31届imo几何试题及详细解答

31届imo几何试题及详细解答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A,则a的取值集合为_______.(A){1,1/2}(B){1}(C){1/2}(D){0,1,1/2}2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_______.(A)3(B)2(C)1(D)03.在等差数列{a_n}中,若a_1=5,a_4=10,则a_7的值为_______.(A)15(B)20(C)25(D)304.已知点P(x,y)在圆x^2+y^2=4上运动,则点P到直线x+y=0的距离的最大值为_______.(A)2√2(B)2(C)√2(D)15.设函数g(x)=e^x-x,则g(x)在区间(-∞,+∞)上_______.(A)单调递增(B)单调递减(C)先增后减(D)先减后增6.已知向量u=(1,k),v=(3,-2),若u⊥v,则k的值为_______.(A)-3/2(B)3/2(C)-2/3(D)2/37.不等式|2x-1|<3的解集为_______.(A)(-1,2)(B)(-2,1)(C)(-1,1)(D)(-2,2)8.已知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=5,则角B的大小为_______.(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°9.已知f(x)=sin(x+π/3),则f(π)的值为_______.(A)1/2(B)√3/2(C)-1/2(D)-√3/210.若复数z=1+i(其中i为虚数单位),则z^2的虚部为_______.(A)1(B)-1(C)2(D)-2二、多选题1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是_______.(A)y=x^2(B)y=2^x(C)y=log_2(x)(D)y=-x^32.下列命题中，正确的是_______.(A)若A⊆B,C⊆D,则A∪C⊆B∪D(B)若A⊆B,C⊆D,则A∩C⊆B∩D(C)若A⊆B,则B'⊆A'(D)若A⊆B,则A∪B=B3.下列不等式关系中，正确的是_______.(A)-2<-√3(B)log_3(2)<log_3(3)(C)(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)(D)sin(π/6)<cos(π/6)4.下列向量中，两两不共线的是_______.(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1)(D)(-1,-1)5.下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是_______.(A)y=sin(x)(B)y=cos(x)(C)y=tan(x)(D)y=cot(x)三、填空题1.已知等比数列{b_n}中,b_1=1,b_3=8,则b_5的值为_______.2.已知函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=3,f(-1)=1,f(0)=-1,则a+b+c的值为_______.3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9,则圆C的圆心坐标为_______.4.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2,则g(x)的单调递增区间为_______.5.已知向量u=(3,4),v=(1,2),则向量u与向量v的夹角θ的余弦值为_______.四、解答题1.解方程x^2-5x+6=0.2.求函数f(x)=|x-2|+|x+1|的最大值和最小值.3.已知等差数列{a_n}中,a_1=2,d=3,求前n项和S_n.4.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0,求圆C的半径和圆心坐标.5.已知函数f(x)=sin(2x+π/4),求f(x)的最小正周期和单调递增区间.试卷答案一、选择题1.D2.A3.B4.A5.A6.A7.C8.D9.B10.C二、多选题1.B,C2.B,D3.A,B,C4.C,D5.A,C三、填空题1.322.13.(1,-2)4.(-∞,1)5.3/5四、解答题1.解析：因式分解得(x-2)(x-3)=0,故x=2或x=3.答案：x=2,32.解析：函数图像为折线段，在x=-1处取最小值3,在x=2处取最大值3.答案：最小值3,最大值33.解析：利用等差数列前n项和公式S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(4+3(n-1))=3n^2+n.答案：S_n=3n^2+n4.解析：配方法得(x-2)^2+(y+3)^2=16,故圆心为(2,-3),半径为4.答案：圆心(2