2026年小升初数学思维训练：第十七章容斥原理的应用好题精练A组-夯基础

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页好题精练A组——夯基础1．有三块木板各长50厘米，把三块木板钉成一块长木板，中间两处钉在一起的重叠部分都是50毫米，钉成的木板长多少厘米？2．一个班有36名学生，在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。有多少名学生两题都答错了？3．求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？4．光名小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？5．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？6．100个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？7．爸爸和小华年龄共56岁，妈妈和小华年龄共54岁，爸爸、妈妈年龄共82岁，小华年龄是多少岁？8．有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知8人没有参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳项目的人数都是17人。只参加跑和投掷项目的有多少人？9．某班全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目中都没达到优秀，其余学生每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如表所示，求这个班的学生数。短跑游泳篮球短跑和游泳1718156游泳和篮球篮球和短跑短跑、游泳和篮球65210．小明、小兰和小红每人都有几本书。小明和小兰共有33本，小明和小红共有39本，小兰和小红共有34本。他们三人各有几本书？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《第十七章容斥原理的应用好题精练A组——夯基础》参考答案：1．140厘米【难度】0.65【知识点】重叠问题【分析】由题意可知，要把三块木板钉成一块长木板，中间有两处重叠部分。则实际木板的长度等于三块木板长度总和减去重复计算的两处重叠部分的长度，三块木板的长度都是50厘米，重叠部分长度都是50毫米，要把单位都统一为厘米，再计算。【详解】50毫米＝5厘米50×3－5×2＝150－10＝140（厘米）答：钉成的木板长140厘米。2．3名【难度】0.4【知识点】集合问题【分析】答对第一题的25人加上答对第二题的23人，再减去两题都答对的15人，得到至少答对一题的有33人，总人数减去至少答对一题的人数，得到两题都答错的人数。【详解】（名）（名）答：有3名学生两题都答错了。【点睛】可以把总人数分成两类，至少答对一题的反面就是一道题也没有答对。3．67个【难度】0.4【知识点】集合问题、因数和倍数的求法【分析】先求出100以内5的倍数个数和6的倍数个数两者相加，再减去5和6共同的倍数个数。最后100减去前者，就是所要求的数。【详解】5的倍数个数：100÷5＝20（个）6的倍数个数：100÷6＝16（个）…430的倍数个数：100÷30＝3（个）…10不是5，6倍数的数有：100－（20＋16－3）＝67（个）答：1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有67个。【点睛】此题为两者关系的容斥原理与数论倍数相结合题型，求出各部分个数，利用公式计算。4．18幅【难度】0.65【知识点】容斥原理【分析】根据24幅不是五年级的，可知，六年级的幅数＋其他年级的幅数＝24幅。同样的道理，五年级的幅数＋其他年级的幅数＝22幅，两者相加，即可得到五六年级的幅数加上2倍其他年级的幅数，然后扣除五六年级的10幅，再除以2，即可得到答案。【详解】24＋22－10＝46－10＝36（幅）36÷2＝18（幅）答：其他年级参展的书法作品共有18幅。5．8幅【难度】0.4【知识点】集合问题【分析】其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅；20幅不是五年级的，就是说一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18＋20＝38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，因此一至四年级张数和的2倍是38－22＝16幅．从而可以求出一至四年级共展出16÷2＝8幅。【详解】18＋20＝38（幅）

38－22＝16（幅）

16÷2＝8（幅）答：其他年级共展出8幅。6．6人【难度】0.65【知识点】容斥原理【分析】已知学过英语的有39人学过法语的有49人，学过俄语的有41人，把三个人数相加时同时学过两种语言的人数计算了两次，需要减去重复计算的一次，三门全都学的同学一开始被计算了3次，减掉两门人数的时候刚好全给减没了，最后实际总人数和计算出来的人数相差多少，这个差值就是三门都学的人数。【详解】用总人数减去没有学过外语的人数，计算出至少学过一种语言的人数。至少学过一种语言的总人数：100－1＝99（人）学过英语的总人数：39人，学过法语的总人数：49人，学过俄语的总人数：41人。把单科人数全部相加：（人）同时学两门的人：英法两门：14人，英俄两门：13人，法俄两门：9人（人）同时学两门的人，在上面相加时被重复算了1次，减去重复多算的两门人数：（人）实际有效总人数是99人，现在只剩93人，差的人数就是三门都学的：（人）答：三种语言都学过的有6人。7．14岁【难度】0.65【知识点】年龄问题【分析】已知爸爸和小华年龄共56岁，妈妈和小华年龄共54岁，爸爸、妈妈年龄共82岁，将这三个和相加，爸爸、妈妈和小华的年龄各被计算了两次。因此，用三个和的总和除以2，即可得到三人年龄的总和。再用三人年龄总和减去爸爸和妈妈的年龄和，即为小华的年龄。【详解】（岁）答：小华年龄是14岁。8．3人【难度】0.4【知识点】集合问题【分析】①根据“有8个同学没参加跑的项目”，说明这8人只能是仅参加跳和投的（若参加三项，就包含“跑”了，不符合“没参加跑”）。②参加投掷的人，由三部分组成：仅跑和投、仅跳和投、三项都参加。其中“仅跳和投”是步骤1里的8人，所以“仅跑和投＋三项都参加”的人数为：17－8＝9（人）。③总人数28人，由四部分组成：仅跑和跳、仅跑和投、仅跳和投（8人）、三项都参加。又已知“同时参加跑和跳项目的人数是17人”，这17人包含“仅跑和跳”和“三项都参加”。我们把“仅跑和跳＋三项都参加”（17人）、“仅跑和投＋三项都参加”（9人）、“仅跳和投”（8人）加起来，会发现“三项都参加”被重复计算了，而总人数是28人，所以：“仅跑和投”的人数＝总人数－“仅跑和跳＋三项都参加”－“仅跳和投”，据此列式计算即可。【详解】由分析可得：28－17－8＝3（人）答：只参加跑和投掷项目的有3人。【点睛】集合原理用于在计数时避免重复和遗漏，其基本思想是：在计算包含于某内容中的所有对象的数目时，先不考虑重叠的情况，计算出总数，然后再将重复计算的数目排除，以确保结果既无遗漏又无重复。本题的关键是集合原理的意义列出算式，同时通过本题检验学生用所学知识解决实际问题的能力。9．39人【难度】0.65【知识点】容斥原理【分析】全班学生数＝至少有一项达到优秀人数＋未达到优秀人数，已知有4人在三个项目中没有达到优秀，需求出达到优秀的学生人数。将短跑、游泳、篮球达到优秀的人数相加时，两项达到优秀的人数被重复计算了一次，三项达到优秀的人数被重复计算了两次。根据容斥原理，需要减去两项达到优秀的人数之和，但三项达到优秀的人数被减没有了，再加上三项达到优秀的人数，才能得到至少有一项达到优秀的人数。最后加上三项均未达到优秀的人数，即为全班总人数。【详解】至少有一项达到优秀的人数：（17＋18＋15）－（6＋6＋5）＋2＝50－17＋2＝33＋2＝35（人）全班学生人数：35＋4＝39（人）答：这个班的学生数是39人。10．小红：20本；小兰：14本；小明：19本【难度】0.65【知识点】容斥原理【分析】已知三人两两组合的书本数量之和。将这三个和相加，相当于把小明