2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷及答案

2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列交通标志是轴对称图形的是（）

2.（2分）下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成三角形的是（）

A.135B.336C.I23D.346

3.（2分）在平面直角坐标系xQv中，点M（1,2）关于x轴对称点的坐标为（）

A.(1,-2)B.(-I,2)C.(-1,-2)D.(2,-1)

4.（2分）下列运算正确的是（）

A.a2+a=a3B.a2*a=a2

C.（/）3=/D.(a2Z>)2=/房

5.（2分）有些人可能有花粉过敏的现象，其实花粉粒的大小会影响我们的防护方法.花粉粒的大小因植

物而异，一般在10到200微为之间.比如，春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在20到30微米，而

某些热带植物的花粉粒径则小于10微米.医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉高

发季节，外出时佩戴口罩可以喊少花粉吸入.若某种植物的花粉粒径为18微米，将18微米用科学记数

法表示应为（注：1微米=106米）（）

A.18X106米B.18义10—6米

C.1.8Xl（）r米D.1.8X106米

6.（2分）下列运算正确的是（）

A.3a-2=@B.-2=a3

C（热1）。=0D.（-务2=9

7.（2分）根据以下作图痕迹，能得到△力4C的角平分线力。的是（）

AA

8.（2分）图1是一扇占建筑的窗质，它的窗花格子由许多紧密连接的正三角形构成，图2是它的一部分.有

以下三个结论：①△4C。和△力七。全等；②△/出C和△4FG的面积相等；③△力石尸是一个直角三角

形，它的面积是△ABC面积的1.5倍.其中正确结论的个数是（）

图1图2

A.0B.IC.2D.3

二、填空题（本题共7小题，每小题2分，共16分）

9.（2分）分解因式：2a2-4,力+2〃2=.

10.（2分）下面是“过直线48外一点C作直线48的平行线”的尺规作图方法.

（1）如图，过点。作一条直线，与直线48相交于点民

（2）在点。处作NCE8的同位角NR?。，使NFCD=NCEB；

（3）反向延长CO,得到直线CD,则直线CO〃/18.

上述方法通过判定△■FCMg△GE”得到/CEB,其中判定△的依据

2

11.（2分）如图，在△XBC中，ZBAC=90a,48=6.力。是△力8c的中线，过点、D作DE/7AB,交AC

于点E.若△XBC的面积是24,则线段的长是

12.（2分）若关丁「的方程0x7=1・2A的解为负数，则A的取值范围是.

13.（2分）某班计划开展“好书换读”活动，同学们将自己的好书带到班级中，其他同学可以借阅，自愿

参加.计划首批征集60本书，首批实际参与人数是原计划人数的2倍，平均每位同学比原计划少带了

3本.若设原计划首批参与人数为x人，则所列的方程是.

14.（2分）如图，在△力台。中，/历lC=a,点。是△力8C的外角NE4C的平分线和边8C的垂直平分线

的交点，则/（用含有a的式子表示）.

15.（2分）如图，在△48C中，ZACB=\2（）°,AC=BC=4,若P是直线8C上的动点，则PR+/8

三、解答题（共68分，第17题6分，第18题7分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题,

每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（6分）计算:

(DaCa+b)+b(b-a)；

(2)(2%+y)(2%-y)-4-

xy

17.(7分)计算：

(1)(m+n)2-(m-n)(〃?+3〃)；

3

/、、m-11-n

（2）（m-n）2+（n-m）z，

18.（5分）如图，在△4CE和ABO产中，点力，B,C,。在同一条直线上，ZJ=Z1,CE//DF,AB=

CD.求证：CE=DF.

19.（5分）如图，已知直线E/和△48C,点力，8在直线E尸上.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G；

②作点C关于直线E尸的对称点。；

（2）若点C到直线£尸的距离为1,ZC/y?=30°,求线段坎：的长:

（3）在（2）的条件下，若4B=2BC,求△48。的面积.

（1）求N44E的大小：

（2）判断尸的形状，并证明.

21.（5分）先化简代数式，再在给定的5个数中选取一个合适的数代入求值：（4^-+2早,

x£-2xxz-4x+473x

其中x从0,1,2,3,4中选取.

22.（5分）如图，在中，AB=AC>/5=3（）°,Q为边8C上的一点（点P不与点B，C重合），

连接力P,△力PC的两个内角的差恰好为90°.

（1）求N84尸的度数；

（2）若4P=〃,求8c的长（用含有〃的式子表示）.

4

A

23.（5分）在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，操作步骤为：

①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为小于100

的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码；③将三个因式码按从小到大的顺序排列（仅有一位

的因式码前面补0变为两位），形成六位数字密码.

例如选取多项式161-/，分解因式得到（4J+/J2）（2a+b）（2a・b）；取a=4,6=5时.，4a2+b2=89,

2a+b=13,2a-b=3,三个因式码分别为89,13,3：将这三个因式码按从小到大的顺序排列并补位后，

得到六位数字密码031389.

（1）依据该加密方式，对文件【加密时，选取多项式/-丁4,取x=9,y=4,求形成的六位数字密码；

（2）依据该加密方式，对文件［I加密时，选取多项式4.F-个儿形成的六位数字密码的前四位为（）410.若

x,y分别表示文件H被加密时的月份和日期，求x,y的值.

24.（6分）某物流公司使用48两个机械臂完成一批货物的码垛工作，若A,4单独完成该项工作，则

4所用时间是力所用时间的2倍.为提高效率，采取协同作业的方式：44共同工作1小时后，A经

算法优化工作效率提高50%,再与B共同工作2小时恰好完成全部工作.

（1）求力在算法优化前单独完成该项工作所用的时间（列分式方程解决问题）；

（2）若该公司先将儿夕的工作效率均提高50%,再协同作业，能否在2小时内完成该项工作？并说

明理由.

25.（7分）在△48C中，ZBAC=nO°,△力CO是等边三角形，点£在直线CO上，KBE=BC.

（1）如图1,点。在力。的上方.

①来证：NACB=/DBE；

②用等式表示线段力&AC,CE的数量关系，并证明；

（2）点。在4C的下方，在图2中补全图形，直接用等式表示线段48,AC,CE的数量关系.

26,（7分）在平面直角坐标系只沙中，对于点尸和垂直于x轴为直线/,给出如下定义：若点产关于直线

5

/的对称点P'的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线/的“等变换点”.

(1)已知直线/过点力(2,0)且垂直于x轴.在乃(1,2),Pi(1,3),P3(3,1)三个点中，直

线/的“等变换点”是；

(2)已知点8(4,1),C(4.・1),直线过点。(％,0)且与x轴垂直，直线/2过点£(%+0.5,0)

且与x轴垂直.以线段8。为边向右侧作正方形，若该正方形上既存在直线人的“等变换点”又存在直

线/2的“等变换点”，则％的取值范闱是：

(3)已知直线/过点A/0)且垂直于x轴，过点尸(2加，w+1)作产G垂直直线/于点G.若以线

段/G为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线/的“等变换点”，则加的取值范围

是.

6

2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678

答案BDADCDBC

,6060I

9.2(a・6)210.SSS11.312.kV・113.—=—+314.90°—4a15.6

x2x2

选择题、填空题解法提示

8.解：如图，连接力氏AC,AE,AF,AG,EG,

图2

设每个小正三角形的边长为1,则小正三角形的高为空,

①△4CQ和△力EO中，

♦：CD=DE,/CDA=/EDA=120°,DA=DA,

AAACD^/\AED(SAS),

故结论①正确，符合题意:

@S^ABC=*BC・h=4x2x苧=冬

VJF=4x苧=2代，/XAFG的高GH=

w1g1同

S^AFG=X2=r，

，Sa45C=S&4"G，

故结论②正确，符合题意：

③△/!£尸是一个直角三角形，直角边4尸=2遮，直角边£r=1,

:.S4AEF=*x2V3x1=V3,

由②知△48C面积

7

工AAEF的面积是△48C面积的2倍，

故结论③错误，不符合题意，

综上，正确结论的个数是2个，

故选：C.

14.解：如图，过点。作。口L3E于"，DG工4c于G,

•・ZO是NE4c的平分线，。尸DGLAC,

；・DF=DG,NE4D=NCAD,

•・•点D在边BC的垂直平分线上，

:・DB=DC,

/.ZDBC=ZDCB,

在RSFD和RtACGD中，

(DB=DC

lDF=DG'

I.RtABFD父RtACGD(HL),

:・/FBD=/ACD,

•；NB4C=a,

AZ^C=180°-a,

•・・/£4C是△48。的外角，

JZEAC=ZABC+ZACB=ZDBC+ZDCB,

/.ZDC5=1ZEJC=9O°一上,

故答案为：90°-1a.

15.解：如图：延长AC,过点〃作BOJL4C于。点,

8

B

^550°/1

Ac(prr^'

VZJCT=120°,

.\Z5CD=60°,

/.ZC5D=30°,

•・・8C=4,

，在RtZXBCO中，CD=：BC=2,

TP是直线8c上的动点，

・••当P运动到C点处，P'D=CD=^PB,

•・•此时4P,,。在一条线上，

・・・P4+*B最小,

1

：,PA+^PB=AD,

'：AC=BC=4,

1

：.PA+^PB=40=4+2=6,

故答案为：6.

解答题参考答案

16.解：(1)原式=J+ab+■

=a2+b2；

(2)原式二把n产

xy

=-Z

x'

17.解：(1)(〃?+〃)2-(m-n)(〃?+3〃)

=nr+2mn+rr-(m2+3mn-mu-37?2)

=nr+2mn+rr-nr-3mn+nin+3n2

=4/r；

9

m-11-n

{2)(m-n)2+(n-m)2

_m-l।l-n

(m-n)2(m-ri)2

_m-1+1-ri

2

(TH-n)

m-n

(m-n)2

1

-m—n'

18.证明：•・•点儿B,C,。在同一条直线上，AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD,

■:CE//DF,

・•・/ACE=/D,

在△力(?£：和△友)/中，

/-ACE=£D

AC=BD,

LA=z.1

△ACE出ABDF(ASA)

：.CE=DF.

(2)根据(1)中作图，可知CCi_LE/于点G,CG=\,

在Rt^BGC中，NCG8=90°,

•：NCBG=30°,CG=1,

:・BC=2；

(3),:BC=2.

：,AB=2BC=4,

根据作图，可知△48。丝△/BC,

10

•"△A8C1=SaABC~•CG=,x4xl=2.

20.解：(1)•••△48C是等边三角形，

：,BC=AC,NABC=NBCA=60°,

丁点。是力。的中点，

；,/ABD=/CBD二/ABC=30。，

,:AE〃BD,

:・NBAE=NABD=30°；

(2)斯是等边三角形，证明如下：

■:BE工BC,

：・NEBC=90°,

；・/EBF=NEBC・/CBD=60°,4EBA=/EBC・/ABC=3Q0,

在△胡8中，NB4E=NEBF=30°,

：,EA=EB,

在△£•/(?和中，

(EA=EB

\BC=AC,

ICE=CE

:•△EAC/4EBC(SSS),

1

:•NACE=NBCE=+NBCA=30°，

〈NSbE是△F8C的外角，

:./BFE=/CBD+4BCE=60°,

在/\BEF中,ZEBF=ZBFE=6Qa,

J△BE/是等边三角形.

2L解：(法+忐眦爰

_r欠+21一%,二，一4

一Lx(x-2)十.-2)2」-3x

_「(x+2)(x-2)।x(l-x)二x-4

~Lx(x-2)2x(x-2)21-3x

,「(:+2)。-2)+」(1一乃［二£-4

-Lx(x-2)2」.3x

X2-4+X-X2X-4

=x(r-2)2

11

—-4二x-4

=x(x-2)2-3T

x-4_3”

-x(x-2)2x-4

3

Vx^O,2,4,

/•x=193,

当x=1时，原式=/3=3：

(I-2)

当x=3时，原式=(3/2)2=工

22.解：(I)在△48C中，AB=AC,N3=30°,

・・・N8=NC=30°,

AZ5^C=180°-(N8+NC)=120°,

设NRIC=a,

TP为边8C上的一点(点。不与点6,。重合)，

AZBAP=ZBAC-ZPAC=1200-a,ZPAC<ZBAC=\20°,

在△RIC中，N力0C=18()°-(ZPAC+ZC)=180°-(a+30°)=150°-a,

VZ/^1C<120°,

J.^PAC-ZC<90°-ZC=90°,

又•・•△/尸C的两个内角的差恰好为90°,

・•・有以下两种情况：

①当N4PC・NR1C=9O0时，

A1500-a-a=90°,

解得：a=30°,

：,ZBAP=\200-a=90°,

②当N4PC・ZC=90°时，

/.150°-a-30°=90°

解得：a=30°,

：.NBAP=1200-a=90°,

综上所述：NA4P的度数为90°；

(2)由(1)得：ZPAC=a=30°,N8=NC=30°,NBAP=90°,

12

AZ/^C=ZC=30°,△历IP是直角三角形,

:・CP=AP,

在RtZ\ZM尸中，N8=30",

:,BP=2AP,

:.BC=BP+CP=3AP,

:,BC=3n,

即8c的长为3〃.

23.解：⑴x4-/

=(x2-K)(占/)

=(』+/)(x+y)(x-y),

当x=9,v=4时，f打2=97,x+v=13,x-,v=5；

生成的密码是051397.

(2)4?-xy2=x(2r+y)(2x-y),

因为x，y都是正整数，

所以2x+y>x,2x+y>2x-y,即2x+y的值最大，

当*时，解得卜=4；不符合实际意义，舍去：

当E=10,时，解得卜=：)符合实际意义.

(2x-y=4[y=16

答：x，y的值分别为10,16.

24.解：(1)设月在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是x小时，则8单独完成该项工作所用

的时间是的小时,

111+50%1

由题意得：；+-+2(=1,

x+旅

解得：X吨

经检验，¥是原分式方程的解，且符合题意.

答：A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是？小时;

(2)不能在2小时内完成该项工作，理由如下：

2139

,**2X1.5X(yy+yy)=3X五=YYVI,

13

工48效率均提升后协同作业，不能在2小时内完成该项工作.

25.解：(1)①证明：•••△48是等边三角形，

JZACD=ZADC=ZDAC=60G,

ZBAC=\2(r,

：.ZBAC+ZDAC=\SOQ,

:,B,A,。三点在同一条直线上，

，：BC=BE,

AZBCE=ZBEC,BPZJC5+600=ZDBE+600

J/ACB=/DBE；

(2)AB+BC=AC,

证明：过点E作E产〃4C,

则有/。庄=NA/C,ZDEF=ZDCA,NBFENRAC,

•••△4CO是等边三角形，

：,AC=AD,ZDCA=^CAD=^ADC=60°,

；・/DEF=/DFE=/EDF=60°,

:・ADEF是等边三角形,

：.DE=DF,

:,ADDF=CDDE,

即AF=CE,

在△力BC和△尸砧中，

^.ACB=乙DBE,

ABAC=Z.EFB,

(BC=EB,

:.△ABgAFEB(AAS).

14

：,AC=BF,

*：BF=AB+AF,

：,AC=AB+CE；

(2)线段48,AC,CE的数量关系是CE=4C+24以

理由：补图如下，过E作GF〃4C交力B,力。的延长线于尸，G,

VZ5/IC=120°,△力CD是等边三角形,

：.ZCAD=^BAD=60°,

AZJFG=180°-Z5JC=60°,

AZAFG=ZFAG=60°,

•••△4G/是等边三角形，

:・AF=FG=AG,

VZBAC+ZACD=\2^Q+60°=180°,

：,AF//CE,

：・/DEG=NAFE=60°,

•••△OEG是等边三角形，

:.DE=EG,

：.EF=CD=AC,

过G作EJ//AD交"于J,

工NJEF=NG=60°,

•••△石々是等边三角形，

:,JE=EF=JF,

；・AC=JE=JF,NFJE=60°,

:・/BJE=/BAC=120°,

;BE=BC,

15

・•・/BEC=/BCE,

VZJEC=180°・/JEF・NDEG=60°=/ACD,

/.ZACB=ZBEJ,

：・4BEJq4BCA(ASA),

：.AB=BJ,

:・CE=CD+DE=EF+EG=AF=2AB+JF=2AB+AC.

26.解：(1)•・•直线/过点力(2,0)且垂直于％轴,

，直线/的解析式为％=2,

VPi（1,2）关于直线x=2的对称点为（3,2）,

•••P（1,2）不是直线」的“等变换点”;

VP2（1，3）关于直线x=2的对称点为（3,3）,

・・・尸2（1，3）是直线/的“等变换