第二十章 勾股定理 质量评估 （含答案）-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理质量评估

［时间:120分钟分值:120分］

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.3,4,5C.2,3,4D.1,V5,3

2.在区1/\48。中,斜边8。=10,则8。2+482+4。2=（）

A.20B.100C.200D.144

3.若a,b,c为△ABC的三边长，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的

是（）

A.a=1.5»b=2,c=2.5B.a：b：c=3：4：5

C.NA+NB=NCD.NA:NB:NC=3:4:5

4.若一个三角形的三边长a,b,c满足（a+b）2=。2+2。”则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

5.某人在平地上以l.5m/s的速度向西走了80s,接着以2m/s的速度向南走了

45s,这时他距离出发点（）

A.180mB.150mC.120mD.100m

6.如图，数轴上点A,B对应的数分别是0,1,BC1AB,且BC=2,以点A

为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D,则点。表示的数位于（）

A.3到4之间B.2到3之间C.1到2之间D.0到1之间

7.如图，所有阴影四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形.已知正方形A,BC

的面积依次为2,4,3,则正方形。的面积为（）

8.如图,△ABC是等边三角形，边长为2,根据作图的痕迹，则的长为（）

9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的

距离为0.7m,顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙

时，顶端距离地面2m.则小巷的宽度为（）

10.图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是

由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现

将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为（）

②

A.24B.36D.44

11.如图，在RtaABC中2C=90。,。为AC上一点.若DA=DB=15,△ABD

的面积为90,则CD的长是（）

c

A.6B.9C.12D.V189

12.《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载:今有开门去闹（读k’m,门槛的

意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是:如图①，②（图②为图①的平面示意

图），从点。处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点。到门槛AB的距离都

为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（）

A.104寸B.101寸C.52寸D.50.5寸

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.如图，原来从A村到B村，需要沿路41。-8（/。=90。）绕过村庄间的一

座大山.打通A,B间的隧道后，就可直接从A村到B村.已知AC=12km,BC=

16km,那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为km.

14.如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱

体,且底面周长为4cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为—cm.

（）\X\NW_）

15.如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走16m,

又往北走6m,遇到障碍后又往西走8m,再转向北走18m往东拐，仅走2m就到达了

B处.A,B两点之间的距离为m.

”t北

//'1I8

166

16.如图，以RtaABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形

ABFG,正方形ACDE的面积分别为25,144,则阴影部分的面积为.

三、解答题(本大题共7个小题，共72分)

17.(8分)在^ABC中,NC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)若a=6,b=8,求c的值；

(2)若a=12,c=13,求匕的值.

18.(8分)勾股定理因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入

迷.

【数学应用】

(I)在如图①的数轴上作出表示门7的点(保留作图痕迹，不写作法)；

【生活应用】

(2)如图②，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.3m,将它往前推3m

至。处时，水平距离CD=3m,踏板离地的垂直高度CF=1.3m,若秋千的绳索

始终拉直，求秋千绳索AC的长.

19.（10分）如图，在四边形ABC。中，ZACB=90°,AB=15,BC=9,

AD=5,DC=13.

（1）判断△AC。的形状，并说明理由.

（2）求四边形ABCD的面积.

20.（10分）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，小溪边长

着两棵棕桐树，恰好隔岸相望.一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵

高20肘尺，两棵棕桐树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,

两只鸟同时看见棕相树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且

同时到达目标.这条鱼出现的地方离较高的棕桐树的树根有多远？

21.（12分）清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很感兴趣的帝王.前不久，在西

安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3,4,5的

整数倍的直角三角形，己知面积求边长”这一问题给出解法：“若所设者为积数

（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之

数”.大致意思是：“若直角二角形的二边长分别为3,4,5的整数倍，设具面积为

S,则第一步：擀=山；第二步：而=k；第三步：分别用3,4,5乘以k,得三边

O

长”.

（1）当面积S等于96时，请用康熙的“积求勾股法”求出直角三角形的三边长及

周长；

（2）请证明康熙这种“积求勾股法”的正确性.

22.（12分）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代

数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法,具体用四个完全一样

的直角三角形可以拼成图①的大正方形，采用面积法证明。2=a2+b2.

①

（1）【类比证明】美国第20届总统伽菲尔德于1876年4月1日《新英格兰教育日

志》上证明勾股定理.在△ABC和△CDE44,CE1AC,易证△ABC三4

CDE.

请用两种不同的方法表示梯形ABDE的面积（图②），并证明：c2=a2+b2.

②

（2）【尝试画图】如图③，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的

顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.

①画一个三角形，使它的三边长都是有理数;

②画一个三边长都为无理数的直角三角形;

③画一个钝角三角形，使它的面积为4.

③

（3）【拓展应用】如图④，在直线/上依次摆放五个正方形.已知斜放两个正方形的

面积分别是2,3,正放三个正方形的面积依次是Si，S2,S3,则Si+2s2+S3=_

23.（12分）在aABC中,NC=90°,AC=8,BC=6,。是AB的中点，点E在直

线AC上，连接。区作。尸1DE交直线BC于点尸，连接EF.

【初步尝试】

(1)如图①，当点E在边AC上，且。判断△OEF是不是

直角三角形,并说明理由；

【结论探究】

(2)如图②，点E在边AC上，且小宁猜想“AE2+BF2=£＞尸2”，但她未能想出

证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示,请帮小宁完成证明.

如图，延长ED至点G,使DG=DE,连接力次

A

BGtFG.

【拓展应用】

(3)如图③，当点E在线段CA的延长线上时，连接。已作。F1DE交直线BC于点

尸,连接EF.请补全图形，并求出当AE=2时，线段BF的长.

第二十章质量评估

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

LB2.C3.D4.D5.B6.B7.A8.B9.C10.D

11.B12.B

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.8

14.150

15.26

16.139

三、解答题(本大题共7个小题，共72分)

17.(1)解:・••=q2+垃=62+82=100=c=10

(2)vb2=c2-a2=132-122=25=52,/.b=5.

18.(1)解：如答图所示：

第18题答图

(2)设秋千绳索AB的长度为xm,则AC=AB=xm.

由题意知，DE=CF=1.3m,BD=DE-BE=1.3-0.3=l(m),AD=

AB-BD=(x-l)m,

在Rt/kADC中，4。2+。。2=4。2,

即(x—l)2+32=x2,解得x=5.

答：秋千绳索AC的长为5nl.

19.(1)解:△ACD是直角三角形.理由如下：

在RtaACB中，ZACB=90°,AB=15,BC=9,

:.AC=VAB2-BC2=V152-92=12.

vAD=5,CD=13,AC=12,

・•.AD2+AC2=52+122=169,CD2=132=169,

・•.CD2=AD2+AC2,

・•.△AC。是直角三角形，且NCAO=90°.

(2)S四边形ABCD=S&ACD+SAABC=SAD・AC+-AC-BC=，x5x

12+1xl2x9=84.

20.解:如答图.

第20题答图

由题意，得AB=20肘尺,DC=30肘尺,BC=50肘尺.

设EC=x肘尺，则BE=(50-x)肘尺.

在Rt△ABE和Rt△DEC中，

AE2=AB2+BE2=202+(50-x)2,

DE2=DC2+EC2=302+x2.

又・••AE=202+(50-x)2=302+x?,解得x=20.

答:这条鱼出现的地方离较高的棕桐树的树根有20肘尺.

21.(1)解：当面积S等于96时，

第一＞步：斤1='=警=16；第二步：k=Vrn.=716=4；

66

第三步：直角三角形的三边长分别为3k=3x4=12,4k=4x4=16,5k=

5x4=20.

・•・直角三角形的周长为12+16+20=48,

，直角三角形的三边长分别为12,16,20,周长为48.

(2)证明：设直角三角形的三边长分别为3k,4k,5k,

:・面积S=gx3kx4k=6k2,

；•三边长为3电,泰5

・《x3辱嘘=S,

・•・康熙这种“积求勾股法〃是正确的.

一1

22.(1)解：由题忌，得S赭/ABQE=S^ABC+S^ACE+S^CDE=/QbX

2

2+，。2,S梯形ABDE=/(a+b),(。+b)=/(a+b).

证明§(a+b)2=^abx2+1c2,

整理，得“24-b2=C2.

(2)画图如答图所示(画法不唯一).

第22题答图

(3)5

23.(1)解:△DEF是直