2026年人教版高二数学选修2-4导数与微分习题

2026年人教版高二数学选修2-4导数与微分习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的极值点为x₁和x₂，则x₁+x₂的值为（）A.0B.2C.3D.5解析：函数f(x)的导数为f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于x₁和x₂均在区间[0,3]内，且f′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁和x₂分别为f(x)的极大值点和极小值点。x₁+x₂=(1-√3/3)+(1+√3/3)=2，故选B。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：函数g(x)的导数为g′(x)=1/(x+a)，令g′(x)=0，解得x=-a。由于g(x)在x=1处取得极小值，因此-a=1，即a=-1，故选A。3.函数h(x)=e^x-x²在区间(-1,1)内的最大值点为（）A.-1B.0C.1D.不存在解析：函数h(x)的导数为h′(x)=e^x-2x，令h′(x)=0，解得x=0。由于h′(x)在x=0左侧为负，在x=0右侧为正，因此x=0为h(x)的极小值点。又因为h(-1)=e^-1-1<0，h(1)=e-1>0，且h(x)在(-1,1)内连续，因此h(x)在(-1,1)内存在最大值点，且最大值点为x=1，故选C。4.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极小值，则f(2)的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数f(x)的导数为f′(x)=2x-2a，令f′(x)=0，解得x=a。由于f(x)在x=1处取得极小值，因此a=1。此时f(x)=x²-2x+1=(x-1)²，f(2)=1，故选B。5.若函数φ(x)=x³-3x²+2x-1在区间[0,3]上的最大值点为x=2，则实数k的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数φ(x)的导数为φ′(x)=3x²-6x+2，令φ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于φ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为φ(x)的极大值点，x₂为φ(x)的极小值点。φ(0)=-1，φ(2)=-1，φ(3)=1，因此φ(x)在区间[0,3]上的最大值点为x=3，与题意不符，因此k=3，故选D。6.函数ψ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最小值点为（）A.-1B.0C.1D.2解析：函数ψ(x)的导数为ψ′(x)=3x²-6x+2，令ψ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于ψ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为ψ(x)的极大值点，x₂为ψ(x)的极小值点。ψ(-1)=-5，ψ(0)=0，ψ(1)=0，ψ(2)=-2，ψ(3)=0，因此ψ(x)在区间[-1,3]上的最小值点为x=-1，故选A。7.若函数Ω(x)=x³-ax²+2x在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：函数Ω(x)的导数为Ω′(x)=3x²-2ax+2，令Ω′(x)=0，解得x₁=(a+√(a²-12))/6，x₂=(a-√(a²-12))/6。由于Ω(x)在x=1处取得极值，因此3-2a+2=0，解得a=5/2。由于a²-12>0，因此x₁和x₂均为实数。a=5/2时，x₁+x₂=2/3，x₁x₂=2/3，因此a=5，故选C。8.函数μ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值点为（）A.-1B.0C.1D.2解析：函数μ(x)的导数为μ′(x)=3x²-6x+2，令μ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于μ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为μ(x)的极大值点，x₂为μ(x)的极小值点。μ(-1)=-5，μ(0)=0，μ(1)=0，μ(2)=-2，μ(3)=0，因此μ(x)在区间[-1,3]上的最大值点为x=3，故选D。9.若函数Σ(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值，则Σ(2)的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数Σ(x)的导数为Σ′(x)=3x²-6x+2，令Σ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于Σ(x)在x=1处取得极值，因此x=1为Σ(x)的极值点。Σ(2)=0，故选A。10.函数τ(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的最小值点为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数τ(x)的导数为τ′(x)=3x²-6x+2，令τ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于τ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为τ(x)的极大值点，x₂为τ(x)的极小值点。τ(0)=0，τ(1)=0，τ(2)=-2，τ(3)=0，因此τ(x)在区间[0,3]上的最小值点为x=2，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的极小值点为_________。参考答案：1-√3/3解析：函数f(x)的导数为f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于f′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，因此x₁为f(x)的极小值点。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得极小值，则a=_________。参考答案：-1解析：函数g(x)的导数为g′(x)=1/(x+a)，令g′(x)=0，解得x=-a。由于g(x)在x=1处取得极小值，因此-a=1，即a=-1。3.函数h(x)=e^x-x²在区间(-1,1)内的最大值点为_________。参考答案：1解析：函数h(x)的导数为h′(x)=e^x-2x，令h′(x)=0，解得x=0。由于h′(x)在x=0左侧为负，在x=0右侧为正，因此x=0为h(x)的极小值点。又因为h(-1)=e^-1-1<0，h(1)=e-1>0，且h(x)在(-1,1)内连续，因此h(x)在(-1,1)内存在最大值点，且最大值点为x=1。4.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极小值，则f(2)的值为_________。参考答案：1解析：函数f(x)的导数为f′(x)=2x-2a，令f′(x)=0，解得x=a。由于f(x)在x=1处取得极小值，因此a=1。此时f(x)=x²-2x+1=(x-1)²，f(2)=1。5.若函数φ(x)=x³-3x²+2x-1在区间[0,3]上的最大值点为x=2，则实数k的值为_________。参考答案：3解析：函数φ(x)的导数为φ′(x)=3x²-6x+2，令φ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于φ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为φ(x)的极大值点，x₂为φ(x)的极小值点。φ(0)=-1，φ(2)=-1，φ(3)=1，因此φ(x)在区间[0,3]上的最大值点为x=3，与题意不符，因此k=3。6.函数ψ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最小值点为_________。参考答案：-1解析：函数ψ(x)的导数为ψ′(x)=3x²-6x+2，令ψ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于ψ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为ψ(x)的极大值点，x₂为ψ(x)的极小值点。ψ(-1)=-5，ψ(0)=0，ψ(1)=0，ψ(2)=-2，ψ(3)=0，因此ψ(x)在区间[-1,3]上的最小值点为x=-1。7.若函数Ω(x)=x³-ax²+2x在x=1处取得极值，则a的值为_________。参考答案：5解析：函数Ω(x)的导数为Ω′(x)=3x²-2ax+2，令Ω′(x)=0，解得x₁=(a+√(a²-12))/6，x₂=(a-√(a²-12))/6。由于Ω(x)在x=1处取得极值，因此3-2a+2=0，解得a=5/2。由于a²-12>0，因此x₁和x₂均为实数。a=5/2时，x₁+x₂=2/3，x₁x₂=2/3，因此a=5。8.函数μ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值点为_________。参考答案：3解析：函数μ(x)的导数为μ′(x)=3x²-6x+2，令μ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于μ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为μ(x)的极大值点，x₂为μ(x)的极小值点。μ(-1)=-5，μ(0)=0，μ(1)=0，μ(2)=-2，μ(3)=0，因此μ(x)在区间[-1,3]上的最大值点为x=3。9.若函数Σ(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值，则Σ(2)的值为_________。参考答案：0解析：函数Σ(x)的导数为Σ′(x)=3x²-6x+2，令Σ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于Σ(x)在x=1处取得极值，因此x=1为Σ(x)的极值点。Σ(2)=0。10.函数τ(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的最小值点为_________。参考答案：2解析：函数τ(x)的导数为τ′(x)=3x²-6x+2，令τ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于τ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为τ(x)的极大值点，x₂为τ(x)的极小值点。τ(0)=0，τ(1)=0，τ(2)=-2，τ(3)=0，因此τ(x)在区间[0,3]上的最小值点为x=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的极值点为x=1和x=2。参考答案：×解析：函数f(x)的导数为f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于f′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁和x₂分别为f(x)的极大值点和极小值点，x=1和x=2不是f(x)的极值点。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得极小值，则a=-1。参考答案：√解析：函数g(x)的导数为g′(x)=1/(x+a)，令g′(x)=0，解得x=-a。由于g(x)在x=1处取得极小值，因此-a=1，即a=-1。3.函数h(x)=e^x-x²在区间(-1,1)内的最大值点为x=1。参考答案：√解析：函数h(x)的导数为h′(x)=e^x-2x，令h′(x)=0，解得x=0。由于h′(x)在x=0左侧为负，在x=0右侧为正，因此x=0为h(x)的极小值点。又因为h(-1)=e^-1-1<0，h(1)=e-1>0，且h(x)在(-1,1)内连续，因此h(x)在(-1,1)内存在最大值点，且最大值点为x=1。4.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极小值，则f(2)的值为1。参考答案：√解析：函数f(x)的导数为f′(x)=2x-2a，令f′(x)=0，解得x=a。由于f(x)在x=1处取得极小值，因此a=1。此时f(x)=x²-2x+1=(x-1)²，f(2)=1。5.若函数φ(x)=x³-3x²+2x-1在区间[0,3]上的最大值点为x=2，则实数k=3。参考答案：×解析：函数φ(x)的导数为φ′(x)=3x²-6x+2，令φ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于φ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为φ(x)的极大值点，x₂为φ(x)的极小值点。φ(0)=-1，φ(2)=-1，φ(3)=1，因此φ(x)在区间[0,3]上的最大值点为x=3，与题意不符，因此k≠3。6.函数ψ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最小值点为x=-1。参考答案：√解析：函数ψ(x)的导数为ψ′(x)=3x²-6x+2，令ψ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于ψ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为ψ(x)的极大值点，x₂为ψ(x)的极小值点。ψ(-1)=-5，ψ(0)=0，ψ(1)=0，ψ(2)=-2，ψ(3)=0，因此ψ(x)在区间[-1,3]上的最小值点为x=-1。7.若函数Ω(x)=x³-ax²+2x在x=1处取得极值，则a=5。参考答案：√解析：函数Ω(x)的导数为Ω′(x)=3x²-2ax+2，令Ω′(x)=0，解得x₁=(a+√(a²-12))/6，x₂=(a-√(a²-12))/6。由于Ω(x)在x=1处取得极值，因此3-2a+2=0，解得a=5/2。由于a²-12>0，因此x₁和x₂均为实数。a=5/2时，x₁+x₂=2/3，x₁x₂=2/3，因此a=5。8.函数μ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值点为x=3。参考答案：√解析：函数μ(x)的导数为μ′(x)=3x²-6x+2，令μ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于μ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为μ(x)的极大值点，x₂为μ(x)的极小值点。μ(-1)=-5，μ(0)=0，μ(1)=0，μ(2)=-2，μ(3)=0，因此μ(x)在区间[-1,3]上的最大值点为x=3。9.若函数Σ(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值，则Σ(2)=0。参考答案：√解析：函数Σ(x)的导数为Σ′(x)=3x²-6x+2，令Σ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于Σ(x)在x=1处取得极值，因此x=1为Σ(x)的极值点。Σ(2)=0。10.函数τ(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的最小值点为x=2。参考答案：√解析：函数τ(x)的导数为τ′(x)=3x²-6x+2，令τ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于τ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为τ(x)的极大值点，x₂为τ(x)的极小值点。τ(0)=0，τ(1)=0，τ(2)=-2，τ(3)=0，因此τ(x)在区间[0,3]上的最小值点为x=2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的极值点。参考答案：极值点为x=1-√3/3和x=1+√3/3。解析：函数f(x)的导数为f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于f′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁和x₂分别为f(x)的极大值点和极小值点。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得极小值，求a的值。参考答案：a=-1。解析：函数g(x)的导数为g′(x)=1/(x+a)，令g′(x)=0，解得x=-a。由于g(x)在x=1处取得极小值，因此-a=1，即a=-1。3.求函数h(x)=e^x-x²在区间(-1,1)内的最大值点。参考答案：最大值点为x=1。解析：函数h(x)的导数为h′(x)=e^x-2x，令h′(x)=0，解得x=0。由于h′(x)在x=0左侧为负，在x=0右侧为正，因此x=0为h(x)的极小值点。又因为h(-1)=e^-1-1<0，h(1)=e-1>0，且h(x)在(-1,1)内连续，因此h(x)在(-1,1)内存在最大值点，且最大值点为x=1。4.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极小值，求f(2)的值。参考答案：f(2)=1。解析：函数f(x)的导数为f′(x)=2x-2a，令f′(x)=0，解得x=a。由于f(x)在x=1处取得极小值，因此a=1。此时f(x)=x²-2x+1=(x-1)²，f(2)=1。5.若函数φ(x)=x³-3x²+2x-1在区间[0,3]上的最大值点为x=2，求实数k的值。参考答案：k≠3。解析：函数φ(x)的导数为φ′(x)=3x²-6x+2，令φ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于φ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为φ(x)的极大值点，x₂为φ(x)的极小值点。φ(0)=-1，φ(2)=-1，φ(3)=1，因此φ(x)在区间[0,3]上的最大值点为x=3，与题意不符，因此k≠3。6.求函数ψ(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最小值点。参考答案：最小值点为x=-1。解析：函数ψ(x)的导数为ψ′(x)=3x²-6x+2，令ψ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于ψ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为ψ(x)的极大值点，x₂为ψ(x)的极小值点。ψ(-1)=-5，ψ(0)=0，ψ(1)=0，ψ(2)=-2，ψ(3)=0，因此ψ(x)在区间[-1,3]上的最小值点为x=-1。7.若函数Ω(x)=x³-ax²+2x在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：a=5。解析：函数Ω(x)的导数为Ω′(x)=3x²-2ax+2，令Ω′(x)=0，解得x₁=(a+√(a²-12))/6，x₂=(a-√(a²-12))/6。由于Ω(x)在x=1处取得极值，因此3-2a+2=0，解得a=5/2。由于a²-12>0，因此x₁和x₂均为实数。a=5/2时，x₁+x₂=2/3，x₁x₂=2/3，因此a=5。8.求函数τ(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的最小值点。参考答案：最小值点为x=2。解析：函数τ(x)的导数为τ′(x)=3x²-6x+2，令τ′(x)=0，解得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。由于τ′(x)在x₁左侧为正，在x₁处为0，在x₁右侧为负，在x₂处为0，在x₂右侧为正，因此x₁为τ(x)的极大值点，x₂为τ(x)的极小值点。τ(0)=0，τ(1)=0，τ(2)=-2，τ(3)=0，因此τ(x)在区间[0,3]上的最小值点为x=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=x²-4x+5（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该产品的边际成本函数，并求当产量为2万件时的边际成本。参考答案：边际成本函数为C′(x)=2x-4，当产量为2万件时的边际成本为C′(2)=0万元。解析：边际成本函数是成本函数的导数，即C′(x)=2x-4。当产量为2万件时，C′(2)=2×2-4=0万元。2.某商品的需求函数为p=10-0.5x（单位：元），其中x为需求量（单位：件）。求该商品的总收益函数，并求当需求量为10件时的总收益。参考答案：总收益函数为R(x)=10x-0.5x²，当需求量为10件时的总收益为R(10)=50元。解析：总收益函数为R(x)=px=10x-0.5x²。当需求量为10件时，R(10)=10×10-0.5×10²=50元。3.某公司生产某种产品的成本函数为C(x)=x³-6x²+15x（单位：元），其中x为产量（单位：件）。求该产品的边际成本函数，并求当产量为3件时的边际成本。参考答案：边际成本函数为C′(x)=3x²-12x+15，当产量为3件时的边际成本为C′(3)=6元。解析：边际成本函数是成本函数的导数，即C′(x)=3x²-12x+15。当产量为3件时，C′(3)=3×3²-12×3+15=6元。4.某商品的需求函数为p=20-2x（单位：元），其中x为需求量（单位：件）。求该商品的总收益函数，并求当需求量为5件时的总收益。参考答案：总收益函数为R(x)=20x-2x²，当需求量为5件时的总收益为R(5)=50元。解析：总收益函数为R(x)=px=20x-2x²。当需求量为5件时，R(5)=20×5-2×5²=50元。5.某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=x²-2x+5（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该产品的边际成本函数，并求当产量为1万件时的边际成本。参考答案：边际成本函数为C′(x)=2x-2，当产量为1万件时的边际成本为C′(1)=0万元。解析：边际成本函数是成本函数的导数，即C′(x)=2x-2。当产量为1万件时，C′(1)=2×1-2=0万元。6.某商品的需求函数为p=15-0.5x（单位：元），其中x为需求量（单位：件）。求该商品的总收益函数，并求当需求量为20件时的总收益。参考答案：总收益函数为R(x)=15x-0.5x²，当需求量为20件时的总收益为R(20)=200元。解析：总收益函数为R(x)=px=15x-0.5x²。当需求量为20件时，R(20)=15×20-0.5×20²=200元。7.某公司生产某种产品的成本函数为C(x)=x³-4x²+10x（单位：元），其中x为产量（单位：件）。求该产品的边际成本函数，并求当产量为2件时的边际成本。参考答案：边际成本函数为C′(x)=3x²-8x+10，当产量为2件时的边际成本为C′(2)=6元。解析：边际成本函数是成本函数的导数，即C′(x)=3x²-8x+10。当产量为2件时，C′(2