现代信号处理教程（第三版）课件 第10 章 离散小波变换的多分辨率分析-1

10.1多分辨率分析的引入10.2多分辩率分析的定义10.3空间、中信号的分解10.4二尺度差分方程10.5二尺度差分方程与共轭正交滤波器组10.6Mallat算法10.7Mallat算法的实现10.8小波变换小结

第10章离散小波变换的多分辨率分析离散化离散小波变换和小波级数，式中仍是连续的如何得到离散序列的小波变换(DSWT)?此式在文献上看不到，原因是实际应用中有困难：（1）除少数的母小波外，大多数小波无闭合的表达式，所以不易简单地利用来得到离散小波；

（2）按上式求出的小波变换往往不具有移不变性；（3）当令时不一定是整数，使实现起来有困难

在80年代后期，由Mallat,Meyer等创建的“多分辨率算法”有效的解决了离散序列的小波变换问题，它也是小波变换的快速算法。MATLAB中的DWT，实际上就是Mallat算法。10.1多分辨率分析的引入现举例来说明多分辨率分析的基本概念：例显然，的整数位移相互之间是正交的，即

构成一组正交基令记：设：是在中的投影记：加权系数则:伸缩、位移，并离散化在空间对 的近似离散序列下面证明：同尺度下尺度函数的整数移位也是正交的，即

作伸缩和移位所产生的即：证明：因为：令：所以：所以：令：当然是两两正交的以上结果表明，对Haar函数，在同一尺度下，其整数位移之间是两两正交的。记张成的空间为

在中的投影

加权系数每一个空间都有一组正交基思考:空间和，那一个对的近似要好？显然，越小，对的近似越好，也即分辨率越好。如：好于，并有：完全逼近逼近误差无穷大可以想象，低分辨率的基函数（如）完全可以由高一级分辨率的基函数（如）所决定

显然：或者：低分辨率的空间（如）应包含在高分辨率的空间中（如），即从信号的逼近看，有两个相邻空间逼近之差，应是一些细节概貌如何得到细节？含义：在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。

取一基本函数：Haar小波请自己证明：同一尺度下整数位移具有正交性从图上可看出如下关系记：则：

是在 中的投影

是在 中的投影离散细节由可有：直和：互为正交补将上述思路推广，有：并且：由此，同时使用了两个函数，即和，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。对作概貌近似的函数称为“尺度函数”，而对作细节近似的函数 称为小波函数。

在尺度正交基空间细节离散细节概貌离散概貌以上的讨论引入了空间逐级分解的概念；每一个空间存在正交基的概念例两通道分析滤波器组：频带剖分由频带剖分来理解空间剖分：树状滤波器组频率轴剖分所以，从频率轴的剖分也可引出空间的剖分：滤波器组对信号分解的特点：1.恒性思考一个问题：在多级滤波器组中，每一级都有二抽取，因此各级工作在不同的抽样频率下，因此，每一级所需要的滤波器应有不同的通带和阻带，但是，为什么各级的滤波器都是和？假定：第一级的：归一化频率对第二级：二抽取后:滤波器保持不变2．各级滤波器的一致性多级滤波器组中各级的滤波器都是同一组滤波器，即都是 和，这一方面体现了树状滤波器组中各级滤波器的一致性，也深刻体现了上述空间剖分的特点。于是有：10.2多分辩率分析的定义设是空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说，是一个多分辨率近似。

定义：2.有即1．，若

则4．

3.若则5.以上定义由Mallat给出6．存在一个基本函数,使得

是中的Riesz基。关于以上六个性质的说明：性质1说明:空间对于正比于尺度的位移具有不变性，也即函数的时移不改变其所属的空间。即

性质2和3

是明显的，具体解释见教材。性质4说明:当时，分辨率，这时我们将会失去的所有信息，也即等效交集为零性质5：是性质4的另一面，即当时，分辩率，那么信号在该尺度下的近似将收敛于它自身，即等效并集收敛到整个空间性质6说明了：中Riesz基的存在性问题，并要由此引出中正交基的存在性问题，因此，需要加以证明。是中Riesz基的充要式中是的傅里叶变换.定理10.1条件是存在常数使得先说明一下Riesz基：一组向量（函数）信号分解线性无关分解系数有界Riesz基本身是一个标架，但它比一般的标架的要求要高，但它又比正交基要求低。

证明：对任意的

，作如下分解：两边作傅里叶变换，有FT和DTFT混合的形式

要证明的是：（1）如果(A)式成立，必有：(A)由Riesz基的条件：所以是一组Riesz基；（2）反过来，若是一组Riesz基；则由Riesz基的条件，必有则是中的正交归一基。是产生Riesz基的基本函数的傅里叶变换。

令是一多分辨分析空间序列，是一尺度函数，若其傅里叶变换可由下式给出：定理10.2并令如果是正交基证明：定理10.1已证明

中的Riesz基有界低通函数带通函数总结：1．子空间10.3空间、中信号的分解

在中的投影

在中的离散逼近，或 时的概貌2．子空间

在中的投影

在中的离散逼近，或时的概貌3．子空间带通函数小波函数正交基

在中的投影

在级时的小波系数，也即小波变换。它是信号在级下的离散细节。的关系：或：

以上关系反映了两个互为正交补的空间对信号近似的关系，这一级和上一级的近似关系。这一结论可推广到任意相邻的两级。4．对子空间10.4二尺度差分方程

中的元素中的元素也都属于，因此可以用其中的基来表示加权系数因为所以二尺度差分方程

由往递推，有二尺度差分方程

如何求出加权序列？令：上式揭示了一个重要的关系，即与无关，它对任意两个相邻级都适用。即由的二尺度差分方程求出的适用于取任何整数时的二尺度差分方程。类似于前述的两通道滤波器组，对应低通，对应高通，且在每一级，保证不变。如果这一设想是正确的，那就把小波变换和滤波器组联系了起来。再分析例10.1.1和图10.1.1～10.1.4，显然有：低通特性高通特性Haar小波及其尺度函数所对应的滤波器的系数

二尺度差分方程的频域关系FT频域关系两边分别对积分,因为:

：低通：带通进一步显示滤波器 的低通和高通特性

建立了由滤波器得到尺度函数和小波的关系二尺度差分方程的频域关系之一例令：即：则：例令：即：则：多数情况下要靠迭代求解10.5二尺度差分方程与正交滤波器组定理10.5.1

设,分别是多分辨率分析中的尺度函数和小波函数，分别是满足二尺度差分方程的滤波器，则由于是中的正交归一基，所以

证明：先证明将代入即：令奇、偶项分开：利用了周期性

令有：所以：同理可证明另外两个关系共轭正交镜像滤波器组（CQMFB)的基本关系，即功率互补关系结论：满足小波变换多分辨率分析中二尺度差分方程的、

正是一对共轭正交滤波器组。这样，我们就把小波变换和滤波器组联系了起来，从而为离散信号的小波变换的快速实现提供了有效的途径。关于“＝1”和“＝2”的解释：对CQMFB,有：如果：则：如果：则：总结：1．在中总存在，使构 成中的Riesz基；2.由Riesz基可得到中的正交归一基，再：

3．把视为的正交补，开得到正交归一基4.用对作分解，得到多分辨率分析；5.由空间隶属关系得到二尺度差分方程，方程 的系数正好构成一对CQMFB

令是一多分辨分析，是