2027金版教程一轮复习数学基础版第10章第2节　用样本估计总体

第十章统计与成对数据的统计分析第二节用样本估计总体课标解读考向预测1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．3.能用样本估计总体的取值规律．4.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.用样本估计总体在高考中出题频率较高，常结合频率分布直方图、样本的数字特征出题．预计2027年高考将会以与统计图表的识读、成对数据的统计分析相综合的形式呈现.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)四分位数常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第____百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第____百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．p%2575出现次数最多最中间总体均值总体方差总体标准差说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数、方差、标准差去估计总体平均数、方差、标准差．(2)总体平均数、方差、标准差是一个确定的数，样本平均数、方差、标准差具有随机性(因为样本具有随机性)．(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确．√×题组一走出误区——判一判(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(

)(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．(

)(3)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(

)×题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册习题9.2T1改编)下列一组数据的第25百分位数是(

)2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A．3.2 B．3.0C．4.4 D．2.5解析：把该组数据按照由小到大的顺序排列，可得2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，得第3个数据3.2是第25百分位数．(2)(多选)(人教B必修第二册习题5－1BT3改编)给出一组数据：1，3，3，5，5，5，下列说法正确的是(

)A．这组数据的极差为4 B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4 D．这组数据的众数为3和5(3)(人教B必修第二册练习BT4改编)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用比例分配的分层随机抽样方法从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的平均使用寿命为________h.1013(4)(人教B必修第二册习题5－1BT2改编)已知一组样本数据x1，x2，…，xn的样本平均数为3，方差为2，由yk＝2xk＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的样本数据y1，y2，…，yn，则新数据的样本平均数为________，方差为________．7解析：因为样本数据x1，x2，…，xn的样本平均数为3，方差为2，所以新数据y1，y2，…，yn的样本平均数为2×3＋1＝7，方差为22×2＝8.8考点探究提素养考点一百分位数的计算(1)(2026·湖北荆州模拟)有一组样本数据15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是(

)A．11 B．13C．16 D．17(2)某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组，绘制成频率分布直方图(如图所示)．其中分数在[90，100]这一组内的纵坐标为a，则该次体能测试成绩的80%分位数约为________分．92解析：由频率分布直方图知，10×(0.002＋0.004＋0.014＋0.020＋0.035＋a)＝1，解得a＝0.025.因为0.02＋0.04＋0.14＋0.20＋0.35＝0.75，所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[90，100]内，设其为x，则由(x－90)×0.025＝0.05，解得x＝92.1.为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x＝(

)A．58或64 B．59或64C．58 D．59解析：将已知的6个数从小到大排列为45，49，53，57，61，79.若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，它们的差为4，不符合条件；若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若57<x<79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和x)，则|x－61|＝3，解得x＝58或x＝64.故选A.2．(2026·安徽安庆模拟)在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分)，将所有数据按[40，50]，(50，60]，(60，70]，(70，80]，(80，90]，(90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次测试成绩的第64百分位数为(

)A．80 B．78C．76D．74考点二总体集中趋势的估计(1)(2026·山东临沂模拟)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(

)A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a(2)(多选)某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是(

)A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分C．该公司职工测试成绩的平均数约为68分D．该公司职工测试成绩的众数约为60分频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：各组区间的中点值与对应频率之积的和．3.(多选)(2026·湖北武汉调研)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是(

)A．图(1)的平均数＝中位数＝众数

B．图(2)的平均数<众数<中位数C．图(2)的众数<中位数<平均数

D．图(3)的平均数<中位数<众数解析：题图(1)的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；题图(2)的众数最小，直方图为“右拖尾”，则平均数大于中位数，故B错误，C正确；题图(3)的众数最大，直方图为“左拖尾”，则平均数小于中位数，故D正确．故选ACD.4．(2026·河北张家口模拟)某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则(

)A．a＝0.1B．车速的众数估计值是70C．车速的平均数估计值大于其中位数估计值D．车速的中位数估计值是62.5解析：对于A，由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A错误；对于B，车速在[60，70)内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误；对于C，D，车速的平均数估计值为0.1×45＋0.3×55＋0.4×65＋0.2×75＝62，因为0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.4＋0.4＝0.8>0.5，所以车速的中位数m∈(60，70)，则(m－60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，车速的中位数估计值是62.5，C错误，D正确．故选D.考点三总体离散程度的估计甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参赛比较合适？请说明理由．甲8281797895889384乙9295807583809085甲8281797895889384乙9295807583809085标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．5.某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536考点四分层随机抽样的均值与方差为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为1，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为________．1.04在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数来估计总体平均数，用样本方差来估计总体方差．6.某单位为了解职工体重情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为5∶3，则估计该单位职工体重的方差为(

)A．166 B．167C．168 D．1697．为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，采用比例分配的分层随机抽样方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行测试．经过测试后，两组各自将测试成绩统计分析如下表：分组人数平均成绩正科级干部组a80副科级干部组b7072分组人数平均成绩正科级干部组a80副科级干部组b70课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点平均数的计算百分位数的计算；平均数的计算；极差、方差的计算平均数、中位数的计算；极差的计算分层随机抽样的总体均值与方差百分位数的计算平均数、中位数的计算；极差的计算平均数的计算；方差的计算众数、平均数、中位数、方差的计算及应用众数、平均数、中位数的计算；方差的计算众数、平均数、中位数的计算题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点众数、中位数的计算百分位数的计算；方差的计算平均数的计算；方差的计算分层随机抽样的样本均值与方差平均数的计算及应用平均数、中位数、方差的计算及应用百分位数的计算；中位数的计算；极差、方差的计算平均数、中位数的计算；极差、方差的计算中位数的计算；分层随机抽样的样本平均数与方差一、单项选择题1．(2025·新课标Ⅱ卷，1)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(

)A．8 B．9C．12 D．182．(2026·江苏泰州模拟)下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据：则下列说法不正确的是(

)A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27C．该队员得分的第40百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4每场比赛得分36710111330频数2122111每场比赛得分36710111330频数21221114．为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法进行调查．现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2.估计该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是(

)A．3.4，3.24 B．3.5，3.04C．3.4，3.04 D．3.5，3.245．(2026·甘肃庆阳期末)某机构对2025年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)(单位：万元)．统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为(

)A．19 B．21C．23 D．266．(2024·新课标Ⅱ卷，4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：根据表中数据，下列结论中正确的是(

)A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)频数612183024108．某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定符合举荐要求的同学是(

)A．甲和乙 B．乙和丁C．丙和丁 D．甲和丁10．(2026·辽宁沈阳模拟)某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(

)A．a＝0.010B．估计该校学生竞赛成绩的众数为75C．该校学生竞赛成绩的中位数大于80D．估计该校学生竞赛成绩的平均数落在[70，80)内解析：由于组距为10，所以有a＋0.020＋0.035＋0.025＋a＝0.1，得a＝0.010，故A正确；竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值75作为众数的估计值，故B正确；[50，60)，[60，70)两组的频率之和为0.3，[70，80)的频率为0.35，所以中位数一定落在[70，80)内，小于80，故C错误；0.1×55＋0.2×65＋0.35×75＋0.25×85＋0.1×95＝75.5，落在[70，80)内，故D正确．故选ABD.三、填空题11．(2026·甘肃白银模拟)一组样本数据12，15，12，13，18，10，16，19，15，12的众数为________，中位数为________．121412．(2026·上海浦东新区模拟)李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5，6，6，7，7，7，8，9，9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生成绩的方差为________．4814．(2026·江苏苏州调研)已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2∶1∶2，根据比例分配的分层随机抽样，某指标值的统计结果如下：则流水线2的均值为________，流水线3的方差为________．流水线1流水线2流水线3总体方差0.8250.6340.810均值9.09.49.29.20.803流水线1流水线2流水线3总体方差0.8250.6340.810均值9.09.49.2四、解答题15．某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐(每筐1kg)，得分数据如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95.根据以往的大数据认定：得分在区间(0，25]，(25，50]，(50，75]，(75，100]内的分别对应四级、三级、二级、一级．(1)试求这20筐水果得分的平均数；(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案一：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；方案二：分等级出售．不同等级水果的售价如下表所示：请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．等级一级二级三级四级售价/(万元/吨)21.81.41.2等级一级二级三级四级售价/(万元/吨)21.81.41.2