高中数学 加练 综合练1

综合练1(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知复数z满足z·i=1+2i，则z的虚部为()A.-1 B.-i C.1 D.i答案A解析由z·i=1+2i，可得z=1+2ii=(1+2i)ii2=2-i2.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且(a+b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6 B.π3 C.2π答案D解析因为(a+b)⊥b，所以(a+b)·b=0，即a·b+b2=0，又|a|=2，|b|=3，所以a·b+b2=23cos〈a，b〉+3=0，解得cos〈a，b〉=-32又0≤〈a，b〉≤π，则a与b的夹角为5π63.已知sinα=2sin(α+2β)，且tanβ=2，则tan(α+β)等于()A.-6 B.-2 C.2 D.6答案A解析由题意知，sinα=2sinα+2则sinα+β-sinα+βcosβ-cosα+βsinβ=2sinα+βcosβ所以sinα+βcosβ=-3cosα+β所以tanα+β=-3tanβ4.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为43，则该陀螺的体积为()A.48π B.56π C.64π D.72π答案B解析如图，作陀螺的轴截面，则陀螺的轴截面内接于圆O，设圆O的半径为R，圆柱的底面半径为r.由4πR2=64π⇒R=4，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径r=23，所以球心到圆柱底面的距离d=R2-所以圆柱的高为2d=4，圆锥的高h=R-d=2，所以该陀螺的体积V=πr2×4+13πr2×2=48π+8π=56π5.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为()A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36答案A解析设事件A表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件B1，B2，B3分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”，∵三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，∴P(B1)=33+3+4=0.3P(B2)=33+3+4=0.3P(B3)=43+3+4=0.4，∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，∴P(A|B1)=40%=0.4，P(A|B2)=30%=0.3，P(A|B3)=35%=0.35，根据全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.3×0.4+0.3×0.3+0.4×0.35=0.35.6.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，函数f(2x+3)的图象关于点(-1，1)对称.若对任意x∈R，有f(x+3)=x+f(3-x)，则下列说法正确的是()A.g(x)不为周期函数B.f(x)的图象不关于点(1，1)对称C.g(211)=1D.f(985)=1答案C解析因为函数f(2x+3)的图象关于点(-1，1)对称，所以f(2(x-1)+3)+f(2(-x-1)+3)=2，即f(2x+1)+f(-2x+1)=2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称，B错误；由f(x+3)=x+f(3-x)，得f(x+3)-12(x+3)=f(3-x)-12(3-x令h(x)=f(x)-12x，则f(x)=h(x)+12由h(x+3)=h(3-x)，得h(x)的图象关于直线x=3对称.又f(x)的图象关于点(1，1)对称，则f(x+1)+f(1-x)=2，所以h(x+1)+12(x+1)+h(1-x)+12(1-x)=2，即h(x+1)+h(1-x)则可得h(x)的图象关于点1，故h(x)为周期函数，且一个周期为8，h(x)=h(x+8)，所以f(985)=h(985)+9852=h(1)+9852=12+9852又f(x)=h(x)+12x=h(x+8)+12x=f(x+8)-12(x+8)+则f(x+8)=f(x)+4，所以f'(x)=f'(x+8)，由g(x)=f'(x)得g(x)=g(x+8)，故g(x)为周期函数，A错误；由f(x+3)=x+f(3-x)，两边求导得f'(x+3)=1-f'(3-x)，由g(x)=f'(x)得g(x+3)+g(3-x)=1，令x=0得g(3)=12利用g(x)的一个周期为8，则g(211)=g(8×26+3)=g(3)=12，C正确二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国的数学家、天文学家DeMoivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作X~N(μ，σ2).当μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，如果令Z=X-μσ，则可以证明Z~N(0，1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果Z~N(0，1)，那么对任意的a，通常记Φ(a)=P(Z<a)，也就是说，Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞，a)内所围的面积.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试，经研究发现本次考试的数学成绩X近似服从正态分布N(103，202).则下列说法正确的有参考数据：可供查询的(部分)标准正态分布N(0，1)对应的概率值.a0.240.250.260.350.36Φ(a)0.59480.59870.60260.63680.6406A.已知Φ(a)=0.7，则P(|Z|<a)=0.6B.Φ(a)+Φ(-a)=1C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%，据此估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分(精确到整数)D.已知该市考生约有10000名，某学生此次考试数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于3630~3640名之间答案BCD解析对于A，因为Φ(a)=0.7，即P(Z<a)=0.7，可得P(Z≥a)=1-P(Z<a)=0.3，所以P(|Z|<a)=1-2P(Z≥a)=0.4，故A错误；对于B，因为Φ(a)+Φ(-a)=P(Z<a)+P(Z<-a)=P(Z<a)+P(Z>a)=1，故B正确；对于C，由题意可知，P(Z≥a)=1-Φ(a)=0.4，即Φ(a)=0.6，对比表格可知，0.25<a<0.26，即0.25<X-10320<0.26，解得108<X<108.所以估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分，故C正确；对于D，由题意可知，a=110-10320=0.35且Φ(0.35)≈0.6368，可得P(Z≥0.35)=1-Φ(0.35)≈0.3632，则10000×0.3632=3632，所以该学生在全市排名大概位于3630~3640名之间，故D正确.8.如图，圆F1：(x+1)2+y2=1，圆F2：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，记圆心P的轨迹为曲线C，则()A.C的方程为x24+y23=1(B.∠MPN的最小值为120°C.MP·PF1+NP·PD.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直答案BCD解析对于A，设动圆P的半径为r，由条件得|PF1|=r+1，|PF2|=3-r，则|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2，且P，M，N不重合，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆(去掉P，M，N重合的点)，则曲线C的方程为x24+y23=1(x≠-2对于B，由图可知∠MPN与∠F1PF2互补，当P点为椭圆短轴端点时，∠F1PF2最大，此时sin∠F2PO=ca=12，所以∠F2PO则∠F1PF2的最大值为60°，所以∠MPN的最小值为120°，故B正确；对于C，MP·PF1+NP·PF2=-r(r+1)+r(3-r)=2r(1-r)≤2×r+1-r22=对于D，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，F1(-1，0)，F2(1，0)，下面先证明椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为x0xa2联立x2a2+y2b2=1，x0xa2+y0yb2=1，消去y得(a2y02+则Δ=4a4y02(b2x02+a2y02-a2b2)，又b2x02+a2y0所以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为x0xa2则曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x4+y0y3=1，当切线斜率不存在时，P(2，0)，此时切线方程为x=2，易得M(0，0)，N(4当切线斜率存在时，y0≠0，切线斜率为-3x又|PN|NF2|=r3所以PN=-r3NF2，PM则(x2-x0，y2-y0)=-r3(1-x2，-y2)(x1-x0，y1-y0)=r(-1-x1，-y1)，得x解得x所以kMN=3=3y0(1+又r=|PF1|-1=(x0+1)2+y0因为-2<x0<2，所以12x0+2>0所以r=12x0+2-1=12x0所以kMN=2y01+2所以-3x04y0×4y03x0=-1三、填空题(每小题5分，共10分)9.(x3-1)x2+1答案-9解析二项式x2+1x6的展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k·1xk=C6kx12-3而(x3-1)x2+1x6=x所以当12-3k=-3，即k=5时有常数项C65x15-3×5当12-3k=0，即k=4时有常数项-C64x12-3×4所以所求展开式的常数项为6-15=-9.10.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ(3)=2，φ(4)=2，则数列φ(2n)φ答案3解析由题意可知，小于2n的所有正奇数都与2n互质，共有2n-1个，所以φ(2n)=2n-1，小于3n且大于0的所有与3n不互质的数是3的倍数，故与3n互质的数共有3n-3n-1=2×3n-1(个)，即φ(3n)=2×3n-1，所以φ(2n)φ则其前n项和为Sn=12×+…+23n-1=四、解答题(共28分)11.(13分)已知函数f(x)=3sin2ωx+π3(ω>0(1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分)(2)已知△ABC的边长分别为a，b，c，其所对应的角分别为A，B，C，且f(A)=32，AB·AC=23，a=5，求该三角形的周长.(7分解(1)由函数f(x)=3sin2ωx+π3(ω>0所以2π2ω=π，即ω=1，所以f(x)=3sin令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ所以函数f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ(2)因为f(A)=3sin2A+π所以sin2A+π因为0<A<π，可得π3<2A+π3<所以2A+π3=2π3，解得A=因为AB·AC=bccosA=32bc=23，所以bc=4由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得5=b2+c2-43，所以(b+c)2=b2+c2+2bc=13+43=(23+1)2，所以b+c=23+1，则△ABC的周长为a+b+c=23+1+5.12.(15分)已知P为抛物线E：y2=2x上的动点，Q为圆C：(x-a)2+y2=1(a>1)上的动点，若|PQ|的最小值为3-1.(1)求a的值；(5分)(2)若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B，且满足|PA|=|PB|，求直线AB的方程.(10分)解(1)设P(x0，y0)，|PQ|的最小值为3-1，即|PC|的最小值为3，又C(a，0)，则|PC|=(x0-a)2+y02=当x0=a-1时，|PC|min=2a-1=所以a=2.(2)连接AB，CP，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线PA的斜率存在时，y1+y0≠0，直线PA的斜率kPA=y1-y0x直线PA的方程为y-y0=2y1+y0(x即直线PA的方程为2x-(y1+y0)y+y0(y1+y0)-2x0=0，化简得2x-(y1+y0)y+y0y1=0，当直线PA的斜率不存在时，y1+y0=0，直线PA的方程为x=x0也满足上述方程，同理得直线PB的方程为2x-(y2+y0)y+y0y2=0，直线AB的方程为2x-(y1+y2)y+y1y2=0，则点C(2，0)到直线PA的距离为|4+y1y0|4+(y1+y0)2=1，即同理(y02-1)y22+6y0y2则