全国研究生入学考试数学试题及答案

全国研究生入学考试数学试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上。1.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是().A.[-1/2,1/2]B.[-1,1]C.[0,1]D.(-∞,-1/2]∪[1/2,+∞)2.极限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=().A.1/2B.1C.2D.03.函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,3]上的最大值是().A.2B.3C.5D.64.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0-h)]/2h=().A.1B.2C.4D.不存在5.曲线y=ln(x^2+1)在点(1,ln2)处的切线斜率是().A.1B.2C.ln2D.2ln26.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(1,2)内的驻点个数为().A.0B.1C.2D.无法确定7.广义积分∫(1to+∞)(1/x^p)dx收敛的条件是().A.p>1B.p<1C.p=1D.对任意p值均收敛8.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得().A.f(ξ)=0B.f'(ξ)=0C.f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)D.f(ξ)=(f(b)+f(a))/29.设z=x^2+y^2，则dz|_(x=1,y=1,Δx=0.1,Δy=0.2)=().A.0.3B.0.4C.0.5D.0.610.设函数f(x)在点(x0,y0)处的偏导数∂f/∂x|x0,y0和∂f/∂y|x0,y0都存在，则下列说法正确的是().A.f(x,y)在点(x0,y0)处连续B.f(x,y)在点(x0,y0)处可微C.曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处存在切平面D.lim(x,y→x0,y0)[f(x,y)-f(x0,y0)]/sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)=011.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)(1/n^2)的敛散性是().A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断12.幂级数∑(n=0to∞)(x-2)^n/(2^n)的收敛半径R是().A.1B.2C.4D.013.微分方程y''-4y'+4y=0的通解是().A.y=C1e^2x+C2xe^2xB.y=(C1+C2x)e^-2xC.y=C1e^2x+C2e^-2xD.y=C1e^-2x+C2e^2x14.设A是n阶可逆矩阵，则下列说法错误的是().A.|A|≠0B.A的行向量组线性无关C.A的列向量组线性相关D.A的秩等于n15.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是().A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.2α1,2α2,2α3D.α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。请将答案填在答题卡上相应的位置。16.极限lim(x→0)(sin3x)/x=_______.17.曲线y=x^3-3x^2+2的拐点是_______.18.若f'(x)=3x^2+2x，则f(x)=_______(写出任意一个原函数).19.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=_______f'(ξ)(b-a).20.若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则z在该点处一定_______.21.级数∑(n=1to∞)(1/(n+1)!)的前n项部分和Sn=_______(用n表示).22.函数y=arctan(x^2)的二阶导数y''=_______.23.若z=ln(x^2+y^2)，则∂^2z/∂x∂y=_______.24.微分方程y'+y=0的通解是_______.25.设A=|12;34|，则|A|=_______.26.若向量α=(1,2,3)和β=(a,b,c)平行，则a,b,c满足关系式_______.27.设A是3阶矩阵，且|A|=2，则|3A|=_______.28.向量组α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)的秩是_______.29.设事件A和B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=_______.30.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=_______.三、解答题：本大题共10小题，共120分。请将解答写在答题卡上指定的位置。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31.(10分)计算定积分∫(0toπ/2)xsinxdx.32.(10分)设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)=x+∫(0tox)f(t)dt。求函数f(x).33.(10分)求函数z=x^2+y^2-xy的极值.34.(10分)计算二重积分∫∫(D)x^2ydA，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=1所围成的区域.35.(10分)将函数f(x)=x^2在区间[-π,π]上展开成以2π为周期的傅里叶级数.36.(12分)解线性微分方程y''-3y'+2y=x^2.37.(12分)设矩阵A=|123;014;001|，求矩阵A的逆矩阵A^(-1).38.(12分)已知向量组α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,t)。(1)当t取何值时，向量组α1,α2,α3线性无关？(2)当t取何值时，向量组α1,α2,α3线性相关？并求出其一个线性关系式。39.(12分)在一批产品中，一级品率为90%，二级品率为7%，三级品率为3%。现从中随机抽取一件产品，如果是二级品，则不再抽取；如果是三级品，则再抽取一件。求第二次抽取到的是一级品的概率。40.(12分)设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)={c(x+y)0≤y≤x≤1;0otherwise}。(1)求常数c的值。(2)求随机变量X的边缘概率密度函数fX(x)。(3)求P(X+Y≤1).试卷答案一、单项选择题：1.C2.C3.C4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.B11.C12.B13.A14.C15.A二、填空题：16.317.(1,2)18.x^3+x^2+C19.120.连续21.1-1/n!+O(1/n!)22.2x/(1+x^4)23.2xy/(x^2+y^2)24.Ce^(-x)25.-226.b=2a,c=3a27.1828.329.0.730.1三、解答题：31.解：∫(0toπ/2)xsinxdx=-xcosx|_(0toπ/2)+∫(0toπ/2)cosxdx=-π/2*0+sinx|_(0toπ/2)=sinπ/2-sin0=1.32.解：f(x)=x+∫(0tox)f(t)dt=>f'(x)=1+f(x)=>f'(x)-f(x)=1.这是一个一阶线性非齐次微分方程。齐次方程f'(x)-f(x)=0的通解为f_h(x)=Ce^x.非齐次方程的特解可设为f_p(x)=A.代入方程得A-A=1,无解。改设为f_p(x)=Ax。代入方程得A-Ax=1=>A(1-x)=1=>A=-1/x(x≠0).特解为f_p(x)=-x。通解为f(x)=f_h(x)+f_p(x)=Ce^x-x.由f(0)=0+∫(0to0)f(t)dt=0=>C*e^0-0=0=>C=0.所以f(x)=-x.33.解：求驻点：设F(x,y)=x^2+y^2-xy,则∂F/∂x=2x-y,∂F/∂y=2y-x.令∂F/∂x=0,∂F/∂y=0=>2x-y=0,2y-x=0=>x=0,y=0.驻点为(0,0).求二阶导数：A=∂^2F/∂x^2=2,B=∂^2F/∂x∂y=-1,C=∂^2F/∂y^2=2.判定：AC-B^2=2*2-(-1)^2=4-1=3>0.又因为A=2>0，所以驻点(0,0)是极小值点。极小值为f(0,0)=0^2+0^2-0*0=0.34.解：积分区域D由y=x^2和y=1围成。在xOy平面上，D在y=x^2下方，y=1上方；x的范围从-1到1。∫∫(D)x^2ydA=∫(-1to1)∫(x^2to1)x^2ydydx=∫(-1to1)x^2[(y^2/2)|_(x^2)^(1)]dx=∫(-1to1)x^2[(1/2)-(x^4/2)]dx=(1/2)∫(-1to1)x^2dx-(1/2)∫(-1to1)x^6dx=(1/2)[x^3/3|_(-1to1)]-(1/2)[x^7/7|_(-1to1)]=(1/2)[(1/3)-(-1/3)]-(1/2)[(1/7)-(-1/7)]=(1/2)*(2/3)-(1/2)*(2/7)=1/3-1/7=4/21.35.解：f(x)=x^2在[-π,π]上是偶函数，所以展开成余弦级数。a_0=(1/π)∫(-πtoπ)x^2dx=(2/π)∫(0toπ)x^2dx=(2/π)[x^3/3|_(0toπ)]=(2/π)(π^3/3)=2π^2/3.a_n=(1/π)∫(-πtoπ)x^2cos(nx)dx=(2/π)∫(0toπ)x^2cos(nx)dx.用分部积分两次：令u=x^2,dv=cos(nx)dx=>du=2xdx,v=(1/n)sin(nx).∫x^2cos(nx)dx=(x^2/n)sin(nx)|_(0toπ)-∫(2x/n)sin(nx)dx=(π^2/n)sin(nπ)-0-(2/n)∫xsin(nx)dx=0-(2/n)[-(x/n)cos(nx)|_(0toπ)+∫(1/n)cos(nx)dx]=(2/n^2)[xcos(nx)|_(0toπ)-∫(1/n)cos(nx)dx]=(2/n^2)[πcos(nπ)-0-(1/n^2)sin(nx)|_(0toπ)]=(2/n^2)[πcos(nπ)-0]=(2π/n^2)cos(nπ)=(2π/n^2)(-1)^n.a_n=(2/π)*(2π/n^2)(-1)^n=(4/n^2)(-1)^n.b_n=0(因为f(x)是偶函数).所以f(x)=x^2=π^2/3+∑(n=1to∞)(4/n^2)(-1)^ncos(nx)(-π≤x≤π).收敛定理保证在x=±π处收敛于π^2/2.36.解：对应的齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程为r^2-3r+2=0=>(r-1)(r-2)=0=>r1=1,r2=2.齐次方程通解为y_h(x)=C1e^x+C2e^(2x).非齐次方程的特解，考虑自由项x^2是多项式。由于齐次方程的特征根1和2都不是0，特解可设为Ax^2+Bx+C。代入原方程：(2A)x+B+(Ax^2+Bx+C)-3(Ax^2+Bx+C)'+2(Ax^2+Bx+C)=x^2=>(2A)x+B+Ax^2+Bx+C-3(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C)=x^2=>Ax^2+(2A+B-6A+2B)x+(B-3B+2C)=x^2=>Ax^2+(-4A+3B)x+(-2B+2C)=x^2比较系数：A=1-4A+3B=0=>-4+3B=0=>3B=4=>B=4/3-2B+2C=0=>-2(4/3)+2C=0=>-8/3+2C=0=>2C=8/3=>C=4/3特解为y_p(x)=x^2+(4/3)x+4/3.通解为y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C1e^x+C2e^(2x)+x^2+(4/3)x+4/3.37.解：这是一个上三角矩阵。上三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵，且主对角线元素为原矩阵对应元素的倒数，非主对角线上的元素可以通过矩阵运算求得。设A^(-1)=|abc;0de;00f|.AA^(-1)=|123;014;001||abc||0de||00f|=|a+2b+3cb+2cc+3d||0de||00f|=>a+2b+3c=1,b+2c=0,c+3d=0=>c=0,b=0,a=1.0=1,e=4=>e=4.0=1,f=1=>f=1.所以A^(-1)=|100;014;001|.38.解：构造矩阵A=|111;123;13t|.(1)向量组α1,α2,α3线性无关的充要条件是矩阵A的秩为3。对A进行行变换：R2=R2-R1=>|111;012;13t|R3=R3-R1=>|111;012;02t-1|R3=R3-2*R2=>|111;012;00t-5|当t≠5时，矩阵A的秩为3，向量组α1,α2,α3线性无关。当t=5时，矩阵A的秩为2，向量组α1,α2,α3线性相关。当t=5时，矩阵A变为|111;012;000|。令x3=k，x2=-2k，x1=-x2-x3=2k-k=k。得关系式：k*α1-2k*α2+k*α3=0，即α1-2α2+α3=0.39.解：设A=一级品，B=二级品，C=三级品。P(A)=0.9,P(B)=0.07,P(C)=0.03.P(第二次抽到一级品)=P(A)+P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.9+0.07*0.9