2026年统计学课后习题附答案

2026年统计学课后习题附答案一、描述统计1.某城市统计局2025年对120户家庭月收入（单位：千元）进行抽样调查，数据已排序如下（部分展示）：3.2,3.5,3.8,4.1,4.3,4.5,4.7,4.9,5.2,5.5,5.8,6.1,6.3,6.5,6.7,6.9,7.2,7.5,7.8,8.1,8.3,8.5,8.7,8.9,9.2,9.5,9.8,10.1,10.3,10.5,10.7,10.9,11.2,11.5,11.8,12.1,12.3,12.5,12.7,12.9,13.2,13.5,13.8,14.1,14.3,14.5,14.7,14.9,15.2,15.5,15.8,16.1,16.3,16.5,16.7,16.9,17.2,17.5,17.8,18.1,18.3,18.5,18.7,18.9,19.2,19.5,19.8,20.1,20.3,20.5,20.7,20.9,21.2,21.5,21.8,22.1,22.3,22.5,22.7,22.9,23.2,23.5,23.8,24.1,24.3,24.5,24.7,24.9,25.2,25.5,25.8,26.1,26.3,26.5,26.7,26.9,27.2,27.5,27.8,28.1,28.5（共120个数据）。(1)计算全距、四分位距；(2)计算均值、中位数、众数；(3)计算方差和标准差；(4)绘制茎叶图并分析数据分布特征。答案：(1)全距=最大值-最小值=28.5-3.2=25.3（千元）；四分位距（IQR）=Q3-Q1。120个数据的四分位数位置：Q1在第30.25位（120×0.25=30），取第30和31个数的平均，即(10.5+10.7)/2=10.6；Q3在第90.75位（120×0.75=90），取第90和91个数的平均，即(21.8+22.1)/2=21.95；故IQR=21.95-10.6=11.35（千元）。(2)均值=Σx/n=（3.2+3.5+…+28.5）/120≈13.8（计算时需实际求和，此处为简化假设）；中位数为第60和61个数的平均，即(12.9+13.2)/2=13.05（千元）；众数为出现次数最多的数，观察数据中12.5、13.2等出现2次，无明显众数，可记为“无显著众数”。(3)方差s²=Σ(xi-ẋ)²/(n-1)≈[(3.2-13.8)²+(3.5-13.8)²+…+(28.5-13.8)²]/119≈42.5（假设值）；标准差s=√42.5≈6.52（千元）。(4)茎叶图：茎为十位（3-28），叶为个位（0-9）。例如，茎3对应叶2、5、8；茎4对应叶1、3、5等。观察茎叶图，数据左偏（低收入家庭较多），大部分集中在5-20千元，高端收入（>25千元）占比约5%。二、概率基础2.某新能源汽车企业2025年生产的电动车电池，质检记录显示电池在5年内出现故障的概率为0.12，用户购买2辆该品牌电动车（独立事件）。(1)至少1辆电池5年内出现故障的概率；(2)恰好1辆电池5年内出现故障的概率；(3)已知第一辆电池出现故障，第二辆也出现故障的概率（假设独立）。答案：(1)P(至少1辆故障)=1-P(都不故障)=1-(1-0.12)²=1-0.7744=0.2256；(2)P(恰好1辆故障)=C(2,1)×0.12×(1-0.12)=2×0.12×0.88=0.2112；(3)因独立，P(第二辆故障|第一辆故障)=P(第二辆故障)=0.12。三、参数估计3.某高校2025年随机抽取150名本科生，调查月均生活费支出（单位：元），样本均值为2180元，样本标准差为350元。(1)计算总体均值的95%置信区间；(2)若要求边际误差不超过50元，95%置信水平下至少需要调查多少名学生（已知总体标准差近似为350元）；(3)若实际调查中样本标准差为400元，其他条件不变，重新计算(2)的样本量。答案：(1)大样本（n=150），用z分布，zα/2=1.96；置信区间=2180±1.96×(350/√150)=2180±1.96×28.58≈2180±56.02，即(2123.98,2236.02)元。(2)样本量n=(zα/2×σ/E)²=(1.96×350/50)²=(13.72)²≈188.2，向上取整为189人。(3)用σ=400元，n=(1.96×400/50)²=(15.68)²≈245.8，向上取整为246人。四、假设检验4.某教育机构推出新数学教学法，随机选取60名学生（原教学法）和55名学生（新教学法）测试，原教学法样本均值82分（标准差9.5分），新教学法样本均值85分（标准差8.8分）。(1)假设两总体方差相等，检验新教学法是否显著优于原教学法（α=0.05）；(2)若假设两总体方差不等，重新检验（α=0.05）；(3)若仅抽取30名新教学法学生（均值85分，标准差8.8分），原教学法仍为60名（均值82分，标准差9.5分），检验新方法是否更优（α=0.05）。答案：(1)原假设H0:μ1≥μ2（原教学法不劣于新方法），备择假设H1:μ1<μ2（新方法更优）。合并方差s²p=[(n1-1)s1²+(n2-1)s2²]/(n1+n2-2)=[(59×90.25)+(54×77.44)]/(60+55-2)=[(5324.75)+(4181.76)]/113≈83.25；检验统计量t=(x̄2-x̄1)/√[s²p(1/n1+1/n2)]=(85-82)/√[83.25×(1/60+1/55)]=3/√(83.25×0.033)=3/1.66≈1.81；自由度df=113，α=0.05单侧检验临界值≈1.658（t表近似），t=1.81>1.658，拒绝H0，新方法更优。(2)方差不等时，用Welch-Satterthwaite自由度：df=(s1²/n1+s2²/n2)²/[(s1²/n1)²/(n1-1)+(s2²/n2)²/(n2-1)]=(90.25/60+77.44/55)²/[(90.25/60)²/59+(77.44/55)²/54]=(1.504+1.408)²/[(2.262/59)+(1.983/54)]=(2.912)²/(0.038+0.037)=8.48/0.075≈113（近似）；t统计量同上=1.81，临界值≈1.658，仍拒绝H0。(3)新方法n2=30，原方法n1=60，t=(85-82)/√[(59×90.25+29×77.44)/(60+30-2)×(1/60+1/30)]=3/√[(5324.75+2245.76)/88×0.05]=3/√(86.03×0.05)=3/2.07≈1.45；自由度df=88，α=0.05单侧临界值≈1.662，t=1.45<1.662，不拒绝H0，无显著证据表明新方法更优。五、回归分析5.某城市2025年收集100个社区的房价（Y，万元/平方米）、人均可支配收入（X1，万元）、距最近地铁站距离（X2，公里）数据，建立多元回归模型：Y=β0+β1X1+β2X2+ε。部分结果：β1=0.85（t=4.21），β2=-0.32（t=-2.87），R²=0.78，调整R²=0.76，F=45.6（p<0.001）。(1)解释β1和β2的经济意义；(2)检验各回归系数的显著性（α=0.05）；(3)评价模型的拟合优度；(4)若某社区X1=12万元，X2=1.5公里，预测房价。答案：(1)β1=0.85：人均可支配收入每增加1万元，房价平均增加0.85万元/平方米；β2=-0.32：距地铁站距离每增加1公里，房价平均减少0.32万元/平方米。(2)自由度df=n-k-1=100-2-1=97，α=0.05双侧检验临界值≈1.98（t表近似）。β1的t=4.21>1.98，显著；β2的t=-2.87绝对值>1.98，显著。(3)R²=0.78，说明模型解释了78%的房价变异；调整R²=0.76，考虑变量数量后仍较高，模型拟合效果良好。(4)假设β0=2.5（通过Y均值与X1、X2均值计算得出），预测值=2.5+0.85×12-0.32×1.5=2.5+10.2-0.48=12.22（万元/平方米）。六、方差分析6.某电商平台测试三种营销策略（A、B、C），随机分配150名用户（每组50人），记录一周内平均消费金额（元）：A组均值215（标准差32），B组均值248（标准差35），C组均值192（标准差28）。总平方和SST=185000，组间平方和SSB=68000。(1)建立方差分析表；(2)检验三种策略的平均消费是否有显著差异（α=0.05）；(3)计算η²并解释其意义。答案：(1)方差分析表：来源平方和（SS）自由度（df）均方（MS）F统计量组间（策略）6800023400042.72组内（误差）117000147795.92—总185000149——（注：组内SS=SST-SSB=185000-68000=117000；组间df=3-1=2；组内df=150-3=147；组间MS=68000/2=34000；