边8C的中点M的轨迹方程为a-2)2+)，2=l(yW0).

微拓展

典例(1)例+)=3

解析设P(x,)，),由题意可得，缁二企，

^\PA\=V2\PB\,

则(x-V6)2+/=2(x-y)2+y2

整理得/+)2=3.

解析依题意，由sinA=2sinB,

得18cl=2|AC|,“cosB+bcosA

a2+c2-b2.b2+c2-a2

-=c=2,

即|A8|=2,以A8边所在的直线为▲•轴，线段人3的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标系，

设4(1,O),B(-1,0),C(x,y),xW0,

2

由|BC|二2|4C1,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为1一§+/=y,冲0,

边A8上的高的最大值为g,

所以(S△八8C)max二g.

例5BC［由9+产4)叶3=0,得./+°:2)2=1.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=l的圆.

设部(#0)，则k表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点0(0,0)连线的斜率,

解得或kWW,故A错误；

因为F+9表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在),轴上，

所以当.『0,.尸1时，W+y2取得最小值，且最小值为1,故B正确；

设产厂〃，则产什4,4表示当直线产x+〃与圆有公共点时，直线在)•轴上的截距，

则产21YI

解得2-迎《疟2+企，

即的最小值是2-V2，故C正确；

|x+y+3|表示圆上的点到直线x+>H-3=0距离的四倍，

圆心(。，2)到直线x+y+3=0的距离为d=^=,

则|x+”3|的最小值为屈x偌-1)=5,，故D错误.]

例62V5

解析因为圆C：/+)，2-4『2)=0,

即(片2产+()，-1)2=5,

所以圆C是圆心为C(2,1),半径L石的圆.

设点,4(0,2)关于直线x+v+2=0的对称点为A\m,n),

吧+山+2=0,

所以22

三二1

m-0，

解得｛:二二士故4'(-4,-2).

连接AC交圆C于。(图略)，交直线x+y+2=0于P,此时，

IPA1+IPQI取得最小值，

由对称性可知|P4|+|PQ|=|PA]+\PQ\=\A'Q\=\A'C\-r=2y/5.

例712

解析方法一由题意，

得同二(2-x,-y),

而二(-2-x,-)，)，

所以西.丽=f+广4,

由于点P(x,)，)是圆上的