高中数学 加练 专题7　第63练　几何法求空间角

第63练几何法求空间角(分值：42分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.如图，在正四面体A-BCD中，取BC的中点M，连接AM，则直线AM与直线CD所成角的余弦值为()A.26 B.C.36 D.答案C解析取N为BD的中点，连接MN，AN.因为M是BC的中点，所以MN∥CD，MN=12CD在正四面体A-BCD中，△ABD，△ABC，△BCD是等边三角形，AM=AN=32CD则直线AM与直线CD所成的角为∠AMN(或其补角)，在△AMN中，cos∠AMN=AM2+MN因此直线AM与直线CD夹角的余弦值为362.在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，且AB=2BC，平面PAD⊥平面ABCD，则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为()A.12 B.22 C.32答案A解析∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，则CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面PAD，取PD的中点M，连接AM，CM，如图所示，∵△PAD为等边三角形，则AM⊥PD，又平面PCD∩平面PAD=PD，AM⊂平面PAD，故AM⊥平面PCD，则直线AC与平面PCD所成的角即为∠ACM，令BC=a，则AB=2a，AC=3a，AM=32a故sin∠ACM=AMAC=13.在三棱锥P-ABC中，PA⊥PC且PA=PC，底面△ABC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，若QA=2PQ，则二面角Q-BC-A的平面角的余弦值为()A.23 B.33 C.2答案D解析如图，过点P作PD⊥AC，垂足为D，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面PAC，∴PD⊥平面ABC，作QO⊥AC于点O，则PD∥QO，则QO⊥平面ABC，作OE⊥BC于点E，连接QE，∵BC⊂平面ABC，∴QO⊥BC，又∵OE⊥BC，OE∩QO=O，OE，QO⊂平面QOE，∴BC⊥平面QOE，∵QE⊂平面QOE，∴BC⊥QE，∴∠QEO为二面角Q-BC-A的平面角.∵QA=2PQ，PA⊥PC且PA=PC，∴QO=23PD=13作AF⊥BC于点F，由△ABC是等边三角形，得OE=23AF=33AC，又QO⊥∴tan∠QEO=QOOE=13AC∴cos∠QEO=324.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AC=AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则()A.α≤β≤γ B.β≤α≤γC.β≤γ≤α D.α≤γ≤β答案A解析如图所示，过点F作FP⊥AC于P，过P作PM⊥BC于M，连接PE，FM，则α=∠EFP，β=∠FEP，γ=∠FMP，tanα=PEFP=PEAB≤1，tanβ=FPPE=ABPE≥1，tanγ=FPPM≥所以α≤β≤γ.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是()A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于πB.四棱锥C-ABC1D1的体积为1C.异面直线D1C和BC1所成的角为πD.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为1答案ABC解析如图，取BC1的中点H，连接CH，则CH⊥BC1，而AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1，得CH⊥AB，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，则CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为π4，故A点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为22则V四棱锥C-ABC1D1=13×AB×BC1×CH=13×易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C(或其补角)，因为△ACD1为等边三角形，所以异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=62又CD=1，CH=22由余弦定理可得cos∠CHD=DH2+CH26.如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC=4，母线长为22，点B是圆O上异于A，C的动点，则下列结论正确的是()A.SC与底面所成的角为πB.圆锥SO的表面积为42πC.∠SAB的取值范围是πD.若点B为弧AC的中点，则二面角S-BC-O的平面角大小为π答案AC解析对于A，因为SO⊥平面ABC，所以∠SCO是SC与底面所成的角，圆锥的母线l=22，半径r=OC=2，则在Rt△SOC中，cos∠SCO=OCSC=222=22，所以∠SCO=对于B，圆锥SO的侧面积为πrl=42π，表面积为42π+4π，则B错误；对于C，当点B与点A重合时，∠ASB=0为最小角，当点B与点C重合时，∠ASB=π2又因为B与A，C不重合，则∠ASB∈0，又在等腰△SAB中，2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB的取值范围是π4，π对于D，如图所示，取BC的中点D，连接OD，SD，又O为AC的中点，则OD∥AB，因为AB⊥BC，所以BC⊥OD，又SO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥SO，又SO∩OD=O，SO，OD⊂平面SOD，所以BC⊥平面SOD，故BC⊥SD，所以∠SDO为二面角S-BC-O的平面角，因为点B为弧AC的中点，所以AB=22，OD=12AB=2，则tan∠SDO=SOOD=2≠1，则D三、填空题(每小题5分，共10分)7.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD∶AB=1∶2，△PAB为等边三角形，则直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.答案15解析取AB的中点O，连接PO，DO，由于△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD，其交线为AB，PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，∠PDO是直线PD与平面ABCD所成的角.不妨设AD=1，AB=2，在等边△PAB中，PO=3，又四边形ABCD为矩形，所以DO=AD2+AO2=12+1故sin∠PDO=OPDP=35=155，故直线PD与平面ABCD8.如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2，AD=AF=1，且二面角C-AB-F为60°，则异面直线AC与BF所成角的正弦值为.答案51解析连接CE，AE，AE∩BF=O，取CE的中点M，连接OM，BM，∵四边形ABCD，ABEF为矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BE，平面ABC∩平面ABF=AB，BC⊂平面ABC，BE⊂平面ABF，∴∠CBE即为二面角C-AB-F的平面角，∴∠CBE=60°，又BC=AD，BE=AF，