吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试卷(含答案)

吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线2．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．已知的半径，则点P与的位置关系是（

）A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定4．如图，，是的半径，若，则的度数是（

）A． B． C． D．5．为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（

）A． B．C． D．6．二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（

）A．4 B． C．3 D．二、填空题7．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______度

8．一元二次方程的一次项系数是______．9．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________．10．如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______．11．太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______．三、解答题12．用适当的方法解方程：．13．已知二次函数的图象过点，顶点坐标为，求二次函数的解析式．14．如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数．15．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为．(1)直接写出点B关于原点对称的点的坐标_____；(2)画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的；(3)求点A经过的路径的长（结果保留根号和π）．16．关于x的方程．(1)若该方程没有实数根，求k的取值范围；(2)若是该方程的一个根，请求出它的另一个根．17．如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．18．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）．(2)在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？19．如图，是的外接圆，半径为，连接，，，(1)过点作，交于点，若，求的长；(2)若，求阴影部分的面积．20．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．如图①，，其中，，此时，点C与点E重合．(1)操作探究1：小凡将图①中的两个全等的和按图②方式摆放，点B落在上，所在直线交所在直线于点M，连接，求证：；(2)操作探究2：小彬将图①中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点F．如图③，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①当时，求证：是等边三角形；②当______时，．21．如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为．(1)求的长；(2)直接写出点M落在边上时t的值；(3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．22．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的解析式；(2)当时，直接写出y的取值范围；(3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标；(4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【详解】解：∵二次函数的解析式为，∴该二次函数的对称轴为直线，故选：C．2．D【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选D．3．B【详解】解：∵的半径，∴∴点P与的位置关系是：点P在外．故选：B．4．C【详解】解：∵，∴，故选：C．5．B【详解】解：由题意得，，故选：B．6．C【详解】解：∵一元二次方程有实数解，∴可以理解为和有交点，由图可得，，∴，∴的最大值为．故选C．7．60【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为．故答案为：．8．【详解】解：一元二次方程中，一次项为，因此一次项系数是．故答案为：．9．【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位，∴函数解析式变为：，∵将解析式再向下平移个单位，∴函数解析式变为：，故答案为：；10．【详解】解：如图，设与切于点，，，分别切⊙于点，，，，，，的周长，故答案为：．11．【详解】解：抛物线形水柱，其解析式为，，水柱的最大高度是．故答案为：．12．，【详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得，．13．【详解】解：设二次函数解析式为，∵二次函数的图象过点，∴，∴，∴二次函数解析式为．14．【详解】解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴．15．(1)；(2)如图，即为所求；(3)点A经过的路径的长为．【详解】（1）解：由图可知，则点B关于原点对称的点的坐标为，故答案为：；（2）略（3）解：点A经过的路径的长．16．(1)(2)【详解】（1）解：∵关于x的方程没有实数根，∴，解得；（2）解：设方程的另一个根为，由根与系数的关系可得，∴，∴原方程的另一个根为．17．(1)证明：如图，连接，∵是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是的半径，∴是的切线．(2)2【详解】（1）略（2）解：如图，过点作于点，∵是的中点，∴，∴，，∴平分，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，设，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为2．18．(1)(2)当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元．【详解】（1）解：涨价元，则少售出件，则销量为件，故答案为：．（2）设总利润为w元，由题意可得，，，，当时，w取得最大值，答：当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元．19．(1)(2)【详解】（1）解：，，，在中，，，∴，；（2）解：，，∴．20．(1)证明：如图②，由题意知，在和中，∵，∴，∴．(2)①证明：如图③，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等边三角形．②【详解】（1）略（2）①略②解：∵，∴，∴当时，，故答案为：．21．(1)；(2)2；(3)．【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，边上的高．是等腰直角三角形斜边上的中线，；（2）解：是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，

如图：点M落在边上时，四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，由（1）知，，解得：；（3）由（2）知，当时，如图：为正方形的面积，即；当时，如图：由题意可知：和均为等腰直角三角形，，；当时，如图：；．22．(1)抛物线的解析式为(2)(3)(4)存在，满足条件的点M的坐标为或或【详解】（1）解：令，则，∴，∵，∴，∴，∵在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴当时，，∵当时，，当时，，∴当时，；（3）解：由（2）知，抛物线的解析式为，∴抛物