2026年福建省人教版高二数学选修一第三章综合测试卷

2026年福建省人教版高二数学选修一第三章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修一第三章中，函数f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．R解析：函数f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定义域需满足x2－2x＋3＞0，解不等式得(x－1)2＋2＞0恒成立，故定义域为全体实数R。选项D正确。2.若函数g(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在区间[1，3]上的最小值为2，则a，b的取值范围可能为（）A．a∈(－1，1)，b∈(3，5)B．a∈[0，2]，b∈(4，6)C．a∈(－2，0)，b∈(2，4)D．a∈(1，3)，b∈(－1，1)解析：g(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值为|a－b|，由题意|a－b|＝2，结合选项分析，仅选项C满足a∈(－2，0)，b∈(2，4)，此时|a－b|＝2。3.在选修一第三章中，若函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在x＝2处取得最小值，则h(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值出现在x＝2处，此时h(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。选项B正确。4.若函数f(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：f(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时f(x)＝2－2x，单调递减；当x∈(1，＋∞)时f(x)＝x－2，单调递增。故f(x)在(－∞，1)上单调递减，需k＜1。选项A正确。5.在选修一第三章中，若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1处取得最小值，且最小值为3，则a，b的取值关系可能为（）A．a∈(－1，1)，b∈(3，5)B．a∈[0，2]，b∈(4，6)C．a∈(－2，0)，b∈(2，4)D．a∈(1，3)，b∈(－1，1)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1处取得最小值，需1为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝3。选项C中a∈(－2，0)，b∈(2，4)，1为其中位数，且|a－b|＝3。6.若函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立，则实数k的取值范围是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。选项D正确。7.在选修一第三章中，若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值，且最小值为4，则a，b的取值关系可能为（）A．a∈(－2，0)，b∈(4，6)B．a∈[1，3]，b∈(5，7)C．a∈(－1，1)，b∈(3，5)D．a∈(2，4)，b∈(－2，0)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝4。选项B中a∈[1，3]，b∈(5，7)，2为其中位数，且|a－b|＝4。8.若函数h(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立，则实数k的取值范围是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。选项A正确。9.在选修一第三章中，若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝3处取得最小值，且最小值为5，则a，b的取值关系可能为（）A．a∈(－3，1)，b∈(4，6)B．a∈[2，4]，b∈(6，8)C．a∈(－1，1)，b∈(3，5)D．a∈(3，5)，b∈(－3，－1)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝3处取得最小值，需3为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝5。选项B中a∈[2，4]，b∈(6，8)，3为其中位数，且|a－b|＝5。10.若函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立，则实数k的取值范围是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值，且最小值为3，则|a－b|＝________。参考答案：3解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝3。2.函数g(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上单调递减的区间为________。参考答案：(－∞，1)解析：g(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时g(x)＝2－2x，单调递减；当x∈(1，＋∞)时g(x)＝x－2，单调递增。3.若函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1处取得最小值，且最小值为4，则a，b的取值关系可能为________。参考答案：a∈(－3，1)，b∈(5，7)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1处取得最小值，需1为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝4。4.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值为________。参考答案：2解析：f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上分段，当x∈[1，2]时f(x)＝3－2x，单调递减；当x∈[2，3]时f(x)＝x－2，单调递增。故最小值在x＝2处取得，为2。5.若函数g(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝3处取得最小值，且最小值为5，则|a－b|＝________。参考答案：5解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝3处取得最小值，需3为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝5。6.函数h(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立的实数k的取值范围是________。参考答案：k≤1解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。7.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值，且最小值为4，则a，b的取值关系可能为________。参考答案：a∈(0，2)，b∈(4，6)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝4。8.函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立的实数k的取值范围是________。参考答案：k≤2解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。9.若函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1处取得最小值，且最小值为3，则a，b的取值关系可能为________。参考答案：a∈(－1，1)，b∈(3，5)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1处取得最小值，需1为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝3。10.函数f(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立的实数k的取值范围是________。参考答案：k≤1解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值，则a，b的取值关系一定为a∈(1，3)，b∈(－1，1)。参考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，但a，b的具体取值范围不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也满足条件。2.函数g(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上单调递减。参考答案：×解析：g(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时g(x)＝2－2x，单调递减；当x∈(1，＋∞)时g(x)＝x－2，单调递增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不单调递减。3.若函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝3处取得最小值，则|a－b|＝3。参考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝3处取得最小值，需3为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|，但|a－b|不一定等于3，如a∈(2，4)，b∈(6，8)时|a－b|＝4。4.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值为1。参考答案：×解析：f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上分段，当x∈[1，2]时f(x)＝3－2x，单调递减；当x∈[2，3]时f(x)＝x－2，单调递增。故最小值在x＝2处取得，为2。5.若函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立，则实数k的取值范围是k≤1。参考答案：×解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。6.函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值，则a，b的取值关系一定为a∈(－1，1)，b∈(3，5)。参考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，但a，b的具体取值范围不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也满足条件。7.函数f(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立的实数k的取值范围是k≤2。参考答案：×解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。8.若函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立，则实数k的取值范围是k≤3。参考答案：×解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。9.函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1处取得最小值，则a，b的取值关系一定为a∈(－2，0)，b∈(2，4)。参考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1处取得最小值，需1为a，b的“中位数”，但a，b的具体取值范围不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也满足条件。10.函数f(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立的实数k的取值范围是k≤1。参考答案：√解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请简述函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在什么情况下取得最小值，并说明最小值是多少。参考答案：当x为a，b的“中位数”时，f(x)取得最小值，最小值为|a－b|。2.函数g(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上的单调性如何？请说明理由。参考答案：g(x)在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时g(x)＝2－2x，单调递减；当x∈(1，＋∞)时g(x)＝x－2，单调递增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不单调。3.请解释函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值的条件是什么。参考答案：当2为a，b的“中位数”时，h(x)在x＝2处取得最小值，最小值为|a－b|。4.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值是多少？请说明理由。参考答案：f(x)在[1，3]上分段，当x∈[1，2]时f(x)＝3－2x，单调递减；当x∈[2，3]时f(x)＝x－2，单调递增。故最小值在x＝2处取得，为2。5.请简述函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立的条件是什么。参考答案：g(x)在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。6.函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1处取得最小值，则a，b的取值范围可能是什么？请举例说明。参考答案：当1为a，b的“中位数”时，h(x)在x＝1处取得最小值，最小值为|a－b|。如a∈(0，2)，b∈(4，6)时|a－b|＝4。7.请解释函数f(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立的实数k的取值范围是什么。参考答案：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。8.函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立的实数k的取值范围是什么？请说明理由。参考答案：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某城市地铁线路如图所示，A，B，C为三个站点，A到B的距离为3km，B到C的距离为4km。若乘客在A，B，C三站之间任意换乘，求最短换乘路线的总长度。参考答案：最短换乘路线为A→B→C，总长度为3km＋4km＝7km。2.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值是多少？请说明理由。参考答案：f(x)在[1，3]上分段，当x∈[1，2]时f(x)＝3－2x，单调递减；当x∈[2，3]时f(x)＝x－2，单调递增。故最小值在x＝2处取得，为2。3.函数g(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上的单调性如何？请说明理由。参考答案：g(x)在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时g(x)＝2－2x，单调递减；当x∈(1，＋∞)时g(x)＝x－2，单调递增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不单调。4.函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2处取得最小值，且最小值为5，则a，b的取值关系可能是什么？请举例说明。参考答案：当2为a，b的“中位数”时，h(x)在x＝2处取得最小值，最小值为|a－b|＝5。如a∈(－3，1)，b∈(7，9)时|a－b|＝5。5.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上恒成立的实数k的取值范围是什么？请说明理由。参考答案：f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需f(x)的最小值≥k。由分段分析，f(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。6.函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值是多少？请说明理由。参考答案：f(x)在[1，3]上分段，当x∈[1，2]时f(x)＝3－2x，单调递减；当x∈[2，3]时f(x)＝x－2，单调递增。故最小值在x＝2处取得，为2。7.函数h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1处取得最小值，且最小值为4，则a，b的取值关系可能是什么？请举例说明。参考答案：当1为a，b的“中位数”时，h(x)在x＝1处取得最小值，最小值为|a－b|＝4。如a∈(－1，3)，b∈(5，7)时|a－b|＝4。8.函数f(x)＝|x－1|－|x－2|在区间(－∞，＋∞)上恒成立的实数k的取值范围是什么？请说明理由。参考答案：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.A9.B10.D解析：2.定义域需满足x2－2x＋3＞0，因判别式Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，故x2－2x＋3恒正，定义域为R。3.g(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值为|a－b|，由题意|a－b|＝2，选项A中a∈(－1，1)，b∈(3，5)，|a－b|＝4＞2，不满足；选项B中a∈[0，2]，b∈(4，6)，|a－b|＝4＞2，不满足；选项C中a∈(－2，0)，b∈(2，4)，|a－b|＝4＞2，不满足；选项D中a∈(1，3)，b∈(－1，1)，|a－b|＝4＞2，不满足。二、填空题1.312.(－∞，1)13.a∈(－3，1)，b∈(5，7)14.215.516.k≤117.a∈(0，2)，b∈(4，6)18.k≤219.a∈(－1，1)，b∈(3，5)20.k≤1解析：2.f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|＝3。3.g(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时g(x)＝2－2x，单调递减。三、判断题1.×22.×23.×24.×25.×26.×27.×28.×29.×30.√解析：2.f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，但a，b的具体取值范围不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也满足条件。3.h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。四、简答题1.参考答案：当x为a，b的“中位数”时，f(x)取得最小值，最小值为|a－b|。解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|。2.参考答案：g(x)在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时g(x)＝2－2x，单调递减；当x∈(1，＋∞)时g(x)＝x－2，单调递增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不单调。解析：分段函数的单调性需分段讨论，g(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调性相反，故在(－∞，＋∞)上不单调。3.参考答案：当2为a，b的“中位数”时，h(x)在x＝2处取得最小值，最小值为|a－b|。解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2处取得最小值，需2为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|。4.参考答案：f(x)在[1，3]上分段，当x∈[1，2]时f(x)＝3－2x，单调递减；当x∈[2，3]时f(x)＝x－2，单调递增。故最小值在x＝2处取得，为2。解析：分段函数的最小值需分段讨论，f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，故最小值在x＝2处取得，为2。5.参考答案：g(x)在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。6.参考答案：当1为a，b的“中位数”时，h(x)在x＝1处取得最小值，最小值为|a－b|。如a∈(0，2)，b∈(4，6)时|a－b|＝4。解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1处取得最小值，需1为a，b的“中位数”，且最小值为|a－b|。7.参考答案：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1时发生分段，当x∈(－∞，1)时h(x)＝2－2x，恒成立；当x∈(1，＋∞)时h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。解析：分段函数的恒成立条件需分段讨论，h(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上恒成立，故k≤1。8.参考答案：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2处取得最小值2，故k≤2。五、应用题1.参考答案：最短换乘路线为A→B→C，总长度为3km＋4km＝7km。解析：最短换乘路线为A→B→C，总长度为3km＋4k