2026年高中数学高三选修1第5章极限测试

2026年高中数学高三选修1第5章极限测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，当函数f(x)在x→x₀时，若f(x)无限接近于某个确定的常数A，则称A是f(x)当x→x₀时的极限。下列关于极限定义的表述中，正确的是（）A.极限值A必须是f(x)在x₀处的函数值B.当x无限接近x₀时，f(x)与A的差的绝对值可以任意小C.极限值A必须大于f(x)在x₀处的函数值D.极限值A是f(x)在x₀附近的一个局部最大值2.根据高中数学高三选修1第5章极限的相关定理，若函数f(x)和g(x)在x→x₀时均存在极限，且lim(x→x₀)f(x)=A，lim(x→x₀)g(x)=B，则下列运算中，lim(x→x₀)[f(x)•g(x)]的值为（）A.A•BB.A+BC.A-BD.A/B3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷小量的性质，下列说法正确的是（）A.两个无穷小量的商一定是无穷小量B.无穷小量是绝对值非常小的量C.无穷小量与任何非零常数之积仍是无穷小量D.无穷小量是绝对值趋于零的变量4.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→2)[3x²-5x+a]=7，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.45.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限与函数连续性的关系，下列说法正确的是（）A.若函数在某点处连续，则该点处极限一定存在B.若函数在某点处极限存在，则该点处函数一定连续C.函数在某点处极限存在是函数在该点处连续的必要条件D.函数在某点处连续是函数在该点处极限存在的充分条件6.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>0，且lim(x→x₀)f(x)=A，则下列结论中正确的是（）A.A>0B.A<0C.A=0D.A可能为正也可能为负7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限的ε-δ语言定义，下列表述中正确的是（）A.对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当|x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<εB.对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<εC.对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当x-x₀|<ε时，|f(x)-A|<δD.对于任意δ>0，总存在ε>0，使得当|x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<ε8.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x₀的某个去心邻域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x→x₀)g(x)=lim(x→x₀)h(x)=A，则下列结论中正确的是（）A.f(x)在x₀处一定有定义B.f(x)在x₀处的极限一定存在C.f(x)在x₀处的极限一定不等于AD.f(x)在x₀处的极限可能不存在9.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷大量的性质，下列说法正确的是（）A.两个无穷大量的和一定是无穷大量B.无穷大量是绝对值非常大的量C.无穷大量与任何非零常数之商仍是无穷大量D.无穷大量是绝对值趋于无穷的变量10.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(3x)/x=3，则下列结论中正确的是（）A.lim(x→0)tan(3x)/x=3B.lim(x→0)sin(x)/x=1C.lim(x→0)cos(3x)/x=1D.lim(x→0)sin(3x)/3x=1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，若lim(x→3)[x²-5x+a]=6，则实数a的值为________。2.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→2)[3x-5+a]=7，则lim(x→2)[6x-10+2a]=________。3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，若函数f(x)在x→x₀时极限存在，且f(x)在x₀处有定义，则f(x)在x₀处的极限值等于________。4.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>1，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A的取值范围是________。5.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当________时，|f(x)-5|<ε。6.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤3x²-sin(x)≤x²，则lim(x→0)[3x²-sin(x)]=________。7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，g(x)是x→0时的无穷大量，则1/f(x)是x→0时的________。8.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(2x)/x=2，则lim(x→0)sin(2x)/3x=________。9.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限与函数连续性的关系，若函数f(x)在x₀处连续，则f(x)在x₀处的极限值等于________。10.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)<0，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A的取值范围是________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，若函数f(x)在x→x₀时极限存在，则f(x)在x₀处一定有定义。2.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→2)f(x)=3，lim(x→2)g(x)=5，则lim(x→2)[f(x)+g(x)]=8。3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，则|f(x)|也是x→0时的无穷小量。4.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤f(x)≤g(x)，且lim(x→0)g(x)=0，则lim(x→0)f(x)一定存在。5.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<ε。6.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>2，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A的取值范围是A>2。7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷大量的性质，若f(x)是x→0时的无穷大量，则1/f(x)是x→0时的无穷小量。8.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(3x)/x=3，则lim(x→0)sin(3x)/2x=1.5。9.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限与函数连续性的关系，若函数f(x)在x₀处不连续，则f(x)在x₀处的极限值一定不存在。10.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)<-1，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A的取值范围是A<-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请简述函数极限的定义。2.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→2)f(x)=5，lim(x→2)g(x)=-3，请计算lim(x→2)[f(x)•g(x)]。3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请简述无穷小量的性质。4.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤sin²(x)≤x²，请计算lim(x→0)sin²(x)。5.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请简述函数极限与函数连续性的关系。6.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>1，且lim(x→x₀)f(x)=A，请说明A的取值范围。7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请简述无穷大量的性质。8.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(2x)/x=2，请计算lim(x→0)sin(2x)/3x。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，若函数f(x)在x→2时极限存在，且f(x)在x=2处的函数值为3，请计算lim(x→2)f(x)。2.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(3x)/x=3，请计算lim(x→0)[sin(3x)+sin(2x)]/x。3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，g(x)是x→0时的无穷小量，请证明f(x)+g(x)是x→0时的无穷小量。4.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤3x-sin(x)≤x，请计算lim(x→0)[3x-sin(x)]。5.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限与函数连续性的关系，若函数f(x)在x₀处连续，请证明f(x)在x₀处的极限值等于f(x)在x₀处的函数值。6.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>2，且lim(x→x₀)f(x)=A，请说明A的取值范围。7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷大量的性质，若f(x)是x→0时的无穷大量，请证明1/f(x)是x→0时的无穷小量。8.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(2x)/x=2，请计算lim(x→0)[sin(2x)/x-sin(x)/x]。六、案例分析（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，若函数f(x)在x→1时极限存在，且f(x)在x=1处的函数值为2，请计算lim(x→1)f(x)。2.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(3x)/x=3，请计算lim(x→0)[sin(3x)+sin(2x)]/2x。3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，g(x)是x→0时的无穷小量，请证明f(x)•g(x)是x→0时的无穷小量。4.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤3x²-sin(x)≤x²，请计算lim(x→0)[3x²-sin(x)]。5.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限与函数连续性的关系，若函数f(x)在x₀处不连续，请举例说明f(x)在x₀处的极限值可能存在。6.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)<-1，且lim(x→x₀)f(x)=A，请说明A的取值范围。7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷大量的性质，若f(x)是x→0时的无穷大量，请证明1/(f(x)+1)是x→0时的无穷小量。8.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(2x)/x=2，请计算lim(x→0)[sin(2x)/x+sin(x)/x]。9.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，请给出一个具体的δ值，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<0.1。10.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤x²-sin(x²)≤x⁴，请计算lim(x→0)[x²-sin(x²)]。11.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，请证明f(x)/x是x→0时的无穷小量。12.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>3，且lim(x→x₀)f(x)=A，请说明A的取值范围。13.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，关于无穷大量的性质，若f(x)是x→0时的无穷大量，请证明f(x)/x是x→0时的无穷大量。14.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，若lim(x→0)sin(3x)/x=3，请计算lim(x→0)[sin(3x)/x-sin(2x)/x]。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请论述函数极限的定义及其几何意义。2.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，请论述函数极限的四则运算法则及其适用条件。3.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请论述无穷小量的性质及其应用。4.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，请论述夹逼定理的条件和结论，并举例说明。5.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请论述函数极限与函数连续性的关系。6.根据高中数学高三选修1第5章极限的保号性定理，请论述保号性定理的条件和结论，并举例说明。7.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请论述无穷大量的性质及其应用。8.根据高中数学高三选修1第5章极限的运算法则，请论述函数极限的复合运算法则及其适用条件。9.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请论述函数极限的ε-δ语言定义及其意义。10.根据高中数学高三选修1第5章极限的夹逼定理，请论述夹逼定理的适用范围及其局限性。11.在高中数学高三选修1第5章极限的学习中，请论述无穷小量与无穷大量的关系，并举例说明。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：极限的定义是当x无限接近x₀时，f(x)与A的差的绝对值可以任意小，即|f(x)-A|<ε，其中ε是任意小的正数。选项A错误，因为极限值A不一定是f(x)在x₀处的函数值；选项B正确；选项C错误，因为极限值A可以小于f(x)在x₀处的函数值；选项D错误，因为极限值A不一定是局部最大值。2.A解析：根据函数极限的四则运算法则，若lim(x→x₀)f(x)=A，lim(x→x₀)g(x)=B，则lim(x→x₀)[f(x)•g(x)]=A•B。选项A正确；选项B错误，因为A+B是极限的和；选项C错误，因为A-B是极限的差；选项D错误，因为A/B是极限的商。3.C解析：无穷小量与任何非零常数之积仍是无穷小量，这是无穷小量的性质之一。选项A错误，因为两个无穷小量的商可能不是无穷小量；选项B错误，因为无穷小量是绝对值趋于零的变量；选项C正确；选项D错误，因为无穷小量是绝对值趋于零的变量。4.A解析：根据函数极限的运算法则，lim(x→2)[3x²-5x+a]=lim(x→2)(3x²)+lim(x→2)(-5x)+lim(x→2)a=3×2²-5×2+a=12-10+a=7，解得a=1。5.A解析：函数在某点处连续的定义是函数在该点处有定义，且极限存在，且极限值等于函数值。因此，若函数在某点处连续，则该点处极限一定存在。选项A正确；选项B错误，因为极限存在不一定连续；选项C错误，因为极限存在是函数在该点处连续的充分条件；选项D错误，因为函数在该点处连续是函数在该点处极限存在的充分条件。6.A解析：根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>0，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≥0。选项A正确；选项B错误，因为A可能小于0；选项C错误，因为A可能等于0；选项D错误，因为A不可能同时大于0和小于0。7.B解析：根据函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<ε。选项B正确；选项A错误，因为|x-x₀|<δ；选项C错误，因为x-x₀|<ε；选项D错误，因为δ>0，ε>0。8.B解析：根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x→0)g(x)=lim(x→0)h(x)=A，则f(x)在x→0时的极限存在且等于A。选项B正确；选项A错误，因为f(x)在x₀处不一定有定义；选项C错误，因为f(x)在x₀处的极限可能等于A；选项D错误，因为f(x)在x₀处的极限可能不存在。9.A解析：根据无穷大量的性质，两个无穷大量的和一定是无穷大量。选项A正确；选项B错误，因为无穷大量是绝对值非常大的量；选项C错误，因为无穷大量与任何非零常数之商可能不是无穷大量；选项D错误，因为无穷大量是绝对值趋于无穷的变量。10.D解析：根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(3x)/x=3，则lim(x→0)sin(3x)/3x=1。选项D正确；选项A错误，因为tan(3x)/x≠3；选项B错误，因为sin(x)/x=1；选项C错误，因为cos(3x)/x≠1。二、填空题1.3解析：根据函数极限的运算法则，lim(x→3)[x²-5x+a]=lim(x→3)x²-lim(x→3)5x+lim(x→3)a=3²-5×3+a=9-15+a=6，解得a=12。2.14解析：根据函数极限的运算法则，lim(x→2)[6x-10+2a]=6×2-10+2a=12-10+2a=7，解得2a=5，a=2.5，因此lim(x→2)[6x-10+2a]=14。3.f(x)在x₀处的函数值解析：根据函数极限的定义，若函数f(x)在x→x₀时极限存在，且f(x)在x₀处有定义，则f(x)在x₀处的极限值等于f(x)在x₀处的函数值。4.A>1解析：根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>1，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≥1。选项A正确。5.0<|x-2|<δ解析：根据函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<ε。6.0解析：根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤3x²-sin(x)≤x²，则lim(x→0)[3x²-sin(x)]=0。7.无穷大量解析：根据无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，g(x)是x→0时的无穷大量，则1/f(x)是x→0时的无穷大量。8.2/3解析：根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(2x)/x=2，则lim(x→0)sin(2x)/3x=2/3。9.f(x)在x₀处的函数值解析：根据函数极限与函数连续性的关系，若函数f(x)在x₀处连续，则f(x)在x₀处的极限值等于f(x)在x₀处的函数值。10.A<0解析：根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)<0，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≤0。选项A正确。三、判断题1.×解析：函数f(x)在x→x₀时极限存在，不一定有定义，例如f(x)=1/x在x→0时极限存在，但在x=0处无定义。2.√解析：根据函数极限的四则运算法则，若lim(x→2)f(x)=3，lim(x→2)g(x)=-3，则lim(x→2)[f(x)+g(x)]=3+(-3)=0。3.√解析：根据无穷小量的性质，若f(x)是x→0时的无穷小量，则|f(x)|也是x→0时的无穷小量。4.√解析：根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤f(x)≤g(x)，且lim(x→0)g(x)=0，则lim(x→0)f(x)一定存在且等于0。5.√解析：根据函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<ε。6.√解析：根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>2，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≥2。选项A正确。7.√解析：根据无穷大量的性质，若f(x)是x→0时的无穷大量，则1/f(x)是x→0时的无穷小量。8.√解析：根据函数极限的运算法则，若lim(x→0)sin(3x)/x=3，则lim(x→0)sin(3x)/2x=3/2=1.5。9.×解析：函数f(x)在x₀处不连续，f(x)在x₀处的极限值可能存在，例如f(x)=1/x在x=0处不连续，但在x→0时极限不存在。10.√解析：根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)<-1，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≤-1。选项A正确。四、简答题1.函数极限的定义是：当自变量x无限接近于某个确定的值x₀时，函数f(x)无限接近于某个确定的常数A，则称A是f(x)当x→x₀时的极限。用ε-δ语言定义：对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<ε。2.根据函数极限的四则运算法则，lim(x→2)[f(x)+g(x)]=lim(x→2)f(x)+lim(x→2)g(x)=5+(-3)=2。3.无穷小量的性质包括：①两个无穷小量的和仍是无穷小量；②两个无穷小量的积仍是无穷小量；③无穷小量与有界变量的积仍是无穷小量；④常数与无穷小量的积仍是无穷小量。4.根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤sin²(x)≤x²，则lim(x→0)sin²(x)=0。5.函数在某点处连续的定义是函数在该点处有定义，且极限存在，且极限值等于函数值。因此，若函数f(x)在x₀处连续，则f(x)在x₀处的极限值等于f(x)在x₀处的函数值。6.根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>1，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≥1。因此，A的取值范围是A≥1。7.无穷大量的性质包括：①两个无穷大量的和仍是无穷大量；②无穷大量与正的常数的积仍是无穷大量；③若f(x)是无穷大量，则1/f(x)是无穷小量。8.根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(2x)/x=2，则lim(x→0)sin(2x)/3x=2/3。五、应用题1.根据函数极限的定义，若函数f(x)在x→2时极限存在，且f(x)在x=2处的函数值为3，则lim(x→2)f(x)=3。2.根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(3x)/x=3，则lim(x→0)[sin(3x)+sin(2x)]/x=lim(x→0)sin(3x)/x+lim(x→0)sin(2x)/x=3+2=5。3.证明：若f(x)是x→0时的无穷小量，g(x)是x→0时的无穷小量，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，|f(x)|<ε/2，|g(x)|<ε/2。因此，|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|<ε/2+ε/2=ε。所以，f(x)+g(x)是x→0时的无穷小量。4.根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤3x-sin(x)≤x，则lim(x→0)[3x-sin(x)]=0。5.证明：若函数f(x)在x₀处连续，则f(x)在x₀处的极限值等于f(x)在x₀处的函数值。即lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)。6.根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>2，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≥2。因此，A的取值范围是A≥2。7.证明：若f(x)是x→0时的无穷大量，则对于任意M>0，总存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，|f(x)|>M。因此，1/f(x)是x→0时的无穷小量。8.根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(2x)/x=2，则lim(x→0)[sin(2x)/x-sin(x)/x]=2-1=1。六、案例分析1.根据函数极限的定义，若函数f(x)在x→1时极限存在，且f(x)在x=1处的函数值为2，则lim(x→1)f(x)=2。2.根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(3x)/x=3，则lim(x→0)[sin(3x)+sin(2x)]/2x=lim(x→0)sin(3x)/2x+lim(x→0)sin(2x)/2x=3/2+1=2.5。3.证明：若f(x)是x→0时的无穷小量，g(x)是x→0时的无穷小量，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，|f(x)|<ε/2，|g(x)|<ε/2。因此，|f(x)•g(x)|≤|f(x)|•|g(x)|<ε/2×ε/2=ε²/4。所以，f(x)•g(x)是x→0时的无穷小量。4.根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤3x²-sin(x)≤x²，则lim(x→0)[3x²-sin(x)]=0。5.举例：f(x)=1/x在x=0处不连续，但在x→0时极限不存在。6.根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)<-1，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≤-1。因此，A的取值范围是A≤-1。7.证明：若f(x)是x→0时的无穷大量，则对于任意M>0，总存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，|f(x)|>M。因此，1/(f(x)+1)是x→0时的无穷小量。8.根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(2x)/x=2，则lim(x→0)[sin(2x)/x+sin(x)/x]=2+1=3。9.根据函数极限的ε-δ语言定义，若lim(x→2)f(x)=5，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<ε。取ε=0.1，则存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，|f(x)-5|<0.1。例如，取δ=0.1，则当0<|x-2|<0.1时，|f(x)-5|<0.1。10.根据函数极限的夹逼定理，若在x→0时，有0≤x²-sin(x²)≤x⁴，则lim(x→0)[x²-sin(x²)]=0。11.证明：若f(x)是x→0时的无穷小量，则对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，|f(x)|<ε。因此，|f(x)/x|<ε/x。由于f(x)/x是x→0时的无穷小量，所以f(x)/x是x→0时的无穷小量。12.根据函数极限的保号性定理，若函数f(x)在x₀的某个去心邻域内满足f(x)>3，且lim(x→x₀)f(x)=A，则A≥3。因此，A的取值范围是A≥3。13.证明：若f(x)是x→0时的无穷大量，则对于任意M>0，总存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，|f(x)|>M。因此，f(x)/x是x→0时的无穷大量。14.根据函数极限的运算法则，lim(x→0)sin(3x)/x=3，则lim(x→0)[sin(3x)/x-sin(2x)/x]=3-2=1。七、论述题1.函数极限的定义是：当自变量x无限接近于某个确定的值x₀时，函数f(x)无限接近于某个确定的常数A，则称A是f(x)当x→x₀时的极限。用ε-δ语言定义：对于任意ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<ε。几何意义是：当x无限接近x₀时，函数f(x)无限接近A，即函数f(x)的图像在x₀附近无限接近于直线y=A。2.函数极限的四则运算法则包括：①若lim(x→x₀)f(x)=A，lim(x→x₀)g(x)=B，则lim(x→x₀)[f(x)+g(x)]=A+