2027金版教程一轮复习数学基础版第11章第4节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课标解读考向预测1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，能利用独立性计算概率．2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．3.结合古典概型，理解条件概率与独立性的关系．4.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．5.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．6.*了解贝叶斯公式.预计2027年高考将会以事件独立性的判断或条件概率、全概率公式计算在小题中单独考查，或与随机变量的分布列、数字特征相结合融合在解答题中考查.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础事件A与事件B相互独立对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝_________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝____，P(A|B)＝____1．事件的相互独立性P(A)P(B)P(B)P(A)2.条件概率3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝_______________，我们称上面的公式为全概率公式．P(B|A)＋P(C|A)√×√×题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第二册第五章复习题A组T8改编)某金融公司第一次投资成功的概率为0.85，第二次投资成功的概率为0.74，两次投资成功与否相互独立，则两次都投资成功的概率为(

)A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85解析：由题意知两次投资成功与否相互独立，所以两次都投资成功的概率为0.85×0.74＝0.629.(2)(人教B选择性必修第二册4.1.1例2改编)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为(

)A．0.8 B．0.625C．0.5 D．0.1(3)(人教A选择性必修第三册7.1.2练习T1改编)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为(

)A．0.625 B．0.75C．0.5 D．0考点探究提素养考点一事件的相互独立性(多考向探究)考向1事件独立性的判定

袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出(

)A．B与D相互独立 B．A与D相互独立C．B与C相互独立 D．C与D相互独立考向2相互独立事件的概率

求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

2.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷，12)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)(

)A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率考点二条件概率(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_____．考点三全概率公式的应用

某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(

)A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096

利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．

4.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80颗.2026年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．0.4825解析:设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设事件B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.5．某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他答A题库的题的正确率是0.92，答B题库的题的正确率是0.86，答C题库的题的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，答对的概率是________．0.85课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★考点相互独立事件的概率条件概率公式的应用全概率公式的应用定义法求条件概率相互独立事件的概率条件概率公式的应用事件独立性的判定相互独立事件的概率条件概率的定义乘法公式、全概率公式的应用题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点条件概率公式的应用相互独立事件的概率全概率公式的应用相互独立事件的概率条件概率、全概率公式的应用相互独立事件的概率相互独立事件的概率条件概率公式的应用条件概率公式及其应用相互独立事件的概率一、单项选择题1．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛(甲、乙各投篮一次)，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为(

)A．0.38 B．0.24C．0.14 D．0.5解析：甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7×(1－0.8)＋0.8×(1－0.7)＝0.38.故选A.3．(2026·辽宁沈阳模拟)某工业园区安装了一套AI水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1.当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为(

)A．0.095 B．0.45C．0.14 D．0.17．在一次考试中有一道四个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在四个选项中随机选取两个选项．设事件M＝“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝“甲、乙两人均未选择B选项”，则(

)A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立14．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第