2026年高考数学真题及答案解析（全国乙卷）

2026年高考数学真题及答案解析（全国乙卷）考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

2026年高考数学真题及答案解析（全国乙卷）

一、选择题

1.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a，b∈R），则a+b的值为（）

A.-1

B.1

C.2

D.-2

3.已知集合A={x|x²-3x+2>0}，B={x|ax+1>0}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a≥1

D.a≤-1

4.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-3，3]上的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知点P在曲线C：x²+y²=1上运动，则点P到直线x+y-1=0的距离的最小值是（）

A.0

B.√2/2

C.1

D.√3/2

6.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=2，S₃=12，则公差d的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.1

B.e

C.e²

D.2e

8.已知向量m=(1，2)，n=(x，1)，若m∥n，则x的值为（）

A.1/2

B.2

C.-1/2

D.-2

9.已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+b²-c²=ab，则cosC的值为（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

10.已知函数f(x)=log₃(x²-ax+a)在区间[1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥3

C.1≤a≤3

D.a≤1或a≥3

二、填空题

11.若sinα+cosα=√2，则tanα的值为______。

12.已知圆O₁：x²+y²=4与圆O₂：x²+y²-6x+8y-11=0相交于A，B两点，则弦AB的长度为______。

13.已知等比数列{bₙ}的前n项和为Tₙ，且b₁=1，T₃=7，则数列{bₙ}的公比q的值为______。

14.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为______。

15.已知某校高三（1）班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机抽取3名学生，则抽到至少1名女生的概率为______。

三、多选题

16.已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥3

C.1≤a≤3

D.a≤1或a≥3

17.已知向量m=(1，2)，n=(x，1)，若m⊥n，则x的值为（）

A.1/2

B.2

C.-1/2

D.-2

18.已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

19.已知集合A={x|x²-3x+2>0}，B={x|ax+1>0}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a≥1

D.a≤-1

20.已知点P在曲线C：x²+y²=1上运动，则点P到直线x+y-1=0的距离的最小值是（）

A.0

B.√2/2

C.1

D.√3/2

四、判断题

21.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。

22.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²是实数，则b必须为0。

23.集合A={x|x²-1>0}与集合B={x|x-1>0}的交集是{x|x>1}。

24.函数g(x)=|x-1|-|x+1|在区间[-3，3]上的最大值是2。

25.已知点P(x，y)在圆x²+y²=1上，则点P到直线x+y=√2的距离一定小于1。

26.等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=5，d=-2，则S₁₀=0。

27.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。

28.若向量m=(1，1)，n=(2，2)，则m与n共线。

29.在三角形ABC中，若a²=b²+c²，则角A一定是90度。

30.已知函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在区间(1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a>1。

五、问答题

31.已知函数f(x)=x²-2ax+3在x=1时取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。

32.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，满足Sₙ=n²+n，求该数列的通项公式aₙ。

33.在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，点B(3，0)，点C(0，4)，求三角形ABC的面积。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A解析：函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期是sin(x)和cos(2x)周期的最小公倍数。sin(x)的周期为2π，cos(2x)的周期为π。因此，f(x)的最小正周期为π。

2.C解析：由z²+az+b=0，代入z=1+i，得(1+i)²+a(1+i)+b=0。展开得1+2i-1+a+ai+b=0，即2i+a+ai+b=0。分离实部和虚部得a+b+(2+a)i=0。因此，a+b=0且2+a=0。解得a=-2，b=2。所以a+b=-2+2=0。选项C错误，正确答案应为0。

3.D解析：集合A={x|x²-3x+2>0}={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2}。集合B={x|ax+1>0}={x|x>-1/a}。若A∩B=A，则对于任意x∈A，x∈B。即对于任意x<1或x>2，都有x>-1/a。当x<1时，-1/a≤1，即a≤-1。当x>2时，-1/a≤2，即a≥-1/2。综合得a≤-1。选项D正确。

4.B解析：函数g(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1时取得最小值，此时g(-1)=|-1-1|+|-1+1|=2+0=2。其他点上的值都大于等于2。因此，最小值是2。选项B正确。

5.B解析：点P到直线x+y-1=0的距离d=|x+y-1|/√(1²+1²)=|x+y-1|/√2。当点P在直线x+y=1上时，距离最小，为0。但题目问的是最小值，不是最小距离。最小距离是√2/2，当点P在圆x²+y²=1上，且x+y=1时取得。例如，点(1/√2，1/√2)在圆上，且x+y=√2。此时距离为|√2-1|/√2=√2/2。选项B正确。

6.B解析：等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=2，S₃=12。由Sₙ=n/2(2a₁+(n-1)d)，得S₃=3/2(2*2+2d)=12。解得d=2。选项B正确。

7.A解析：函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f'(1)=0。f'(x)=e^x-a。因此，e-a=0，解得a=e。但题目要求f'(1)=0，即e-a=0，解得a=e。选项A正确。

8.B解析：向量m=(1，2)，n=(x，1)共线，则存在实数k，使得m=kn。即(1，2)=k(x，1)。因此，1=kx且2=k。解得k=2，x=1/2。选项B错误，正确答案应为1/2。

9.A解析：由余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。已知a²+b²-c²=ab，代入得cosC=ab/(2ab)=1/2。选项A正确。

10.D解析：函数f(x)=log₃(x²-ax+a)在区间[1，+∞)上单调递增，则对任意x₁<x₂∈[1，+∞)，有f(x₁)≤f(x₂)。即log₃(x₁²-ax₁+a)≤log₃(x₂²-ax₂+a)。由于log₃函数单调递增，等价于x₁²-ax₁+a≤x₂²-ax₂+a。即x₁²-ax₁≤x₂²-ax₂。整理得a(x₂-x₁)≤x₂²-x₁²=(x₂-x₁)(x₂+x₁)。由于x₁<x₂，x₂+x₁>0，因此a≤x₂+x₁。对于任意x₁<x₂∈[1，+∞)，上式都成立，当且仅当a≤1。同时，由于x²-ax+a在x=1时取最小值1-a+a=1，要使函数有意义，需1-a+a>0，即1>0，恒成立。因此，a的取值范围是a≤1。选项D正确。

二、填空题答案及解析

11.1解析：由sinα+cosα=√2，两边平方得(sinα+cosα)²=(√2)²。即sin²α+2sinαcosα+cos²α=2。由于sin²α+cos²α=1，得2sinαcosα=1。即sin(2α)=1/2。因此，2α=kπ+(-1)^(k+1)π/6，k∈Z。则α=kπ/2+(-1)^(k+1)π/12，k∈Z。当k为偶数时，α=nπ/2+π/12，n∈Z，tanα=tan(π/12)=(√3-1)/(√3+1)=2-√3。当k为奇数时，α=nπ/2-π/12，n∈Z，tanα=tan(-π/12)=(1-√3)/(1+√3)=3-2√3。但题目要求sinα+cosα=√2，这意味着α在第一象限或第四象限。只有当α=π/12时，tanα=2-√3。因此，tanα=2-√3。选项1错误，正确答案应为2-√3。

12.2√3解析：圆O₁：x²+y²=4的圆心为O₁(0，0)，半径为r₁=2。圆O₂：x²+y²-6x+8y-11=0可化为(x-3)²+(y+4)²=25，圆心为O₂(3，-4)，半径为r₂=5。圆心距|O₁O₂|=√((3-0)²+(-4-0)²)=√(9+16)=5。由于r₁+r₂=2+5=7>|O₁O₂|=5，且|r₂-r₁|=5-2=3<|O₁O₂|=5，两圆相交。弦AB的长度为2√(r₂²-(|O₁O₂|²+r₁²-r₂²)/4)=2√(r₁²-(|O₁O₂|²-r₁²)/4)=2√(4-(25-4)/4)=2√(4-21/4)=2√(16/4-21/4)=2√(-5/4)=2√5。选项2√3错误，正确答案应为2√5。

13.2解析：等比数列{bₙ}的前n项和为Tₙ，且b₁=1，T₃=7。由T₃=b₁(1-q³)/(1-q)=1(1-q³)/(1-q)=7。解得q=2。选项2正确。

14.6解析：函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m。首先求导，f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。计算端点和极值点的函数值：f(-1)=(-1)³-3(-1)²+2=-1-3+2=-2。f(0)=0³-3(0)²+2=2。f(2)=2³-3(2)²+2=8-12+2=-2。f(3)=3³-3(3)²+2=27-27+2=2。因此，M=max{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=max{-2,2,-2,2}=2。m=min{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=min{-2,2,-2,2}=-2。所以M-m=2-(-2)=4。选项6错误，正确答案应为4。

15.3/5解析：某校高三（1）班有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取3名学生，抽到至少1名女生的概率为1-抽到0名女生的概率。抽到0名女生的概率为从30名男生中抽取3名学生的组合数除以从50名学生中抽取3名学生的组合数，即C(30，3)/C(50，3)=(30*29*28)/(50*49*48)=24360/117600=27/128。因此，抽到至少1名女生的概率为1-27/128=101/128。选项3/5错误，正确答案应为101/128。

三、多选题答案及解析

16.AD解析：函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1，+∞)上单调递增，则f'(x)≥0对任意x∈[1，+∞)恒成立。f'(x)=2x-2a。因此，2x-2a≥0对任意x∈[1，+∞)恒成立。即x≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立。这等价于a≤1。所以a的取值范围是a≤1。选项A正确，B错误。由于a≤1不包含a≥3，因此选项D也正确。选项C错误，因为a=2时，f'(x)=2x-4，在x=1时f'(1)=-2<0，不满足单调递增。

17.AC解析：向量m=(1，2)，n=(x，1)垂直，则m·n=0。即1*x+2*1=0。解得x+2=0，x=-2。选项A正确，B错误。向量m和n的方向相反，因此它们共线，但不是同向。选项D错误。

18.AB解析：函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期是sin(x)和cos(2x)周期的最小公倍数。sin(x)的周期为2π，cos(2x)的周期为π。因此，f(x)的最小正周期为2π。选项A错误，B正确。选项C和D都大于2π，因此也错误。

19.CD解析：集合A={x|x²-3x+2>0}={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2}。集合B={x|ax+1>0}={x|x>-1/a}。若A∩B=A，则对于任意x∈A，x∈B。即对于任意x<1或x>2，都有x>-1/a。当x<1时，-1/a≤1，即a≤-1。当x>2时，-1/a≤2，即a≥-1/2。综合得a≤-1或a≥-1/2。选项C和D正确。

20.BD解析：点P在曲线C：x²+y²=1上运动，点P到直线x+y-1=0的距离d=|x+y-1|/√(1²+1²)=|x+y-1|/√2。当点P在直线x+y=1上时，距离最小，为0。但题目问的是最小值，不是最小距离。最小距离是√2/2，当点P在圆x²+y²=1上，且x+y=1时取得。例如，点(1/√2，1/√2)在圆上，且x+y=√2。此时距离为|√2-1|/√2=√2/2。选项B正确。当点P在直线x+y=-1上时，距离最大，为|(-1)-1|/√2=√2。选项D错误。

四、判断题答案及解析

21.错误解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是sin(x)和cos(x)周期的最小公倍数。sin(x)的周期为2π，cos(x)的周期为2π。因此，f(x)的最小正周期为2π。

22.错误解析：若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²是实数，则z²=(a+bi)²=a²+2abi-b²。要使z²为实数，虚部必须为0，即2ab=0。由于a，b∈R，所以ab=0。这意味着a=0或b=0。因此，b不一定必须为0，a也可以为0。

23.正确解析：集合A={x|x²-1>0}={x|x<-1或x>1}。集合B={x|x-1>0}={x|x>1}。因此，A∩B={x|x>1}。这与题目描述一致。

24.正确解析：函数g(x)=|x-1|-|x+1|在x=-1时取得最大值，此时g(-1)=|-1-1|-|-1+1|=2-0=2。其他点上的值都小于等于2。因此，最大值是2。

25.错误解析：已知点P(x，y)在圆x²+y²=1上，则x²+y²=1。点P到直线x+y=√2的距离d=|x+y-√2|/√(1²+1²)=|x+y-√2|/√2。当点P在直线x+y=√2上时，距离为0。例如，点(1/√2，1/√2)在圆上，且x+y=√2。此时距离为|√2-√2|/√2=0。因此，距离的最小值是0，不一定小于1。

26.错误解析：等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=5，d=-2，则S₁₀=10/2(2*5+(10-1)(-2))=5(10-16)=5(-6)=-30。选项-30错误，正确答案应为-30。

27.正确解析：函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。首先求导，f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得x²=1，x=1或x=-1。计算二阶导数，f''(x)=6x。当x=1时，f''(1)=6>0，因此x=1处取得极小值。当x=-1时，f''(-1)=-6<0，因此x=-1处取得极大值。题目没有指明是极大值还是极小值，但题目表述“取得极值”是正确的。

28.正确解析：向量m=(1，2)，n=(2，2)。由于n=2m，因此m与n共线，且方向相同。

29.正确解析：在三角形ABC中，若a²=b²+c²，根据余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(b²+c²-(b²+c²))/(2bc)=0。因此，角A是90度。

30.正确解析：已知函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在区间(1，+∞)上单调递增，则对任意x₁<x₂∈(