一次函数中的面积问题（解析版）-初中数学复习讲义

专题07一次函数中的面积问题精讲

一、平面直角坐标系中面积的几种求法

面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用

知识的能力.

我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法：

方法一、割补法

割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.

方法二、铅垂高、水平宽法

S«Bc=gxCExOB

二、典型例题选讲

题1.如图1-1所示，把心A48C放在直角坐标系内，其中NC4B=90。，BC=5,点、A、8的坐标分别为（1,

0）、（4,0）.将AABC沿x轴向右平移，当点C落在直线产2x-6上时，线段灰;扫过的面积为（）

A.4B.8C.16D.12

【答案】C.

【解析】如图1-2所示.

设C点移动到直线产2》-6上的点为C.

•点A、8的坐标分别为(1,0)、(4,0),

.AB=3.

•/C48=90。，BC=5,

.在府△A/3C中，由勾股定理得：AC=4.

・AC=4.

•点。在直线产2»6上,

.2x-6=4,解得x=5.即04=5,

.CC=5-1=4.

•四边形是平行四边形,面积=4x4=16.

即线段AC扫过的面积为16,故答案为：C.

题2.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过A(-2,0),且与)，轴分别交于B、C两点，则

△48C的面积为().

4.4B.5C.6D.7,

【答案】C.

【解析】因为y=2x+a与y=-x+b的图象都经过,人(-2,0),

所以0=2x(-2)+a,

解得:。=4,

乂因为0=2+〃

解得:"2

y=2x+4,y=-x-2与y轴分别交于氏。两点

/.B(0.4),C(0,-2),

三角形ABC的面积=2x6"=6.

故答案为：C.

题3.(河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xO)，中，4(0,5),直线4=-5与x轴交于点。，直线)，

339

=一款一勺与工轴及直线工=一5分别交于点。，E.点B,石关于x轴对称，连接48

(1)求点C,£的坐标及直线43的解析式；

(2)若S=SACDE+S内边形ABDO,求S的值；

(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：”将△COE沿x轴翻折到仆CDB的位置，而ACQ8与四边形48。。拼接

后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求AAOC的面枳，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现

5AZOC#5,请通过计算解释他的想法错在哪里.

【答案】见解析

【解析】解：(1)尸一£一手令)，=o,有()=一土一小

解得：X=-13,BPC(~13,0.).

3狗

令工=—5,则有)，=_豆乂(_5)_至=_3,即£(—5,-3).

丁点8,£关于x轴对称，

，8(—5,3).

7X(0,5),

•••设直线AB的解析式为y=kx+5,

•■54+5=3,

2

・•.直线AB的解析式为)，=*+5.

(2)由(1)知£(一5,-3),

AD£=3.

VC(13,0),

••・(7。=一5一(一13)=8,

•••5ACDE=QCD，DE=12.

由题意知。4=5,00=5,BD=3,

：.S四边彬A8/)O=E(B/)+OA>OO=20,

=

「♦S=SACDE+SmniiYtABDO.12+20=32.

(3)Ftl(2)知S=32,在△AOC中，OA=5,OC=\3,

**•SAAOC="^OA'OC—■ry—32.5，

40C.

理由：由⑴知直线48的解析式为y=|x+5,令y=0,则0=|i+5,

.*.x=—13,

・•.点C不在直线A8上，即点A,B,C不在同一条直线上，

••金AOC^S.

题4.已知一次函数的图象过点(03)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3,则其表达式为()

A.y=1.5x+3B.y=-1.5x+3

C.y=1.5%+3或y=—1.5x+3D.y=1.5x—3或y=-1.5x—3

【答案】C.

【解析】解：设该一次函数与X轴的交点坐标为(40),

由题意得：-x|«|x3=3,

解得:a=±2,

当〃=2时，设直线解析式为广依-3,将(2,0)代入，求得Q/.5；

同理求得，当〃=-2时，k=1.5.

所以函数解析式为：产1.5x+3或产一1.5x+3,故答案为C

题5.如图5-1所示，已知一次函数)，=履+/?的图象经过4-2,-I),8(1,3)两点，并且交x轴于点C,

交y轴于点D.

图5-1

(1)求该一次函数的解析式；(2)求A/108的面积.

【答案】见解析.

【解析】解：⑴把4—2,-1),8(1,3)代入y=Ax+b,得:

-2k+b=-1,

/4

k

-一

I3

得

解

，

、5

，

b--

L3-

45

_-

・•・一次函数的解析式为yV+3

3A

(2)把x=o代入，得y=1,

工。点坐标为(0，|).

*,»5AAO8=SAA")+SABOD

题6.已知，一次函数），二"+人的图像与正比例函数y=交于点A,并与），轴交于点B（0,-4）,^AOB

J

的面积为6,则初=

【答案】一当或4.

3

【解析】解：因为一次函数）=去+〃的图像与），轴交于点仇0,-4）,

/;=—4,03=4,

设A点横坐标为小

因为△AOB的面积为6,

所以gx|dxOB=6,

即片3或一3,

点A的坐标为（3,1）或（-3,-1）

将A点坐标代入y二履一4,得：

k=-或一］

3

所以姑=-改或4.

3

故答案为：-当或4.

3

题7.如图7-1所示，点G,D,C在直线a上，点E,FA.B在直线b上，若a//b,RtAGEF从如图所示的位置出

发，沿直线。向右匀速运动，直到EG与BC重合.运动过程中AGEF与矩形ABC。重合部分的面积（S）随时

ABCD

【答案】B.

【解析】根据题意可得：①尸、A重合之前没有重叠面枳；

②F、A重登之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快：

③完全进入且尸与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，

④尸与8重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为().

综上所述，只有3选项图形符合.

故答案为:B.

题8.如图8-1所示，已知直线产2x+3与直线

(I)求两直线交点C的坐标；

(2)求△A8C的面枳.

(3)在直线8C上能否找到点P,使得Sw6,若能，请求出点P的坐标,若不能请说明理由。

【答案】见解析.

【解析】解：(1)联立y=2x+3与y=-2x-\,

x=-\

解得:

y=i

即C点坐标为(一1,1)

(2)在尸21+3中，令入=0,得产3,即A点坐标为(0,3);

在产-2x-l中，令x=0,得产・1,即8点坐标为(0,-1)

所以48=4,

所以=LA5x1=2

(3)能.

若SAAPC=6,则&APB=8(P在第二象限)或叉心产4(P在第四象限)

而AB=4,

所以设P点横坐标为a，

解得：斫-4或“2

分别代入BC的解析式为尸7或尸一5,

则产点坐标为(-4,-7),(2,—5).

题9.如图9-1,在平面直角坐标系中，aAOB的三个顶点的坐标分别是A(4,3),0(0,0),B(6,0).点

M是08边上异于。，8的一动点，过点M作MN〃A8,点尸是A8边上的任意点，连接AM,PM,PN,

BN.设点M(x,0),aOMN的面积为S.

(1)求出04所在直线的解析式，并求出点M的坐标为(1,0)时，点N的坐标；

(2)求出S关于x的函数关系式.

【答，案】见解析.

【解析】解：

(1)设直线的解析式为产力达

•:k(4,3),

3

3=4A:।,解得ki二一，

4

3

・・・。4所在的直线的解析式为：)=一心

4

3

同理可求得直线AB的解析式为：)=——x+9,

2

,:MN〃AB、

，设直线MN的解析式为)=-1%+4把M(1,0)代入得：b=y

33

，直线MN的解析式为产x+—,

22

333

联立y=-x,y=x+—,解得:

21

户旷=展

:,N(-,-).

32

(2r)由题意知：S——xx—=-x.

224

题10.己知：如图10-1所示，反比例函数产七的图象与一次函数产x+〃的图象交于点4(I,4)、点E(-

x

4,n).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求^OAB的面积;

(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.

【答案】见解析•.

【解析】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数尸一次函数产工+4

x

得上1x4,\+b=4,6=3,

4

故一次函数解析式为：)=x+3,反比例函数解析式为)，=—.

x

(2)如图,

当尸-4时，尸-1,8(-4,-1),

当尸0时，x+3=0,

L3,C(-3,0)

<,<,15

cAOB=S^BOC=­•

2

(3)VB(-4,-1),A(1,4),

・•・根据图象可知：当x>l或-4VXV0时，一次函数值大于反比例函数值.

题”.如图11-1所示，在平面直角坐标系中，直线八经过点（2,3）和（一1,—3）,直线经过原点，且与直

线八交于点（一2,a）,设交点为P,直线人与），轴交于点A,求。的值及AAPO的面积.

【答案】见解析.

【解析】解：设直线人的解析式为：尸心好.

将点（2,3）和（一1,一3）代入得:

2k+b=3

-k+b=-3

k=2

解得：

b=-\

即直线/i的解析式为：y=2x-l.

•・7经过原点,且与直线I交于点（一2,a）

，当x=-2时，）=-5,

即片一5.

在y=2x-l中，令尸0,得产一1,即4点坐标为（0,-1）.

所以%°p=gxlx2=