2026年北师大版高中数学第10单元数列习题集

2026年北师大版高中数学第10单元数列习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，依次计算b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项均不正确，需重新计算递推公式：b_n=b_{n-1}+2n，则b_n-b_{n-1}=2n，累加可得b_n=b_1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，代入n=6得b_6=6×7+1=43。修正选项为E.43（因原选项错误）。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，则c_4的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：由数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}，计算c_1=S_1=2^1-1+1=2，c_2=S_2-S_1=4-2=2，c_3=S_3-S_2=8-4=4，c_4=S_4-S_3=16-8=8。选项A正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=2×5-1=9。选项均不正确，需重新计算T_n=n^2+n的通项公式：e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=9。修正选项为E.9（因原选项错误）。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：根据递推关系f_n+1=2f_n+1，依次计算f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。选项均不正确，需重新计算递推公式：f_n+1=2f_n+1，则f_n+1-1=2f_n，即f_n+1=2f_n+1，累加可得f_n=2^n-1+1=2^n，代入n=5得f_5=32。修正选项为B.32（因原选项错误）。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。因未给出公差d，无法确定具体值。选项均不正确，需补充条件：由a_3+a_7=18可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。假设公差d=2，则a_5+a_9=27+8=35。修正选项为E.35（因原选项错误）。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.非等差非等比数列解析：计算h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1。因h_n与h_{n-1}的差值不恒定，故非等差数列；公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比数列。选项D正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=13，i_1•i_2•i_3=27，则i_4等于（）A.12B.15C.18D.21解析：设i_1=a，q为公比，则i_2=aq，i_3=aq^2。由i_1+i_2+i_3=a+aq+aq^2=13，且i_1•i_2•i_3=a^3q^3=27，解得a=3，q=1。故i_4=aq^3=3。选项均不正确，需重新计算：由a+aq+aq^2=13，a^3q^3=27，解得a=3，q=1。故i_4=aq^3=3。修正选项为E.3（因原选项错误）。10.已知数列{j_n}满足j_n=n(n+1)/2（n≥1），则j_1+j_2+…+j_10等于（）A.330B.335C.340D.345解析：j_n=n(n+1)/2为前n项和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。选项均不正确，需重新计算：j_n=n(n+1)/2为前n项和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。修正选项为E.82.5（因原选项错误）。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得d=5/3。参考答案：5/32.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为______。解：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，依次计算b_2=4，b_3=7，b_4=10，b_5=13，b_6=16。参考答案：163.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4等于______。解：由数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=4得c_4=3。参考答案：34.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。参考答案：±35.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于______。解：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=9。参考答案：96.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5等于______。解：根据递推关系f_n+1=2f_n+1，依次计算f_2=5，f_3=11，f_4=23，f_5=47。参考答案：477.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于______。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。因未给出公差d，无法确定具体值。参考答案：无法确定8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则数列{h_n}是______。解：由数列通项公式h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1。因h_n与h_{n-1}的差值不恒定，故非等差数列；公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比数列。参考答案：非等差非等比数列9.在等比数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=13，i_1•i_2•i_3=27，则i_4等于______。解：设i_1=a，q为公比，则i_2=aq，i_3=aq^2。由i_1+i_2+i_3=a+aq+aq^2=13，且i_1•i_2•i_3=a^3q^3=27，解得a=3，q=1。故i_4=aq^3=3。参考答案：310.已知数列{j_n}满足j_n=n(n+1)/2（n≥1），则j_1+j_2+…+j_10等于______。解：j_n=n(n+1)/2为前n项和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。参考答案：82.5三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），则{a_n}一定是等差数列。（）解：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，题干条件满足该定义，故正确。参考答案：正确2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则b_n=2n。（）解：由数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-[（n-1）^2]=2n-1，故b_n≠2n。参考答案：错误3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，则公比q=2。（）解：由等比数列性质c_5=c_3q^2，代入8q^2=32，解得q=±2。题干未指明正负，故不能确定q=2。参考答案：错误4.若数列{d_n}的前n项和T_n=2^n-n，则{d_n}是等比数列。（）解：由数列通项公式d_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，公比(2×2^{n-1}/2^{n-2})=2不恒定，故非等比数列。参考答案：错误5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_10=20，则a_5+a_6=10。（）解：由等差数列性质a_1+a_10=2a_5+8d=20，a_5+a_6=2a_5+d，无法确定具体值。参考答案：错误6.若数列{f_n}满足f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则{f_n}是等差数列。（）解：由递推关系f_n-f_{n-1}=n，差值不恒定，故非等差数列。参考答案：错误7.在等比数列{g_n}中，若g_1•g_4=16，则公比q=2。（）解：由等比数列性质g_4=g_1q^3，代入g_1g_1q^3=16，解得q=2或q=-2。题干未指明正负，故不能确定q=2。参考答案：错误8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则{h_n}是等比数列。（）解：由数列通项公式h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}-2n+1，公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比数列。参考答案：错误9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=9，则i_4=3。（）解：由等差数列性质i_1+i_2+i_3=3i_2=9，可得i_2=3。又由i_4=i_2+2d，无法确定具体值。参考答案：错误10.若数列{j_n}满足j_n=n(n+1)/2（n≥1），则j_1+j_2+…+j_10=55。（）解：j_n=n(n+1)/2为前n项和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。参考答案：错误四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n+1/3。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_6的值。解：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，依次计算b_2=3，b_3=5，b_4=9，b_5=13，b_6=17。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，求c_4的值。解：由数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=4得c_4=3。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_5的值。解：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=9。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），求f_5的值。解：根据递推关系f_n+1=2f_n+1，依次计算f_2=5，f_3=11，f_4=23，f_5=47。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，求a_5+a_9的值。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。因未给出公差d，无法确定具体值。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，判断{h_n}是否为等差数列或等比数列。解：由数列通项公式h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}-2n+1，因h_n与h_{n-1}的差值不恒定，故非等差数列；公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比数列。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加10台，第二年增加12台，第三年增加14台，以此类推。求第10年增加的设备数量。解：由题意可知，每年增加的设备数量构成等差数列，首项a_1=10，公差d=2。第10年增加的设备数量为a_{10}=a_1+(10-1)d=10+9×2=28台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由题意可知，人口增长构成等比数列，首项a_1=100万，公比q=1.1。2025年的人口数量为a_5=a_1q^4=100×1.1^4≈133.1万。3.某学生计划每天比前一天多背10个单词，已知第一天背50个单词，求第10天背的单词数量。解：由题意可知，每天背的单词数量构成等差数列，首项a_1=50，公差d=10。第10天背的单词数量为a_{10}=a_1+(10-1)d=50+9×10=140个。4.某投资项目的回报率为每年20%，已知初始投资为1000元，求5年后的投资总额。解：由题意可知，投资回报构成等比数列，首项a_1=1000元，公比q=1.2。5年后的投资总额为a_5=a_1q^4=1000×1.2^4≈2073.6元。5.某工厂计划每年比上一年减少能耗，已知第一年能耗为100吨，第二年能耗为90吨，第三年能耗为80吨，以此类推。求第10年的能耗。解：由题意可知，每年减少的能耗构成等差数列，首项a_1=100吨，公差d=-10吨。第10年的能耗为a_{10}=a_1+(10-1)d=100+9×(-10)=10吨。6.某城市道路建设计划每年新建道路长度比上一年多1公里，已知第一年新建道路5公