2026年福建省湘教版高二数学选修第2章知识点巩固习题

2026年福建省湘教版高二数学选修第2章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修2-2中，函数f(x)=ln(x^2+1)在区间(-1,1)上的单调性是（）A.单调递增且单调递减B.单调递减C.单调递增D.先单调递减后单调递增解析：函数f(x)=ln(x^2+1)的导数为f'(x)=2x/(x^2+1)，在区间(-1,1)内，x取负值时f'(x)为负，x取正值时f'(x)为正，故函数在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，选项A正确。2.已知函数g(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.e^2解析：函数g(x)的导数为g'(x)=e^x-a，在x=1处取得极值，则g'(1)=e-a=0，解得a=e，选项A正确。3.若函数h(x)=x^3-3x^2+2x+1的导数h'(x)在x=2处为负，则实数k的取值范围是（）A.k>0B.k<0C.k=0D.k∈R解析：函数h(x)的导数为h'(x)=3x^2-6x+2，在x=2处，h'(2)=3×4-12+2=-2<0，故h(x)在x=2处单调递减，选项B正确。4.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值是（）A.√2B.1C.πD.2解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可化为f(x)=√2sin(x+π/4)，在区间[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)的最大值为1，故f(x)的最大值为√2，选项A正确。5.若函数p(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，则实数a的值为（）A.-3B.-1C.3D.1解析：函数p(x)的导数为p'(x)=2x+2a，在x=1处，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，选项A正确。6.已知函数q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的二阶导数为（）A.0B.-1C.1D.2解析：函数q(x)的二阶导数为q''(x)=6x-6，在x=1处，q''(1)=6-6=0，选项A正确。7.若函数r(x)=ln(x+1)-x在x=0处的泰勒展开式的前三项为（）A.1-x-x^2/2B.1+x-x^2/2C.1-x^2/2D.1+x^2/2解析：函数r(x)的导数为r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0处，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展开式的前三项为1-0-0=1，选项C正确。8.已知函数s(x)=e^x-x^2在x=0处的拐点坐标为（）A.(0,1)B.(0,0)C.(1,1)D.(1,0)解析：函数s(x)的二阶导数为s''(x)=e^x-2，在x=0处，s''(0)=1-2=-1，故拐点坐标为(0,1)，选项A正确。9.若函数t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的局部极值是（）A.极大值B.极小值C.非极值D.无法确定解析：函数t(x)的导数为t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1处，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1处为极大值点，选项A正确。10.已知函数u(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的切线方程为（）A.y=√2/2xB.y=√2/2C.y=√2/2x-√2/2D.y=√2/2x+√2/2解析：函数u(x)在x=π/4处的导数为u'(π/4)=√2，切点坐标为(π/4,√2/2)，故切线方程为y-√2/2=√2/2(x-π/4)，化简得y=√2/2x-√2/2，选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数为_________。参考答案：-1解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2，在x=1处，f'(1)=3-6+2=-1。2.函数g(x)=e^x-ax在x=0处的极值为_________。参考答案：1解析：函数g(x)的导数为g'(x)=e^x-a，在x=0处，g'(0)=1-a=0，解得a=1，故g(0)=1。3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的最小值是_________。参考答案：1解析：函数h(x)=sin(x)+cos(x)可化为h(x)=√2sin(x+π/4)，在区间[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)的最小值为1，故h(x)的最小值为√2。4.函数p(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线方程为_________。参考答案：y=-4x+5解析：函数p(x)的导数为p'(x)=2x+2a，在x=1处，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，故切线方程为y-1=-4(x-1)，化简得y=-4x+5。5.函数q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的二阶导数为_________。参考答案：0解析：函数q(x)的二阶导数为q''(x)=6x-6，在x=1处，q''(1)=6-6=0。6.函数r(x)=ln(x+1)-x在x=0处的泰勒展开式的前三项为_________。参考答案：1-x-x^2/2解析：函数r(x)的导数为r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0处，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展开式的前三项为1-0-0=1。7.函数s(x)=e^x-x^2在x=0处的拐点坐标为_________。参考答案：(0,1)解析：函数s(x)的二阶导数为s''(x)=e^x-2，在x=0处，s''(0)=1-2=-1，故拐点坐标为(0,1)。8.函数t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的局部极值是_________。参考答案：极大值解析：函数t(x)的导数为t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1处，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1处为极大值点。9.函数u(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的切线方程为_________。参考答案：y=√2/2x-√2/2解析：函数u(x)在x=π/4处的导数为u'(π/4)=√2，切点坐标为(π/4,√2/2)，故切线方程为y-√2/2=√2/2(x-π/4)，化简得y=√2/2x-√2/2。10.函数v(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的导数为_________。参考答案：6解析：函数v(x)的导数为v'(x)=3x^2-6x+2，在x=2处，v'(2)=12-12+2=6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数为-1，故函数在x=1处取得极值。（）参考答案：×解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2，在x=1处，f'(1)=0，但f''(1)=-3<0，故x=1处为极大值点，但题目说法不完整，应补充二阶导数信息。2.函数g(x)=e^x-ax在x=0处的极值为1，故实数a的值为1。（）参考答案：√解析：函数g(x)的导数为g'(x)=e^x-a，在x=0处，g'(0)=1-a=0，解得a=1，故g(0)=1，题目说法正确。3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的最小值是1，故函数在该区间上单调递增。（）参考答案：×解析：函数h(x)=sin(x)+cos(x)可化为h(x)=√2sin(x+π/4)，在区间[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)的最小值为1，但函数在该区间上并非单调递增。4.函数p(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，故实数a的值为-3。（）参考答案：√解析：函数p(x)的导数为p'(x)=2x+2a，在x=1处，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，题目说法正确。5.函数q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的二阶导数为0，故函数在x=1处取得拐点。（）参考答案：×解析：函数q(x)的二阶导数为q''(x)=6x-6，在x=1处，q''(1)=0，但拐点的判定需要三阶导数信息，题目说法不完整。6.函数r(x)=ln(x+1)-x在x=0处的泰勒展开式的前三项为1-x-x^2/2，故函数在x=0处取得极值。（）参考答案：×解析：函数r(x)的导数为r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0处，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展开式的前三项为1-0-0=1，但题目说法不完整，应补充极值信息。7.函数s(x)=e^x-x^2在x=0处的拐点坐标为(0,1)，故函数在x=0处取得极值。（）参考答案：×解析：函数s(x)的二阶导数为s''(x)=e^x-2，在x=0处，s''(0)=1-2=-1，故拐点坐标为(0,1)，但题目说法不完整，应补充极值信息。8.函数t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的局部极值是极大值，故函数在x=1处取得全局极值。（）参考答案：×解析：函数t(x)的导数为t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1处，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1处为极大值点，但题目说法不完整，应补充全局极值信息。9.函数u(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的切线方程为y=√2/2x-√2/2，故函数在x=π/4处取得极值。（）参考答案：×解析：函数u(x)在x=π/4处的导数为u'(π/4)=√2，切点坐标为(π/4,√2/2)，故切线方程为y=√2/2x-√2/2，但题目说法不完整，应补充极值信息。10.函数v(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的导数为6，故函数在x=2处取得极值。（）参考答案：×解析：函数v(x)的导数为v'(x)=3x^2-6x+2，在x=2处，v'(2)=6，但题目说法不完整，应补充极值信息。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为1，最小值为-2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，在区间[-1,3]上，f(-1)=-5，f(1-√3/3)=1-√3/3，f(1+√3/3)=1+√3/3，f(3)=3，故最大值为1，最小值为-2。2.求函数g(x)=e^x-ax在x=1处的极值，并判断其极值类型。参考答案：极小值，值为e-a解析：函数g(x)的导数为g'(x)=e^x-a，在x=1处，g'(1)=e-a=0，解得a=e，故g(1)=e-e=0，且g''(1)=e>0，故x=1处为极小值点。3.求函数h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的单调区间。参考答案：单调递增区间为[0,π/4]，单调递减区间为[π/4,π/2]解析：函数h(x)=sin(x)+cos(x)可化为h(x)=√2sin(x+π/4)，在区间[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)在[π/4,π/2]上单调递减，故h(x)在[π/4,π/2]上单调递减，在[0,π/4]上单调递增。4.求函数p(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线方程，并判断其与函数的交点个数。参考答案：切线方程为y=-4x+5，交点个数为1解析：函数p(x)的导数为p'(x)=2x+2a，在x=1处，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，故切线方程为y-1=-4(x-1)，化简得y=-4x+5，联立p(x)=x^2-6x+1和y=-4x+5，解得x=1，故交点个数为1。5.求函数q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的拐点，并判断其凹凸性。参考答案：拐点为(1,1)，凹区间为(-∞,1)，凸区间为(1,+∞)解析：函数q(x)的二阶导数为q''(x)=6x-6，令q''(x)=0，解得x=1，且q''(x)在x=1两侧变号，故x=1处为拐点，在(-∞,1)上q''(x)<0，故凹区间为(-∞,1)，在(1,+∞)上q''(x)>0，故凸区间为(1,+∞)。6.求函数r(x)=ln(x+1)-x在x=0处的泰勒展开式的前三项，并判断其收敛域。参考答案：1-x-x^2/2，收敛域为(-1,+∞)解析：函数r(x)的导数为r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0处，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展开式的前三项为1-0-0=1，收敛域为(-1,+∞)。7.求函数s(x)=e^x-x^2在x=0处的拐点，并判断其凹凸性。参考答案：拐点为(0,1)，凹区间为(-∞,0)，凸区间为(0,+∞)解析：函数s(x)的二阶导数为s''(x)=e^x-2，令s''(x)=0，解得x=0，且s''(x)在x=0两侧变号，故x=0处为拐点，在(-∞,0)上s''(x)<0，故凹区间为(-∞,0)，在(0,+∞)上s''(x)>0，故凸区间为(0,+∞)。8.求函数t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的局部极值，并判断其全局极值。参考答案：局部极大值，全局极大值解析：函数t(x)的导数为t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1处，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1处为极大值点，且在区间[-1,3]上，t(x)的最大值为1，故x=1处为全局极大值点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。案例背景：某工厂生产一种产品，其成本函数为f(x)=x^3-3x^2+2x，其中x表示产量，求工厂在产量为1时的最大利润和最小利润。参考答案：最大值为1，最小值为-2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，在区间[-1,3]上，f(-1)=-5，f(1-√3/3)=1-√3/3，f(1+√3/3)=1+√3/3，f(3)=3，故最大值为1，最小值为-2。2.已知函数g(x)=e^x-ax，求函数在x=1处的极值，并判断其极值类型。案例背景：某公司投资一种项目，其收益函数为g(x)=e^x-ax，其中x表示投资年限，求公司在投资1年时的最大收益和最小收益。参考答案：极小值，值为e-a解析：函数g(x)的导数为g'(x)=e^x-a，在x=1处，g'(1)=e-a=0，解得a=e，故g(1)=e-e=0，且g''(1)=e>0，故x=1处为极小值点。3.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，求函数在区间[0,π/2]上的单调区间。案例背景：某城市某天的气温变化函数为h(x)=sin(x)+cos(x)，其中x表示时间，求该城市在上午到中午之间的气温变化趋势。参考答案：单调递增区间为[0,π/4]，单调递减区间为[π/4,π/2]解析：函数h(x)=sin(x)+cos(x)可化为h(x)=√2sin(x+π/4)，在区间[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)在[π/4,π/2]上单调递减，故h(x)在[π/4,π/2]上单调递减，在[0,π/4]上单调递增。4.已知函数p(x)=x^2+2ax+1，求函数在x=1处的切线方程，并判断其与函数的交点个数。案例背景：某学校修建一条道路，其路面宽度为p(x)=x^2+2ax+1，其中x表示道路长度，求在道路长度为1时的路面宽度，并判断其与道路长度的关系。参考答案：切线方程为y=-4x+5，交点个数为1解析：函数p(x)的导数为p'(x)=2x+2a，在x=1处，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，故切线方程为y-1=-4(x-1)，化简得y=-4x+5，联立p(x)=x^2-6x+1和y=-4x+5，解得x=1，故交点个数为1。5.已知函数q(x)=x^3-3x^2+2x，求函数在x=1处的拐点，并判断其凹凸性。案例背景：某公司生产一种产品，其产量变化函数为q(x)=x^3-3x^2+2x，其中x表示时间，求公司在时间点1时的产量变化趋势。参考答案：拐点为(1,1)，凹区间为(-∞,1)，凸区间为(1,+∞)解析：函数q(x)的二阶导数为q''(x)=6x-6，令q''(x)=0，解得x=1，且q''(x)在x=1两侧变号，故x=1处为拐点，在(-∞,1)上q''(x)<0，故凹区间为(-∞,1)，在(1,+∞)上q''(x)>0，故凸区间为(1,+∞)。6.已知函数r(x)=ln(x+1)-x，求函数在x=0处的泰勒展开式的前三项，并判断其收敛域。案例背景：某公司投资一种项目，其收益函数为r(x)=ln(x+1)-x，其中x表示投资年限，求公司在投资0年时的收益变化趋势。参考答案：1-x-x^2/2，收敛域为(-1,+∞)解析：函数r(x)的导数为r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0处，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展开式的前三项为1-0-0=1，收敛域为(-1,+∞)。7.已知函数s(x)=e^x-x^2，求函数在x=0处的拐点，并判断其凹凸性。案例背景：某城市某天的气温变化函数为s(x)=e^x-x^2，其中x表示时间，求该城市在时间点0时的气温变化趋势。参考答案：拐点为(0,1)，凹区间为(-∞,0)，凸区间为(0,+∞)解析：函数s(x)的二阶导数为s''(x)=e^x-2，令s''(x)=0，解得x=0，且s''(x)在x=0两侧变号，故x=0处为拐点，在(-∞,0)上s''(x)<0，故凹区间为(-∞,0)，在(0,+∞)上s''(x)>0，故凸区间为(0,+∞)。8.已知函数t(x)=x^3-3x^2+2x，求函数在x=1处的局部极值，并判断其全局极值。案例背景：某公司生产一种产品，其产量变化函数为t(x)=x^3-3x^2+2x，其中x表示时间，求公司在时间点1时的产量变化趋势。参考答案：局部极大值，全局极大值解