2026年高考数学一轮复习专练：等式性质与不等式性质（学生版+解析）

专题1.3等式性质与不等式性质(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1不等式性质的应用】...........................................................................3

【题型2用不等式表示不等关系】......................................................................3

【题型3比较数(式)的大小】........................................................................4

【题型4利用不等式的性质证明不等式】................................................................4

【题型5利用不等式的性质求目标式的取值范围】......................................................5

【题型6不等式的综合问题】...........................................................................6

【题型7糖水不等式】..................................................................................7

1、不等关系与不等式性质

考点要求真题统计考情分析

高考对不等式的性质的考查比较稳定，

一般以选择题、填空题为主，主要考查

不等式的性质及其应用、比较大小；单

(1)等式性质独考查的题目虽然不多，但不等式的相

(2)比较两个数的大小关知识往往可以渗透到高考的各个知识

2022年II卷：第12题，5分

(3)理解不等式的性质，并领域，作为解题工具与函数、向量、解

能简单应用析几何、数列等知识相结合，在知识的

交汇处命题，是进行不等式变形、证明

以及解不等式的依据，是高考考查的一

个重点内容.

知识梳理

知识点等式性质与不等式性质

1.等式的基本性质

性质1对称性：如果a=b,那么b=a；

性质2传递性：如果a=b,b=c,那么a=c\

性质3可加(减)性：如果〃=b,那么。土c=/?±c；

性质4可乘性：如果〃=〃，那么双=儿；

性质5可除性：如果。=〃，存0,那么

2.不等式的性质

⑴对称性:如果4>b,那么b<a\如果b<a,那么a>b.BPa>b<^b<a.

(2)传递性:如果4>从b>c,那么G>c.即b>c=>a>c.

⑶可加性:如果4>力,那么o+c»+c.

(4)可乘性:如果〃>/?,C>0,那么4c>Ac；如果〃>/?,C<0,那么4C<力C.

(5)同向可加性:如果a>b,c>d,那么d+c>b+d.

(6)同向同正可乘性:如果4>8>0,0d>0,那么ac>札/.

(7)同正可乘方性:如果a>b>0,那么a>,>b,\n£N,n>2).

3.不等式的两类常用性质

⑴倒数性质

①a>b,ab>0=>5V'；

②；

③〃>〃>(),0<c、<d=?>%；

@0<a<v<Z?或«<v</?<()=>

(2)有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

①真分数的性质

bb+mbb-m,、

—<—；--->---------(b—m>0)；

aa-Vmaa—m

②假分数的性质

aa-\-maa-mf、

Tb>MbI|--m-,Tb<vb---m-(b—m>0).

4.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0—>1(。,6>0)或>v1(>,方<0)

bb

a=ba-b=01=K^*0)

a<ba-b=0色<1(。，方>0)或@>1(。2<0)

bb

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2.比较数(式)的大小常用的方法有作差法、作商法..直接应用不等式的性质，基木不等式，利用函

数的单调性，需要灵活运用方法求解.

举一后二

【题型1不等式性质的应用】

【例1】（2025•天津南开♦一模）设％yeR,则“/+/>o”是“到>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-1]（2024•河南驻马店•二模）已知Q>b>c>0,则下列说法一定正确的是（）

A.a>b+cB.a2<be

C.ac>b2D.ab+be>b2+ac

【变式1-2]（2025•河北石家庄•一模）如果好>0,那么“Q>b”是是<，的（）

ab

A.充分不必要条件R.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-3]（2025・山东•二模）若Q<匕V0,则下列不等式成立的是（）

A.a2<b2B.a+b<b+cC.-<7D.<-7-

ab|a|\b\

【题型2用不等式表示不等关系】

【例2】（24-25高一上•广东深圳•阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，4型货车

载重量30吨，B型货车载重量24吨，设派出A型货车工辆，8型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是（）

A.5%4-4y<100B.5%+4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【变式2-1]（2024•江西抚州•模拟预测）为了庆祝建党1，）周年，学校

计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿

色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（）个

A.20B.22C.24D.26

【变式2-2]（2025•山西•二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为

负数的点多，纵坐标为正数的点匕纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（）

A.第一象限点比第二象限点多B.第二象限点比第三象限点多

C.第一象限点比第三象限点少D.第二象限点比第四象限点少

【变式2-3]（2024•浙江金华•一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、4可供选

择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于

男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题8的人数，则（）

A.选辩题4的女生人数多于选辩题8的男生人数

B.选辩题4的男牛.人数多于选辩题B的男生人数

C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数

D.选辩题4的男生人数多于选辩题B的女生人数

【题型3比较数（式）的大小】

【例3】（2025•云南昆明•一模）已知%>0,x2-2xy+z2=0,x2<yz,则（）

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【变式3-1］（2024•全国•模拟预测）已知%>y,则下列不等式正确的是（）

A.1-x<1-yB.x2>y2C.|^|>1D.xz>yz

【变式3-2］（2024•浙江金华•模拟预测）设a,b,c的平均数为M,Q与匕的平均数为N,N与c的平均数为P.若Q>b>

cM（）

A.NVPB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【变式3-3】（2025•广西来宾・模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀

少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，

并且制定了两种不同的方案：方窠一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知

黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为%,上，且的安电，则

下列说法正确的是（）

A.当且仅当也时，方案一的平均购买成本比方案二更低

B.当且仅当田〉。2时，方案二的平均购买成本比方案一更低

C.无论由,©的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案一更低

D.无论%,即的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低

【题型4利用不等式的性质证明不等式】

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知小b,。为三角形的三边.

（1）求证：Va24-h24-aft+y/b2+c2+be>2c；

（2）若c2bNa,求证：Va3+b34-Vc3+a3<a+b+c.

【变式4」】（24-25高一上.全国•课后作业）设x>。，y>。，z>0,证明一〈毒+煮+£<2.

【变式4-2］（24-25高一上•海南省直辖县级单位•期中）已知d<c<-2.

(1)求证：(a—l)(b—l)(c+2)(d+2)>0；

⑵求证:ac+bd>be+ad.

【变式4-3］（24-25高一上•上海•课堂例题）（1）已知c>Q>力>0,求证：—ca>—cb

（2）已知a>b,e>f,c>0,求证：f—ac<e—be.

【题型5利用不等式的性质求目标式的取值范围】

【例5】（2025•吉林长春•模拟预测）已知V-则2a-2夕的取值范围是（）

42

C.(—11,71)D.(―7T,0)

【变式5-1］（2025•河北沧州•模拟预测）已知2VQW4,-1<bW0,贝IJ2Q-b的取值范围（）

A.[4,9）B.（4,9）C.（5,8]D.（5,8）

【变式5-2]（2024.江苏南通.模拟预测）设％y为实数，满足3Wxy?工W9,则1的最大值为（）

A.27B.24C.12D.32

[变式5-3]（2025・浙江・模拟预测）若负实数亡满足:对于任意Qe[-4,t]，总存在瓦ce[-4,t]，使得ab+c=1,

贝狂的范围是（）

A.[-4,-;]B.[,，TC.[-A-;]D.[-V5,-4]

【题型6不等式的综合问题】

【例6】（24-25高一上•云南•期中）回答下列问题

⑴已知Q/都是正实数，比较1+廿与Q+匕的大小；

Da

（2）已知l<a+b<3,-2<a-b<2,求2a+3b的取值范围.

【变式6-1]（24-25高一上•上海宝山•阶段练习）（1）已知X6R,比较2/+3%-1与7%-3的大小;

（2）已知Q>0,b>0,若a+b>4,求证：生和-二中至少有一个大于3

b\2aI22

【变式6-2]（24-25高一上•四川南充•阶段练习）（1）已知一1Wx+y44,2Wx-y<3,求戈+2y的取值

范围；

（2）若a>b>0,c<d<0,e<0,求证：e>e

（a-c）/（b-d）/

【变式6-3］（24-25高一上•上海黄浦・期中）设a,b,c,d是四个正数.

（1）己知a>8,比较鬻与E的值的大小；

a+2bb

（2）若（a+l）（b+l）（c+l）（d+l）V16,求证：a,b,c,d中至少有一个小于1.

【题型7糖水不等式】

【例7】（24-25高一上•贵州六盘水•期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”

作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“V"和">"符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对

不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果。克糖水中含有匕克

糖（a>b>0）,再添加n克糖（n>0）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确

的是（）

.b+n、bb

A.——>一DR.------->-

a+naa+na

「b+nb

C.-----N一D.竺3

a+nab+nb

【变式7-1］（24-25高一上•福建苦田・期末）Q克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为?这个质量

比决定了糖水的甜度，如果再添加7九克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式

为翳>5（a>匕这个不等式趣称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是（）

.如，\f7-2西西+2

A-而<赤B•石〈而

怆

c.log5<log10D7+Igll<lg7+lgll

816*1+Ig71+lgll、1+Ig7+Igll

【变式7-2］（2025高一•全国•专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子

并证明.

（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；

（2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡;

（3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.

【变式7-3]（24-25高一上•黑龙江黑河,阶段练习）已知。克糠水中有。克糖（b>a>0）,往牖水中加入加

克精（m>0）,（假设全部溶解）糖水更甜了.

（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式;

⑵利用3）的结论比较用=黑黑,N=魄置的大小;

⑶证明命题：设入•>（）,>证明；i<堂十++.<2.

过关测试

一、单选题

1.（2024•青海西宁•一模）下列自题中，正确的是（）

A.若ab。0且Q<b,贝壮〉二B.若a>b,则出>力2

ab

C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a>b,Ma+c>b+c

2.（2025・福建三明•三模）已知a,b■R,贝卜⑷+|b|41”是“Q2+A$1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025•北京海淀•二模）设a、b.cER,abc^O,且Q>b>c,则（）

A.^b+-c>2B.-a+^b<2

C.2a>b+cD.a+b>c

4.（2025•全国•模拟预测）已知x,y为实数，p:x<y,q:\x\<y,贝ijp是勺的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2025•山西临汾•二模）若3W1,则2a-b的范围是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

6.（2025・重庆•模拟预测）设a,b,c为均不为零的实数，且|a-c|vg|,则（）

A.a-c<bB.a+b>c

C.\a\<\b\+\c\D.|a|+|c|<|b|

7.（2025•云南玉溪•二模）已知%>0,x2—2xy+z2=0,x2<yz,则（）

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

8.（2025・安徽淮北•二模）已知a,bWR,下列命题正确的是（）

A.若ab=1,Ma+b>2

B.若工<：,则

ab

C.若a>b,则ln（a—b）>0

D.若a>b>0,则a+£>b+}

二、多选题

9.（2025・山东临沂・二模）已知a>b>c,则下列不等式正确的是（）

22222

A.—a-c<—a-bB.ab>cbC.a+b>cD.a4-c>b

10.（2025・广东茂名•一模）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则a?>b2

B.若aVbV0,Mb2<ab<a2

C.若Q>5>0,2>”E，则mV0

aa+m

D.若2VQ+b<3,—1<Q-b<2,贝lj3V3a+bV8

11.（2025•湖南长沙•二模）设a,b,c,d为实数，月.a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有（）

A.c2<cdB.a—c<b—dC.ac<bdD.--->0

ab

三、填空题

12.（2025•吉林长春•二模）正整数a,b满足3VaV6V9,则哼的最大值为_____.

ab

13.（2024•河北石家庄•二模）若实数％,y,z20,且x+y+z=4,2%-y+z=5,则M=4x+3y+5z的

取值范围是.

14.（2025•河北邯郸•三模）记min{x,y,z}表示x,y,z中最小的数.设Q>0,b>0,则min{a,，,，+3b}的

最大值为.

四、解答题

15.（24-25高一•全国•随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由：

（1）若a>b,则。。2>加2；

2

（2）若ac?>bcf则a>b；

（3）若a>bfc>d,则QC>bd；

（4）若Q>b,则ab

16.（2025高三•全国•专题练习）已知一lWx+yW2,-2<x-y<l,求％-2y的取值范围.

17.（24-25高一下•河北保定•阶段练习）（1）已知1,比较3/与3/一％+1的大小.

（2）比较2%2+5%+3与/+4x-2的大小.

18.(24-25高一上•山西晋中•期天)为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比(房间窗洞口面积

与该房间地面面积的比值)作为标准，民用住宅的窗地面枳比应不小于10%，且不超过50%,而且这个比

值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为am2,万m2.

(1)若这所住宅的地面面积为100m2,求这所住宅的窗洞口面积的范围；

(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xn?,判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明

理由.

19.(24-25高一上•北京西城•期末)已知实数a,b满足一1VQV1,—1Vb<1.

(1)求a+b和ab的取值范围；

(2)证明：1+ab>a+b.

专题1.3等式性质与不等式性质（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1不等式性质的应用】...........................................................................3

【题型2用不等式表示不等关系】......................................................................3

【题型3比较数（式）的大小】........................................................................4

【题型4利用不等式的性质证明不等式】................................................................4

【题型5利用不等式的性质求目标式的取值范围】......................................................5

【题型6不等式的综合问题】...........................................................................6

【题型7糖水不等式】..................................................................................7

1、不等关系与不等式性质

考点要求真题统计考情分析

高考对不等式的性质的考查比较稳定，

一般以选择题、填空题为主，主要考查

不等式的性质及其应用、比较大小；单

（1）等式性质独考查的题目虽然不多，但不等式的相

（2）比较两个数的大小关知识往往可以渗透到高考的各个知识

2022年II卷：第12题，5分

（3）理解不等式的性质，并领域，作为解题工具与函数、向量、解

能简单应用析几何、数列等知识相结合，在知识的

交汇处命题，是进行不等式变形、证明

以及解不等式的依据，是高考考查的一

个重点内容.

知识梳理

知识点等式住质与不等式性质

1.等式的基本性质

性质I对称性：如果4=匕，那么8=4；

性质2传递性：如果〃=/%b=c,那么。=c；

性质3可加（减）性：如果。=仇那么。土c=方士。：

性质4可乘性：如果〃=〃，那么ac=bc；

性质5可除性：如果。=〃，H0,那么2=2

2.不等式的性质

(1)对称性:如果a>b,那么b<a\如果b<a,那么即a>bob<a.

(2)传递性:如果。>力，b>c,那么a>c.即a>。，b>c=a>c.

(3)可加性:如果a>b,那么a-\-c>b-\-c.

(4)可乘性:如果c>0,那么ac>6c；如果〃>力，c<0,那么ac</?c.

(5)同向可加性:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

⑹同向同正可乘性:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

⑺同正可乘方性：如果a9乂)，那么/>b"(〃WN,论2).

3.不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①ci>b,〃/»0=—<T;

②〃</><()=—>T；

ah

③0<c<dn?>2；

®C<a<x<b或〃令<〃<()=

(2)有关分数的性质

若a>b>0,m>0,贝U

①真分数的性质

b+加b>b-"?

(b—m>0)；

aaaa—m

②假分数的性质

aa+waa—m、

广中工〈二所(〃〉。).

4.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与。比较与1比较

a>ba-b>0色>1(〃，〃>0)或色vl(a,/><0)

bb

a=ba-b=01=K/^o)

a<ba-b=02<1(〃，〃>0)或2>\(a,b<0)

bb

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2.比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函

数的单调性，需要灵活运用方法求解.

举一反三

【题型1不等式性质的应用】

[Ml]（2025•天津南开•一模）设则“/+y2>°，，是>。，’的（）

A.充分小必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得.

【解答过程】若/+*>0,如％=-1,丫=1，但%y>0不成立，充分性不成立；

若xy>0,显然x,y同号且不为0,则/+y2>0成立，必要性成立；

所以“/+/>o”是“0>0”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式1・1】（2024•河南驻马店•二模）己知a>b>c>0,则下列说法一定正确的是（）

A.Q>b+cB.a2<be

C.ac>b2D.ab+be>b2ac

【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.

【解答过程】当a=3,b=2,c=1时，a=b+c,且acVb?,故A,C项错误；

因为a>b>0,a>c>0,所以a?>加，故B项错误；

ab+be-（b2+ac）=（b-c）（a-b）>0,故D项正确.

故选：D.

【变式1-2]（2025•河北石家庄•一模）如果ab>0,那么“a>6”是"V：”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.允要条件D.既不允分也不必要条件

【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即叽

【解答过程】若ab>0,a>b,KJb-a<0,

则！_q=Y<o,即2■<：，充分性成立；

ababab

若ab>0,-<i,则二一：=哼<0,

ababab

所以。<a,必要性成立,

所以如果ab>0,那么“a>b”是是<，的充要条件.

ab

故选：C.

【变式1-3］（2025・山东•二模）若QVbV0,则下列不等式成立的是（）

22

A.a<bB.a+b<b+cC.-a<7bD.\a\IW

【解题思路】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.

【解答过程】对于A,由于Q<b<0,小>82,故A错误，

对于B,由于a,c关系不确定，故Q+bVb+c不一定成立，故B错误，

对于C,由于avbvo,所以2C错误，

ab

对于D,由于QV2?V0,则|a|>|b|>0,故J;V白，D正确，

|Q|四

故选；D.

【题型2用不等式表示不等关系】

【例2】（24-25高一上•广东深圳•阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，4型货车

载重量30吨，8型货车载重量24吨，设派出A型货车%辆，8型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是（）

A.5%4-4y<100B.5%4-4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【解题思路】根据已知列出不等式.化简即可得出答案.

【解答过程】由已知可得,30x+24y>600,

所以有5x+4yN100.

故选：B.

【变式2-1］（2024•江西抚州•模拟预测为了庆祝建党100周年，学校

计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿

色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（）个

A.20B.22C.24D.26

【解题思路】分别设红、黄、蓝、绿各有a,b,c,d个，根据题意列出不等式可分别求出a,b,c,d范围，即可求

出.

【解答过程】分别设红、黄、蓝、绿各有a，b,c,d个，且a,b,c,d为正整数，

则由题意得aNc+1,c>d+l,d>b+l,2b>a+l,可得bZ4,

所以Q27,c>6,d>5,即至少有4+5+6+7=22个.

故选:B.

【变式2-2］（2025•山西•二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为

负数的点多，纵坐标为正数的点匕纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（）

A.第一象限点比第二象限点多B.第二象限点比第三象限点多

C.第一象限点比第三象限点少D.第二象限点比第四象限点少

【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不

等式性质求解即可.

【解答过程】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有％个，

第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有y个，

第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有z个，

第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有w个，

又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，

所以x+w>y+z①，且z+w>x+y②，

由不等式性质可知，①+②可得w>y,即第二象限点比第四象限点少.

故选：D.

【变式2-3］（2024.浙江金华•一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、/《可供选

择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于

男生人数，经过统计，选辩题4的人数多于选辩题8的人数，则（）

A.选辩题A的女生人数多于选辩题8的男生人数

B.选辩题4的男生人数多于选辩题8的男生人数

C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数

D.选辩题4的男生人数多于选辩题B的女生人数

【解题思路】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可.

【解答过程】设选辩题人的男生有x人，选辩题A的女生有），人，选辩题8的男生有机人，选辩题8的女生

有n人.

已知该班女生人数多于男生人数，即y++又知选辩题A的人数多于选辩题4的人数，即x+y>

m+n.

将这两个不等式相加得到：2y+x+?i>2机+%+小两边同时消去％得到2y>2m,即

这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.

故选:A.

【题型3比较数（式）的大小】

【例3】(2025•云南昆明•一模)已知x>0,x2-2xy+z2=0,x2<yz,则()

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【解题思路】根据题意，由原式可得y=暖，然后由作差法分别比较y与X,y与z的大小关系，即可得到结

果.

【解答过程】由X>0,且/一2町+/=0可得2xy=/+Z?,即y=笞乎，

x2+z2X2Z2X2Z2X2

W-x=--x=^+^-2=—-,

又Kvyz,BP%2<--Z,化简可得2%3—/z—z3VO,

即(x-z)(2/+xz+z?)v0,其中27+%z+z?=2(x+》+^z2>0,

所以x-z<0,即0<x<z,所以/</,

所以'一％=与六：>0,所以y>x,

T7X2+Z2X2+Z2-2XZ（X-Z）2、八匚匚i、J、

又y-z=^^-z=---=^->0，所以y>z，

综上所述，y>z>x.

故选：A.

【变式3-1］（2024•全国•模拟预测）已知x>y,则下列不等式正确的是（）

A.1—x<l—yB.x2>y2C.|^|>1D.xz>yz

【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.

【解答过程】・.,%>H.,.一%<-%二一%+1〈一、+1,即1一支<1一y,故选项A正确；

当x=-l,y=一2时，满足无>y,但/=l,y2=4,此时无2<y2,|-|=|^|=^<1,故选项B,C错误;

y-22

当z<0时，由%>y可得Xz<yz,故选项D错误.

故选:A.

【变式3-2］（2024•浙江金华・模拟预测）设a,瓦c的平均数为M.a与力的平均数为N,N与c的平均数为P.若Q>b>

c,则（）

A./V<PB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【解题思路】根据作差法比较大小，首先将要比较的MN,P,用a,b,c表示，后作差变形，运用a>b>c这个条件,

判断正负即可比较出大小.

【解答过程】根据题意得,M=誓,N=竽,P=乎=可=竺产

3ZZZ4

对于A选项,N-P=-.................=----------,a>b>c,a-c>0,b—c>0,--a+b—2c>0,N—

244

a+b-2c

p>0,N>P.

4

a+b+ca+“2ca+匕-2c

对于B选项,M-P=

-12-J

Q+b—2c

va>b>c,a-c>0,b—c>0,a+h—2c>0,M—P=----------->0,:.M>P.

JL4

L-re....a+b+ca+b-a-b+2c

对于C选项,M-N=-----------=---,a>b>c,c—a<0,c—b<0,2c-a—b<0,M—

3No

对于D选项,；M>P,N>P,：.M+N>2P.

故选：B.

【变式3-3】（2025•广西来宾・模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀

少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，

并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知

黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为由,a2，且火工。2,则

下列说法正确的是（）

A.当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低

B.当且仅当即>。2时，方案二的平均购买成本比方案一更低

C.无论由,。2的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低

D.无论四,的的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低

【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断.

【解答过程】方案■：设每次购入的黄金数量为m,则平均购买成本%=坐%=%磬

方案二：设每次购入的黄金金额为几则平均购买成本为

2n_2n_2a1a2

―+―=n(ai+a2)-.+a

ala2a1Q2a2

_ai+a22。1。2_(。1+。2)2-4<11。2_

Z的+⑪-2处+。2)—Z(Ch+Q2)'

且由工。2,则x—y=^^>0,即

无论右,。2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.

故选：D.

【题型4利用不等式的性质证明不等式】

【例4】(2024•全国•模拟预测)已知〃，仇c为三角形的三边.

(1)求证：y/a2+b2+ab+Vb2+c2+be>2c；

(2)若c>b>a,求证：Va3+h3+Vc3+a3<a+b+c.

【解题思路】(1)由迎2+］)2+g=J(Q+§2+浑>0+畀7b?+c?+be=J(c+丁+评>c+卜

结合三角形两边之和大于第三边的性质可得答案.

(2)利用作差法求证6+/))3—(a3+/)>o,则］+GT庐，同理］+c>kT京，结合不等式的

性质可得答案.

【解答过程】(1)因为小江C为三角形的三边，所以4,b,CW(0,+8),且Q+6>C,(关犍：根据三

角形的三边关系得到a,b,c•满足的条件)

所以+炉+。匕=J(a+§+；炉>0+会

y/b2+c2+be=J(c+g)+|炉>c+p

所以近2+炉+0卜+yjb?+c2+be>a+-+c+-=a+b-^-c>2c.

22

(2)因为c之b2a,

所以(F+b)-(/+b3)=—^a3+^a2b+^ab2>—^a3+^a3+|a3=ya3>0,

所以］+力>猊/，庐，

同理可得：+c>ET京，

所以+匕3+近3+Q3<^+/j+^+c=a4-b+C.

【变式4-1］(24-25高一上•全国•课后作业)设x>0,y>0,z>0,证明：1<三+上+/-V2.

x+yy+zz+x

【解题思路】由％+y+zX+y,x+y+z>x+z,x+y+z>y+z和土〉号,£>

一丁证明即可.

x+y+z

【解答过程】由题意知》>