平面向量数乘运算的坐标表示（第2课时）-高一数学（人教A版必修第二册）

634平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)

【学习目标】

素养目标学科素养

1理.解向量共线的坐标表示的条件。(重点)

1.数学运算；

2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。(重点)

2直.观想象

3.掌握三点共线的判断方法。(难点)

【自主学习】

两个向量共线的坐标表示

(1)设(1=(X1,歹1),6=(X2,户)刈，则"〃600=乃(2£11).

(X]=)X2,

(2)若用坐标表示，可写为(XI,")=〃X2,/)，即.，消去2,可得向量M和)

6=//

共线的充要条件_________________

注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成氏=合工2川，//)),即两个不平行于坐标轴的共线

向量的对应坐标成比例.

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“小，错的打“X”)

(1)已知。=(xi,yi),b=(X2,及)，若0〃b,则必有X1/=X2、I.()

(2)若4=8，yi),b=g㈤，且仅与b共线，则”=,()

(3)若/,B,。三点共线，则向量力，泥，方都是共线向量.()

(4)向量(2,3)与向量(一4,一6)反向.()

(5)已知0=(2,3),6=(—1,2),若〃族+b与0-26平行，则〃2=—/()

2.已知a=(3,1),b=Q,A),若“〃瓦则实数2的值为.

【经典例题】

题型一向量共线的坐标表示

点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或入7验证.

(2)判断加〃丘)，只要把点的坐标代入公式为/一工2尸=0,看是否成立.

例1(1)下列各对向量中，共线的是()

A.0=(2,3),6=(3,-2)

B.。=(2,3),6=(4,-6)

C.0=(啦，-1),b=(l,的

D.。=(1,啦)，6=(啦，2)

(2)向量0=(4,2),b=(6,y),且0〃瓦求

【跟踪训练】1已知向量〃=(1,—2),6=(3,4).若(3。-A)〃(0+kb),则左=

题型二三点共线问题

点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种：

一是直接用品与=入充；二是利用坐标运算.

例2己知力(-1,-I),5(1,3),C(2,5),判断B,C三点之间的位置关系。

【跟踪训练】2设向量为=(鼠12),彷=(4,5),双=(10,k),求当々为何值时，A,B,C

三点共线.

题型三向量共线的应用

点拨：向量共线在几何中的应用可分为两个方面：一是已知两向量共线，求点或向量的坐标；

二是证明或判断三点共线、直线平行.

解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向

量无公共点确定直线平行.

例3设点P是线段PP2上的一点，PHP2的坐标分别为(加，yi),(X2,p).

(1)当点P是线段PlP2上的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段PP2的一个三等分点时，求P的坐标.

变式：设，Pi、P2的坐标分别为(刘，yi),(X2,")，点P是线段PR上的一点。

当话二“超时，点P的坐标是什么？

【跟踪训练】3如图，已知直角梯形/8CQ中，ADLAB,AB=2AD=2CD,过点C作CEJ_

AB于E,M为CE的中点，用向量的方法证明：

(\)DE//BC；

(2)D,M,3三点共线.

【当堂达标】

1.(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A4=(-2,3),6=(4,6)

B.0=(2,3),b=(3,2)

C.。=(1,-2),»=(7,14)

D.。=(一3,2),b=6-4)

2.若4(2,1),B(—l,-2),C(0,y)三点共线，则歹等于()

A.—1B.0C.：D.2

3.已知向量a=(1,-2),6=(加，4),且Q〃b,那么24—b=()

A.(4,0)B.(0,4)C.(4,-8)D.(—4,8)

4已知1(2,1),8(0,2),C(-2,l),4(0,0),给出下列结论:

①直线OC与直线34平行；

@AB+BC=CA；

③片+左=防；

®AC=OB-2OA.

其中，正确结论的序号为.

5.已知点0(0,0),向量出=(2,12),励=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求点P的

坐标。

6.己知0=(1,0),b=(2,1).

(1)当k为何值时，碗一，与o+2b共线？

(2)若9=20+3b,比=0+〃山且4B,。三点共线，求〃？的值.

【课堂小结】

已知4=(X1,歹1),b=(xi,歹2)#0,则o〃b充要条件有

(l)«=/^(AeR)

(2)x\y2—x2y\=Q).

(3)当X2#),"川时，U=蓝。2#),»#0),即两个对应坐标成比例.

【参考答案】

【自主学习】

思考：当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？

x\y2—X2y]=0

思考：当两个向量的对应坐标同号时，同向.当两个向量的对应坐标异号时，反向.

例如,向量(1,2)与(一1,一2)反向;向量(1,0)与(3,0)同向.

【小试牛刀】

1.(1)4,(2)x,(3)4,(4)<,(5)4

乙3

【经典例题】

例1(1)D解析：由向量共线的充要条件可知：非零向量〃与b共线，当且仅当存在唯一实数

A,使得6=及.而只有D满足：因为4=(1,啦)，b=(啦，2),所以乃=啦0.

⑵解:因为。〃团所以4厂2x6=0.解得y=3.

【跟踪训练】1一上解析：3«-5=(0,-10),0+姑=(1+3%,—2+的，

因为(30—6)〃(0+幼)，所以0—(一10—30%)=0,所以％=—/

例2解：猜想4B,C三点共线，

证明：由题意知办=(1,3)-(-1,-1)=(2,4),祀=(2,5)一(一1,-1)=(3,6),

因为2x6-4x3=0,所以办与祀共线，

又因为孙与祀有公共点儿所以点4,B,C共线.

【跟踪训练】2法一：因为4B,C三点共线，即融与祀共线，

所以存在实数，/l£R)，使得法=沆.

因为港=仍一鼻=(4一鼠-7),/=求一融=(10—左,左一12),

4—(10—A)，

所以(4一%,—7)=2(10—4，4—12),即彳r一，…解得左=一2或攵=11.

[-7=2(k-12),

所以当k=-2或4=11时，4B,。三点共线.

法二：由已知得成与配共线，

因为港=仍一次=(4一匕-7),/=双一次=(10一左，左一12),

所以(4一女)(〃-12)+7(10—左)=0,

所以F—9攵-22=0,解得攵=—2或％=11.

所以当女=-2或％=11时，小B,。三点共线.

例3

解：⑴如图6.3-16,由向员的线性运算可知

若点匕，P的生后

(福号”打t

+W分别为(力，>!).(工2.

山)，奴履P】P,的中点P

)•

的坐标为(z,W，射

Xl+Xj

工

*

yi+yt

产F~・

此公式为线段P.P：

的中点坐标公«

(2)如图6.3-17,当点P是线段p】p2的一个三等分点时，有两种情况，即PF二

《而或直?=2配.

・♦1I・・

如果P|P=5PPz(图6.3-17(1)),那么

4

OP=OPl+PlP=OP1+-P1P2

U

=砧+；砒-讯苣砧+J丽

。00

3+*，2»+%\

33~~八

图6.3-17

同理，如果已芋=2万；(图6.3-17(2)),那么点p的坐标是(互誉5+2%)

af

变式:设点P坐标为a，y),则G-Xl)=入((X2-X)所以x=(AJQ+XI)/(1+九),

同理产(Xp+yi)/(1+Z).

所以点P的坐标是((忘2+加)/(1+X),(Xy2+yi)/(1+X)).

【跟踪训练】3［证明］

如图，以后为原点，43所在直线为x轴，EC所在直线为歹轴建立平

―►—>—>

面直角坐标系，令［4。=1,则|/8|=2.

•:CEtAB,而4。=。。，

，四边形4ECO为正方形.

工可求得各点坐标分别为风0,0),B(l,0),C(0,l),5-1,1)，4(一1,0).

(1)V£D=(-1,1)-(O,O)=(-1,1),5C=(0,1)-(1,0)=(-1,1).

:・ED=BC,：.ED//BC,HPDE//BC.

(2)连接MH,MO,

•・•历为的中点，・・・

ECM(0,7J),

・・・亚。=(-1,1)-(0,1)=(1,1),〃8=(1,0)-(0,1)=(1,5

:・MD=-MB,J.MD//MB.

又MO与MB有公共点M,J。，M,8三点共线.

【当堂达标】

1.ABC解析：由两向量共线的坐标表示知，对于。，(-3)x(—4)—2x6=0,所以共线，其他

均不满足.

2.A

3.C解析