2026年高考数学一轮复习讲义：概率、统计与其他知识的交汇问题（附答案）

§10.7概率、统计与其他知识的交汇问题

【重点解读】有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查

真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新

问题.

题型一概率、统计与数列的综合问题

例1(2025・广州模拟)将4个面上分别写有数字1,2,3,4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛〃

次5为正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，〃(0vpvl)为抛正四面体一次与桌面接触的数

字为偶数的概率.

⑴当〃=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；

(2)若正四面体有瑕疵，即〃耳

①设外是抛掷正四面体〃次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：〃产p+(l-2p)〃〃-

1(心2)；

②求抛掷正四面体〃次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.

思维升华概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：

(1)求通项公式：关键是找出概率P”或均值仇X”)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求

出通项公式.

(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.

(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

跟踪训练1(2024.黄山质检)学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米

饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了米

饭套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为g若他前1天选择了面食套餐，则第2天选择米饭套餐的概

率为;.已知他开学第I天中午选择米饭套餐的概率为*

(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学升学第〃(〃金N')大中午选择米饭套餐的概率为P“.证明：当〃与2时，P“WM

题型二概率、统计与导数的综合问题

例2(2024・龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个

层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检

测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布M〃，4)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等

品，其他产品称为8等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的

频率分布直方图.

⑴根据长期检测结果,用样本平均数/乍为〃的近似值,

用样本标准差s作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数

点后面两位有效数字);

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量4服从正态分布N(〃，/),则Q(〃-

弋5+。)旬6827,P(〃-2y+2㈤=0.9545,P(〃-3户0.9973)

(2)①从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95J

的芯片件数为力求〃的分布列和数学期望；

②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片

的利润是m(lv〃?<24)元，一件8等品芯片的利润是ln(25-〃z)元，根据(1)的计算结果，试求〃7的值，使

得每箱产品的利润最大.

思维升华在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概

率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现

跟踪训练2为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并

进行大量试产.

(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产

品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X

次，求随机变量X的分布列与期望；

⑵设每件新产品为次品的概率都为p(O<p<l),且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品

中随机抽取50件,其中恰有2件次品”的概率为小)，问.取何值时，加)最大.

答案精析

例1(1)解因为正四面体的质地是均匀的，〃为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，所

以片号，

进一步得，X〜8(5,1),

所以E(X)土片5义号,

D(X)=np(l-p)=5xlxi=1,

所以X的数学期望和方差分别为三和J.

24

(2)①证明因为〃〃是抛正四面体〃次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，

所以外」是抛正四面体(〃-1)次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，

当〃22时，当在前(〃-1)次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时，第次抛掷的结

果必须出现奇数，才可以保证前〃次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，所以pk处」(1-p),

当在前(〃-1)次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时，第〃次抛掷的结果必须出现偶

数，才可以保证前〃次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，

所以p〃=(l-p”-i)p,

由互斥事件概率的加法公式得〃产p”-1(1-〃)+(11)p

=p+pn.\(\-2p),

即pn=p+pn.i(1-2p)(〃22).

②解设p“-x=(l-2p)(p”-i-x),

结合①所得关系，则,

即p“黑1・20乂Px-，且心2,

又〃「冷，，

所以数列｛p〃—?是首项为〃尚，公比为1-2〃的等比数列，

所以尾二(P-加-2p)",

所以P，尸,

所以抛掷正四面体〃次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为l-〃”=】+(?p)%wN).

跟踪训练1(1)解设A尸”第i天选择米饭套餐"(i=l,2),则％="第/・天选择面食套餐”，

根据题意P(4)=|,P(4)W,

P(4A)W,P(4|Ai)二；

JJ

由全概率公式，

得P(M)=P(Ai)P(A21A।)+P(4)P(4瓦)

(2)证明设A产“第〃天选择米饭套餐”(〃=1,2，…),

则P„=P(A„),P(An)=\-Ptl,

1—2

P(4*|4)q,P(A〃+M“)q,

AJ

由全概率公式，得aAeAPHJPHmkU+PdQ/VU而nA—Pa+l,

即几”二2+|，

所以p〃+5W(匕-3,

因为p,.l=l,所以｛分一打是以］为首项，1为公比的等比数列，可得P，尸以X(-3n-%£N"),

当〃为大于1的奇数时,P,尸先X(一旷1<Vx(丁寸;

当〃为正偶数时，尸〃二三X0<1<|^,

综上所述，当心2时，

例2解(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件产品的质量指标值的平均数为

x=10X(0.01X50+0.025X60+0.04X70+0.015X80+0.01X90)=69,

即〃成=69,户1,

所以X~N(69,11*2),

因为质量指标值X近似服从正态分布M69,II2),

所以P(XN80)

_1-P(69-11VXV69+11)

2

〜1-Pa-“VXV〃+叽1-0.6827

22

=0.15865-0.16,

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.

⑵①(0.01+0.01)X10X100=20,所以质量指标值在［45,55)和［85,95］的芯片总件数为20,

质量指标值在［85,95］的芯片件数为10,故〃的所有可能取值为0,1,2,3,

所以P(%。)=嘤磊，

C20

44=15

P(%1)=

匾一38

P(片2)二警若，

随机变量〃的分布列为

110123

215152

p

19383819

所以4的数学期望坳尸0X^1义崇2义豪3义W

②设每箱产品中A等品有丫件，则每箱产品中8等品有(100-丫)件，每箱产品的利润为Z元，

由题意知Z=my+(100-y)ln(25-/n)=［zw-ln(25-m)］Y+1001n(25-w),

由(1)知，每箱产品中力等品的概率为0.16,

所以r-B(100,0.16),

所以E(y)=100X0.16=16,

E(Z)=E((w-ln(25-w))r+1001n(25-w))

=[m-\n(25-m)]E(Y)+\001n(25-m)

=16[ni-\n(25-m)]+1001n(25-/n)

=16/〃+841n(25。，

令/U)=16x+84ln(25-v)(1<v<24),

由/(▲•)=16-£下0,

得后衿।，24),

4

又当同1,时，八x)>0,危)单调递增，当xW(子，24)时,f(x)<0，段)单调递减，

所以当时，凡t)取得最大值.

即当"尸?时，每箱产品利润最大.

4

跟踪训练2解(1)根据题意可知X的可能取值为2,3,4,