2026年福建省湘教版高二数学选修第12章知识点巩固习题

2026年福建省湘教版高二数学选修第12章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第12章《数列》中，已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+2n，则该数列的通项公式a_n为（）A.6n+2B.6n-1C.3n+1D.6n+1解析：由S_n=3n^2+2n可得a_1=S_1=5，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2+2n)-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，验证n=1时也成立，故通项公式为a_n=6n-1。2.已知等比数列{b_n}的首项b_1=2，公比q=3，则该数列的前5项和为（）A.62B.74C.76D.82解析：根据等比数列前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=2，q=3，n=5可得S_5=2(1-3^5)/(1-3)=62。3.在选修第12章中，若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+4且c_1=1，则该数列的第10项c_10的值为（）A.39B.40C.41D.42解析：由递推关系可知{c_n}是等差数列，公差d=4，首项c_1=1，故c_n=1+(n-1)×4=4n-3，c_10=4×10-3=37，选项有误，正确答案应为37。4.已知数列{d_n}的前n项和为T_n=2^n-1，则该数列的第3项d_3的值为（）A.4B.6C.8D.10解析：由T_n=2^n-1可得d_1=T_1=1，当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故d_n=2^{n-1}，d_3=2^{3-1}=4。5.在选修第12章中，若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}-5且e_1=20，则该数列的前4项和S_4的值为（）A.44B.48C.52D.56解析：由递推关系可知{e_n}是等差数列，公差d=-5，首项e_1=20，故e_n=20+(n-1)×(-5)=-5n+25，S_4=4×20+(4×3)×(-5)/2=40-30=10，选项有误，正确答案应为10。6.已知等差数列{f_n}的首项f_1=3，公差d=2，则该数列的前10项和S_10的值为（）A.190B.200C.210D.220解析：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2f_1+(n-1)d]，代入f_1=3，d=2，n=10可得S_10=10/2[2×3+(10-1)×2]=210。7.在选修第12章中，若数列{g_n}的前n项和为U_n=n^2+n，则该数列的第5项g_5的值为（）A.25B.30C.35D.40解析：由U_n=n^2+n可得g_1=U_1=2，当n≥2时，g_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故g_n=2n，g_5=2×5=10，选项有误，正确答案应为10。8.已知等比数列{h_n}的首项h_1=1，公比q=2，则该数列的前6项和S_6的值为（）A.63B.127C.127D.127解析：根据等比数列前n项和公式S_n=h_1(1-q^n)/(1-q)，代入h_1=1，q=2，n=6可得S_6=1(1-2^6)/(1-2)=63。9.在选修第12章中，若数列{i_n}满足i_n=i_{n-1}+6且i_1=4，则该数列的第8项i_8的值为（）A.52B.54C.56D.58解析：由递推关系可知{i_n}是等差数列，公差d=6，首项i_1=4，故i_n=4+(n-1)×6=6n-2，i_8=6×8-2=46，选项有误，正确答案应为46。10.已知数列{j_n}的前n项和为V_n=3n^2-2n，则该数列的第4项j_4的值为（）A.24B.26C.28D.30解析：由V_n=3n^2-2n可得j_1=V_1=1，当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时成立，故j_n=6n-5，j_4=6×4-5=19，选项有误，正确答案应为19。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为5，公差为3，则该数列的前10项和S_10=________。参考答案：190解析：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=5，d=3，n=10可得S_10=10/2[2×5+(10-1)×3]=190。2.已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为4，则该数列的前5项和S_5=________。参考答案：62解析：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=4，n=5可得S_5=2(1-4^5)/(1-4)=62。3.若数列{c_n}的前n项和为T_n=n^2+2n，则该数列的第3项c_3=________。参考答案：8解析：由T_n=n^2+2n可得c_1=T_1=3，当n≥2时，c_n=U_n-U_{n-1}=n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)=2n+1，验证n=1时成立，故c_n=2n+1，c_3=2×3+1=7，选项有误，正确答案应为7。4.已知等差数列{d_n}的首项为-1，公差为5，则该数列的前8项和S_8=________。参考答案：156解析：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=-1，d=5，n=8可得S_8=8/2[2×(-1)+(8-1)×5]=156。5.若数列{e_n}的前n项和为U_n=2^n-1，则该数列的第4项e_4=________。参考答案：8解析：由U_n=2^n-1可得e_1=U_1=1，当n≥2时，e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_4=2^{4-1}=8。6.已知等比数列{f_n}的首项为10，公比为1/2，则该数列的前6项和S_6=________。参考答案：15.625解析：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=10，q=1/2，n=6可得S_6=10(1-(1/2)^6)/(1-1/2)=15.625。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}-4且g_1=30，则该数列的第7项g_7=________。参考答案：2解析：由递推关系可知{g_n}是等差数列，公差d=-4，首项g_1=30，故g_n=30+(n-1)×(-4)=-4n+34，g_7=-4×7+34=2。8.已知等差数列{h_n}的首项为0，公差为1，则该数列的前9项和S_9=________。参考答案：36解析：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=0，d=1，n=9可得S_9=9/2[2×0+(9-1)×1]=36。9.若数列{i_n}的前n项和为V_n=3n^2+n，则该数列的第5项i_5=________。参考答案：31解析：由V_n=3n^2+n可得i_1=V_1=4，当n≥2时，i_n=V_n-V_{n-1}=(3n^2+n)-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，验证n=1时成立，故i_n=6n-2，i_5=6×5-2=28，选项有误，正确答案应为28。10.已知等比数列{j_n}的首项为1，公比为3，则该数列的前7项和S_7=________。参考答案：2187解析：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=1，q=3，n=7可得S_7=1(1-3^7)/(1-3)=2187。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=2n^2+3n可得a_1=S_1=5，当n≥2时，a_n=U_n-U_{n-1}=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，验证n=1时成立，故a_n=4n+1，是等差数列。2.已知等比数列{b_n}的首项为-1，公比q=2，则该数列的前4项和S_4=-15。（）参考答案：错误解析：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=-1，q=2，n=4可得S_4=-1(1-2^4)/(1-2)=15。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+5且c_1=10，则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由递推关系可知{c_n}是等差数列，公差d=5，首项c_1=10，不是等比数列。4.已知等差数列{d_n}的首项为3，公差为2，则该数列的前5项和S_5=35。（）参考答案：正确解析：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=3，d=2，n=5可得S_5=5/2[2×3+(5-1)×2]=35。5.若数列{e_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则该数列的第2项e_2=5。（）参考答案：错误解析：由T_n=n^2+n可得e_1=U_1=2，当n≥2时，e_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_2=2×2=4。6.已知等比数列{f_n}的首项为0，公比为5，则该数列的前3项和S_3=0。（）参考答案：正确解析：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=0，q=5，n=3可得S_3=0。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}-6且g_1=24，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由递推关系可知{g_n}是等差数列，公差d=-6，首项g_1=24。8.已知等差数列{h_n}的首项为-2，公差为-3，则该数列的前6项和S_6=-45。（）参考答案：正确解析：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=-2，d=-3，n=6可得S_6=6/2[2×(-2)+(6-1)×(-3)]=-45。9.若数列{i_n}的前n项和为V_n=4n^2-3n，则该数列的第3项i_3=17。（）参考答案：错误解析：由V_n=4n^2-3n可得i_1=U_1=1，当n≥2时，i_n=V_n-V_{n-1}=(4n^2-3n)-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7，验证n=1时成立，故i_n=8n-7，i_3=8×3-7=17。10.已知等比数列{j_n}的首项为1，公比为1，则该数列的前4项和S_4=4。（）参考答案：正确解析：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=1，q=1，n=4可得S_4=4。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为5，公差为3，求该数列的通项公式a_n。（）解答：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3可得a_n=5+(n-1)×3=3n+2。2.已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为4，求该数列的前5项和S_5。（）解答：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=4，n=5可得S_5=2(1-4^5)/(1-4)=62。3.若数列{c_n}的前n项和为T_n=n^2+n，求该数列的第4项c_4。（）解答：由T_n=n^2+n可得c_1=U_1=2，当n≥2时，c_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故c_n=2n，c_4=2×4=8。4.已知等差数列{d_n}的首项为-1，公差为5，求该数列的前7项和S_7。（）解答：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=-1，d=5，n=7可得S_7=7/2[2×(-1)+(7-1)×5]=63。5.若数列{e_n}的前n项和为U_n=2^n-1，求该数列的第3项e_3。（）解答：由U_n=2^n-1可得e_1=U_1=1，当n≥2时，e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_3=2^{3-1}=4。6.已知等比数列{f_n}的首项为10，公比为1/2，求该数列的前6项和S_6。（）解答：根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=10，q=1/2，n=6可得S_6=10(1-(1/2)^6)/(1-1/2)=15.625。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}-4且g_1=20，求该数列的第5项g_5。（）解答：由递推关系可知{g_n}是等差数列，公差d=-4，首项g_1=20，故g_n=20+(n-1)×(-4)=-4n+24，g_5=-4×5+24=4。8.已知等差数列{h_n}的首项为0，公差为1，求该数列的前8项和S_8。（）解答：根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=0，d=1，n=8可得S_8=8/2[2×0+(8-1)×1]=28。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。（）解答：由递推关系可知该工厂的年产量构成等差数列，首项a_1=1000，公差d=200，故a_n=1000+(n-1)×200，a_5=1000+(5-1)×200=1800（件）。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。（）解答：由递推关系可知该城市的人口构成等比数列，首项a_1=100万，公比q=1.1，故a_n=100万×1.1^{n-1}，a_5=100万×1.1^{5-1}=161.051万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第3年末的本息和。（）解答：由递推关系可知该人的存款构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1.05，故a_n=1000×1.05^{n-1}，第3年末的本息和为S_3=a_1(1-q^n)/(1-q)=1000(1-1.05^3)/(1-1.05)=3153.15元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第6年的种植数量。（）解答：由递推关系可知该林场的种植数量构成等差数列，首项a_1=100，公差d=50，故a_n=100+(n-1)×50，a_6=100+(6-1)×50=350（棵）。5.某公司员工工资每年上涨10%，若2020年工资为5000元，求2024年的工资。（）解答：由递推关系可知该公司的工资构成等比数列，首项a_1=5000，公比q=1.1，故a_n=5000×1.1^{n-1}，a_4=5000×1.1^{4-1}=6655元。6.某产品成本第一年为100元，以后每年比前一年降低5%，求第4年的成本。（）解答：由递推关系可知该产品的成本构成等比数列，首项a_1=100，公比q=0.95，故a_n=100×0.95^{n-1}，a_4=100×0.95^{4-1}=85.735元。7.某城市道路建设，第一年修建10公里，以后每年比前一年多修建2公里，求第7年的修建数量。（）解答：由递推关系可知该城市的道路建设构成等差数列，首项a_1=10，公差d=2，故a_n=10+(n-1)×2，a_7=10+(7-1)×2=20（公里）。8.某产品销售额第一年为100万元，以后每年比前一年增长20%，求第5年的销售额。（）解答：由递推关系可知该产品的销售额构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1.2，故a_n=100×1.2^{n-1}，a_5=100×1.2^{5-1}=207.36万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A（正确答案应为37，题目有误）4.A5.A（正确答案应为10，题目有误）6.C7.A（正确答案应为10，题目有误）8.A9.A（正确答案应为46，题目有误）10.A（正确答案应为19，题目有误）二、填空题1.1902.623.74.1565.86.15.6257.28.369.2810.2187三、判断题1.正确2.错误3.错误4.正确5.错误6.正确7.正确8.正确9.错误10.正确四、简答题1.a_n=3n+22.S_5=623.c_4=84.S_7=635.e_3=46.S_6=15.6257.g_5=48.S_8=28五、应用题1.a_5=1800（件）2.a_5=161.051万3.S_3=3153.15元4.a_6=350（棵）5.a_4=6655元6.a_4=85.735元7.a_7=20（公里）8.a_5=207.36万元【解析】一、单项选择题1.由S_n=3n^2+2n可得a_1=S_1=5，当n≥2时，a_n=U_n-U_{n-1}=(3n^2+2n)-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，验证n=1时成立，故a_n=6n-1。2.根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，n=5可得S_5=2(1-3^5)/(1-3)=62。3.由递推关系可知{a_n}是等差数列，公差d=4，首项a_1=1，故a_n=1+(n-1)×4=4n-3，a_10=4×10-3=37。4.根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=3，d=2，n=10可得S_10=10/2[2×3+(10-1)×2]=190。5.由U_n=2^n-1可得e_1=U_1=1，当n≥2时，e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_4=2^{4-1}=8。6.根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=10，q=1/2，n=6可得S_6=10(1-(1/2)^6)/(1-1/2)=15.625。7.由递推关系可知{c_n}是等差数列，公差d=-4，首项c_1=30，故c_n=30+(n-1)×(-4)=-4n+34，c_7=-4×7+34=6。8.根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=0，d=1，n=9可得S_9=9/2[2×0+(9-1)×1]=36。9.由V_n=3n^2+n可得i_1=U_1=4，当n≥2时，i_n=V_n-V_{n-1}=(3n^2+n)-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，验证n=1时成立，故i_n=6n-2，i_5=6×5-2=28。10.根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=1，q=3，n=7可得S_7=1(1-3^7)/(1-3)=2187。二、填空题1.根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=5，d=3，n=10可得S_10=190。2.根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=4，n=5可得S_5=62。3.由T_n=n^2+n可得i_1=U_1=2，当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故i_n=2n，i_3=2×3=6。4.根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=-1，d=5，n=8可得S_8=40。5.由U_n=2^n-1可得e_1=U_1=1，当n≥2时，e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_4=2^{4-1}=8。6.根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=10，q=1/2，n=6可得S_6=15.625。7.由递推关系可知{i_n}是等差数列，公差d=-6，首项i_1=24，故i_n=24+(n-1)×(-6)=-6n+30，i_7=-6×7+30=12。8.根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=0，d=1，n=7可得S_7=21。三、判断题1.正确，由S_n=2n^2+3n可得a_1=S_1=5，当n≥2时，a_n=U_n-U_{n-1}=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，验证n=1时成立，故a_n=4n+1，是等差数列。2.错误，根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=-1，q=2，n=4可得S_4=-1(1-2^4)/(1-2)=15。3.错误，由递推关系可知{c_n}是等差数列，公差d=5，首项c_1=10，不是等比数列。4.正确，根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=3，d=2，n=5可得S_5=35。5.错误，由T_n=n^2+n可得i_1=U_1=2，当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故i_n=2n，i_4=2×4=8。6.正确，根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=0，q=5，n=3可得S_3=0。7.正确，由递推关系可知{g_n}是等差数列，公差d=-6，首项g_1=24。8.正确，根据等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=-2，d=-3，n=6可得S_6=-45。9.错误，由V_n=4n^2-3n可得i_1=U_1=1，当n≥2时，i_n=V_n-V_{n-1}=(4n^2-3n)-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7，验证n=1时成立，故i_n=8n-7，i_5=8×5-7=33。10.正确，根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=1，q=1，n=4可得S_4=4。四、简答题1.根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3可得a_n=5+(n-1)×3=3n+2。2.根据等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=4，n=5可得S_5=62。3.由T_n=n^2+n可得i_1=U_1=2，当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故i_n=2n，i_